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1、小題專項(xiàng)訓(xùn)練6 解三角形
一、選擇題
1．在銳角△ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b,2asin B＝b，則A等于( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由2asin B＝b及正弦定理，得2sin Asin B＝sin B，故sin A＝.又△ABC為銳角三角形，則A＝.
2．(2019年四川模擬)△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，則角B的值為( )
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由余弦定理cos B＝結(jié)合已知可得cos B＝，則cos B＝.由tan B有意義
2、，可知B≠，則cos B≠0，所以sin B＝，則B＝或.故選C．
3．如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
【答案】A
【解析】由正弦定理得＝，所以AB＝＝＝50(m)．
4．(2019年吉林四平模擬)在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，若BD＝3，CD＝4，AD＝5，AB＝7，則BC＝( )
A．2 B．2
C． D．
【答案】D
【解析】如圖，∠ADB＋∠CDB
3、＝180°，則cos ∠ADB＝－cos ∠CDB，即
＝－，解得BC＝.故選D．
5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，則sin B為( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由bsin B－asin A＝asin C，可得b2－a2＝ac，又c＝2a，得b＝a.∵cos B＝＝＝，∴sin B＝＝.
6．(2018年江西南昌模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cos 2A＝sin A，bc＝2，則△ABC的面積為( )
A． B．
C．1
4、 D．2
【答案】B
【解析】由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝(負(fù)值舍去)．又bc＝2，得S△ABC＝bcsin A＝.
7．若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足＝，則A＝( )
A． B．
C． D．或
【答案】B
【解析】由＝及結(jié)合正弦定理，得＝，整理得b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝.由A為三角形的內(nèi)角，知A＝.
8．(2018年河南開(kāi)封一模)已知銳角三角形ABC，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b2＝a(a＋c)，則的取值范圍是( )
A．(0,1) B．
C． D．
【答案】C
【解析】由b2＝a
5、(a＋c)及余弦定理，得c－a＝2acos B．由正弦定理，得sin C－sin A＝2sin Acos B．∵A＋B＋C＝π，∴sin(A＋B)－sin A＝2sin Acos B，∴sin(B－A)＝sin A．∵△ABC是銳角三角形，∴B－A＝A，即B＝2A.∴＜A＜，則＝sin A∈.
9．△ABC中，三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a3＋b3＝c3，那么△ABC的形狀為( )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．以上均有可能
【答案】A
【解析】由題意可知c邊最大，即c>a，c>b，則a2c＋b2c>a3＋b3＝c3，則a2＋b2－c2>0.由余弦定理得
6、cos C>0，∴0
7、D．16
【答案】B
【解析】由b＝2asin B結(jié)合正弦定理得sin B＝2sin Asin B，由銳角三角形知sin B≠0，所以sin A＝，則cos A＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝b2＋c2－bc，所以16≥2bc－bc＝bc，當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立．所以S＝bcsin A≤×16×＝4，即△ABC面積的最大值為4.故選B．
12．(2018年遼寧沈陽(yáng)五校聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知sin A－sin B＝sin C，3b＝2a,2≤a2＋ac≤18.設(shè)△ABC的面積為S，p＝a－S，則p的最大值是( )
A．
8、 B．
C． D．
【答案】C
【解析】在△ABC中，由sin A－sin B＝sin C及正弦定理，得c＝3a－3b.再根據(jù)3b＝2a，2≤a2＋ac≤18，得a＝c,1≤a≤3.由余弦定理，得b2＝＝a2＋a2－2a·acos B，解得cos B＝，
∴sin B＝，則S＝acsin B＝a2.
∴p＝a－S＝a－a2.根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)a＝時(shí)，p取得最大值.
二、填空題
13．△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若a＝b，A＝2B，則cos B＝________.
【答案】
【解析】由a＝b及正弦定理，得sin A＝sin B，即
9、＝.又A＝2B，所以＝，得cos B＝.
14．已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，則的值為_(kāi)_______．
【答案】6
【解析】在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6，則cos∠ABC＝＝.所以BD＝AB·cos∠ABC＝，CD＝BC－BD＝，則＝6.
15．在距離塔底分別為80 m,160 m,240 m 的同一水平面上的A，B，C處，依次測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，則塔高為_(kāi)_______m.
【答案】80
【解析】設(shè)塔高為h m，
10、依題意得tan α＝，tan β＝，tan γ＝.∵α＋β＋γ＝90°，∴tan(α＋β)tan γ＝1.∴·tan γ＝1.代入解得h＝80，即塔高為80 m.
16．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，S是△ABC的面積，若2Ssin A<(·)sin B，則下列結(jié)論：
①a2a2＋b2；
③cos Bcos C>sin Bsin C；
④△ABC是鈍角三角形．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．
【答案】①②④
【解析】∵2Ssin A<(·)sin B，∴2×bc·sin Asin A0，∴cos B>sin A>0，∴A，B均是銳角．而cos B＝sin(90°－B)，∴sin(90°－B)>sin A，即90°－B>A，則A＋B<90°.∴C>90°.△ABC是鈍角三角形．由余弦定理得cos C＝<0，cos A＝>0，即有c2>a2＋b2，a2
2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 小題專項(xiàng)訓(xùn)練6 理
