2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選修4-5 不等式選講 課時(shí)作業(yè)73 不等式的證明 文

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1、課時(shí)作業(yè)73　不等式的證明 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．[2018·江蘇卷]若x，y，z為實(shí)數(shù)，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值． 證明：由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2. 因?yàn)閤＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，等號(hào)成立， 此時(shí)x＝，y＝，z＝， 所以x2＋y2＋z2的最小值為4. 2．[2019·云南大理模擬]已知函數(shù)f(x)＝|x|＋|x－3|. (1)解關(guān)于x的不等式f(x)－5≥x； (2)設(shè)m，n∈{y|y＝f(x)}，試比較mn＋4與2(m＋n)的大?。? 解析：(1)f(x)＝

2、|x|＋|x－3|＝ f(x)－5≥x，即或 或 解得x≤－或x∈?或x≥8， 所以不等式的解集為∪[8，＋∞)． (2)由(1)易知f(x)≥3，所以m≥3，n≥3. 由于2(m＋n)－(mn＋4) ＝2m－mn＋2n－4＝(m－2)(2－n) 且m≥3，n≥3，所以m－2>0,2－n<0， 即(m－2)(2－n)<0，所以2(m＋n)

3、)∵f(x)<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1， 即或 或 得≤x<2或0

4、且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)， 故原不等式成立． (2)由(1)可得＝≥＝(當(dāng)且僅當(dāng)x＋y＝2y，即x＋y時(shí)取等號(hào))， 同理可得≥(當(dāng)且僅當(dāng)y＋z＝2z，即y＝z時(shí)取等號(hào))，≥(當(dāng)且僅當(dāng)z＋x＝2x，即x＝z時(shí)取等號(hào))， 所以＋＋≥＋＋＝2(x＋y＋z)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)取等號(hào)． 5．[2019·廣州測試]已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|，不等式f(x)≤2的解集為M. (1)求M； (2)證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a＋b|＋|a－b|≤1. 解析：(1)f(x)≤2，即|2x＋1|＋|2x－1|≤2， 當(dāng)x≤－時(shí)，得－(2x＋1)＋(1－2x)≤2，解得x≥－，故

5、x＝－； 當(dāng)－

6、)2＝2(a2＋b2)＋2|a2－b2| ＝ 因?yàn)閍2≤，b2≤，所以4a2≤1,4b2≤1. 故(|a＋b|＋|a－b|)2≤1， 所以|a＋b|＋|a－b|≤1. 6．[2019·南昌模擬]已知函數(shù)f(x)＝|x－1|－|x＋2|＋4. (1)求不等式f(x)≤2的解集M； (2)若a，b∈M，minA表示數(shù)集A中的最小數(shù)，若h＝min，證明：h≤f(x)． 解析：(1)由題意得， 或 或 解得x≥，∴M＝{x|x≥}． (2)證法一　由題意知， ∴h2≤， ∵a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，∴h2≤≤1， ∴0＜h≤1. ∵||x－1|－|x

7、＋2||≤|(x－1)－(x＋2)|＝3， ∴－3≤|x－1|－|x＋2|≤3，f(x)≥1≥h，得證． 證法二　由f(x)＝結(jié)合f(x)的圖象(圖略)可得f(x)≥1. ∵b≥，∴2b≥1，≤＝≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，∴h≤f(x)． [能力挑戰(zhàn)] 7．求證：－＜1＋＋…＋＜2－(n∈N*且n≥2)． 證明：∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)(k∈N*且k≥2)， ∴＜＜，即－＜＜－. 分別令k＝2,3，…，n得 －＜＜1－， －＜＜－， －＜＜－，將這些不等式相加得 －＋－＋…＋－＜＋＋…＋＜1－＋－＋…＋－，即－＜＋＋…＋＜1－， ∴1＋－＜1＋＋＋…＋＜1＋1－， 即－＜1＋＋＋…＋＜2－(n∈N*且n≥2)成立． 4