《2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 第63講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布課時(shí)達(dá)標(biāo) 理(含解析)新人教A版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 第63講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布課時(shí)達(dá)標(biāo) 理(含解析)新人教A版(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第63講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布
課時(shí)達(dá)標(biāo)
一、選擇題
1.(2019·瑞安中學(xué)一模)某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1 000粒,對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子,每粒需要再補(bǔ)種2粒,補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學(xué)期望為( )
A.100 B.200
C.300 D.400
B 解析 將“沒(méi)有發(fā)芽的種子數(shù)”記為ξ,則ξ=0,1,2,3,…,1 000,由題意可知ξ~B(1 000,0.1),所以E(ξ)=1 000×0.1=100,又因?yàn)閄=2ξ,所以E(X)=2E(ξ)=200,故選B.
2.某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為0.6,他重復(fù)投籃5次,若他命中一次得10分
2、,沒(méi)命中不得分;命中次數(shù)為X,得分為Y,則E(X),D(Y)分別為( )
A.0.6,60 B.3,12
C.3,120 D.3,1.2
C 解析 X~B(5,0.6),Y=10X,所以E(X)=5×0.6=3,D(X)=5×0.6×0.4=1.2,D(Y)=100D(X)=120.
3.若離散型隨機(jī)變量X的分布列為
X
0
1
P
則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=( )
A.2 B.2或
C. D.1
C 解析 因?yàn)榉植剂兄懈怕屎蜑?,所以+=1,即a2+a-2=0,解得a=-2(舍去)或a=1,所以E(X)=.
4.(2019·山東濰坊質(zhì)檢)已知隨機(jī)
3、變量X服從正態(tài)分布N(3,σ2),且P(X<5)=0.8,則P(13)=0.5,故P(X>1)=P(X<5)=0.8,所以P(X≤1)=1-P(X>1)=0.2,P(1
4、)>D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
A 解析 根據(jù)題意得,E(ξi)=pi,D(ξi)=pi(1-pi),i=1,2,因?yàn)?
5、X<0,得X>4,即P(X>4)==1-P(X≤4),
故P(X≤4)=,所以μ=4.
二、填空題
7.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),則a的值為_(kāi)_______.
解析 由正態(tài)分布的性質(zhì)知,若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),則=3,解得a=.
答案
8.(2019·邯鄲一中期末)某種品牌攝像頭的使用壽命(單位:年)服從正態(tài)分布,且使用壽命不少于2年的概率為0.8,使用壽命不少于6年的概率為0.2.某校在大門(mén)口同時(shí)安裝了兩個(gè)該種品牌的攝像頭,則在4年內(nèi)這兩個(gè)攝像頭都能正常工作的概率為_(kāi)_______.
解析 由題意知P(ξ≥2
6、)=0.8,P(ξ≥6)=0.2,所以P(ξ<2)=P(ξ>6)=0.2.所以正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為ξ=4,
即P(ξ≤4)=,即一個(gè)攝像頭在4年內(nèi)能正常工作的概率為.所以兩個(gè)該品牌的攝像頭在4年內(nèi)都能正常工作的概率為×=.
答案
9.(2019·貴州七校第一次聯(lián)考)在某校2015年高三11月月考中理科數(shù)學(xué)成績(jī)X~N(90,σ2)(σ>0),統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示P(60≤X≤120)=0.8,假設(shè)該校參加此次考試的有780人,那么試估計(jì)此次考試中,該校成績(jī)高于120分的有________人.
解析 因?yàn)槌煽?jī)X~N(90,σ2),所以其正態(tài)曲線關(guān)于直線x=90對(duì)稱.又P(60≤X≤120)=
7、0.8,由對(duì)稱性知成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的×(1-0.8)=0.1,所以估計(jì)成績(jī)高于120分的有0.1×780=78人.
答案 78
三、解答題
10.某研究機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備舉行一次數(shù)學(xué)新課程研討會(huì),共邀請(qǐng)50名一線教師參加,使用不同版本教材的教師人數(shù)如表所示.
版本
人教A版
人教B版
蘇教版
北師大版
人數(shù)
20
15
5
10
(1)從這50名教師中隨機(jī)選出2名,求2人所使用版本相同的概率;
(2)若隨機(jī)選出2名使用人教版的教師發(fā)言,設(shè)使用人教A版的教師人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解析 (1)從50名教師中隨機(jī)選出2名的方法數(shù)為C=1
8、225.
選出2人使用版本相同的方法數(shù)為C+C+C+C=350.
故2人使用版本相同的概率為P==.
(2)ξ的所有可能取值為0,1,2.
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
所以E(ξ)=0×+1×+2×==.
11.(2019·廣州五校聯(lián)考)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物,我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí);在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí);在75微克/立方米以上空氣
9、質(zhì)量為超標(biāo).某市環(huán)保局從市區(qū)今年9月每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中,按系統(tǒng)抽樣方法抽取了某6天的數(shù)據(jù)作為樣本,其監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示.
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)今年9月份該市區(qū)每天PM2.5的平均值和方差;
(2)從所抽樣的6天中任意抽取3天,記ξ表示抽取的3天中空氣質(zhì)量為二級(jí)的天數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解析 (1)==41,
s2=×[(26-41)2+(30-41)2+(36-41)2+(44-41)2+(50-41)2+(60-41)2]=137.
根據(jù)樣本估計(jì)今年9月份該市區(qū)每天PM 2.5的平均值為41,方差為137.
(2)由莖葉圖知,所抽樣的6天中有2天空氣質(zhì)量為一
10、級(jí),有4天空氣質(zhì)量為二級(jí),則ξ的可能取值為1,2,3,
其中P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==.
所以ξ的分布列為
ξ
1
2
3
P
所以E(ξ)=1×+2×+3×=2.
12.[選做題](2019·鄭州一中月考)2016年河南多地遭遇“跨年霾”,很多學(xué)校調(diào)整元旦放假時(shí)間,提前放假讓學(xué)生在家躲霾.鄭州市根據(jù)《鄭州市人民政府辦公廳關(guān)于將重污染天氣黃色預(yù)警升級(jí)為紅色預(yù)警的通知》(鄭政辦明電[2016]421號(hào)),自12月29日12時(shí)將黃色預(yù)警升級(jí)為紅色預(yù)警,12月30日零時(shí)啟動(dòng)1級(jí)響應(yīng),明確要求“幼兒園、中小學(xué)等教育機(jī)構(gòu)停課,停課不停學(xué)”.學(xué)生
11、和家長(zhǎng)對(duì)停課這一舉措褒貶不一,有為了健康贊成的,有怕耽誤學(xué)習(xí)不贊成的.某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解學(xué)生和家長(zhǎng)對(duì)這項(xiàng)舉措的態(tài)度,隨機(jī)調(diào)查采訪了50人,將調(diào)查情況整理匯總成下表:
年齡/歲
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
頻數(shù)
5
10
15
10
5
5
贊成人數(shù)
4
6
9
6
3
4
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中完成被調(diào)查人員年齡的頻率分布直方圖;
(2)若從年齡在[25,35),[65,75]兩組的采訪對(duì)象中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行深度跟蹤調(diào)查,選取的4人中不贊成這項(xiàng)舉措的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解析 (1)補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖所示.
(2)由題意知,X所有可能的取值為0,1,2,3,
P(X=0)=·==,
P(X=1)=·+·==,
P(X=2)=·+·==,
P(X=3)=·==,
則隨機(jī)變量X的分布列為
X
0
1
2
3
P
所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×=1.2.
6