2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)8 二次函數(shù)性質(zhì)的再研究與冪函數(shù) 文 北師大版

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1、課后限時集訓(xùn)8 二次函數(shù)性質(zhì)的再研究與冪函數(shù) 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1為偶函數(shù)，則m＝(　　) A．1 B．2　　　　 C．1或2　　　　 D．3 A　[∵函數(shù)f(x)為冪函數(shù)，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.當(dāng)m＝1時，冪函數(shù)f(x)＝x2為偶函數(shù)，滿足條件；當(dāng)m＝2時，冪函數(shù)f(x)＝x3為奇函數(shù)，不滿足條件，故選A.] 2．已知冪函數(shù)f(x)的圖像過點，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋的最小值為(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 A　[設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα. ∵f(

2、x)的圖像過點2，，∴2α＝，解得α＝－2. ∴函數(shù)f(x)＝x－2，其中x≠0. ∴函數(shù)g(x)＝f(x)＋＝x－2＋ ＝＋≥2＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝±時， g(x)取得最小值1.] 3．一次函數(shù)y＝ax＋b與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標(biāo)系中的圖像大致是(　　) A　　　　　B　　　 　　C　　　　 　D C　[若a＞0，則一次函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像開口向上，故可排除A；若a＜0，一次函數(shù)y＝ax＋b為減函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像開口向下，故可排除D；對于選項B，看直線可知a＞0，b＞0，從而－＜0，而二次函數(shù)的對

3、稱軸在y軸的右側(cè)，故可排除B.故選C.] 4．已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，則(　　) A．a(chǎn)＞0,4a＋b＝0 B．a(chǎn)＜0,4a＋b＝0 C．a(chǎn)＞0,2a＋b＝0 D．a(chǎn)＜0,2a＋b＝0 A　[由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c圖像的對稱軸為x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)＞f(1)，f(4)＞f(1)，∴f(x)先減后增，于是a＞0，故選A.] 5．設(shè)x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，則x，y，z的大小關(guān)系為(　　) A．x＜z＜y B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x

4、 A　[由函數(shù)y＝0.3x在R上單調(diào)遞減，可得y＞z.由函數(shù)y＝x0.3在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，可得x＜z.所以x＜z＜y.] 二、填空題 6．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________． (－∞，－6]∪[4，＋∞)　[由于函數(shù)f(x)的圖像開口向上，對稱軸是x＝－a， 所以要使f(x)在[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)， 應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.] 7．已知二次函數(shù)y＝f(x)的頂點坐標(biāo)為，且方程f(x)＝0的兩個實根之差等于7，則此二次函數(shù)的解析式是________． f(x)＝－

5、4x2－12x＋40　[設(shè)f(x)＝a＋49(a≠0)， 方程a＋49＝0的兩個實根分別為x1，x2， 則|x1－x2|＝14＝7， 所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.] 8．已知函數(shù)f(x)＝a2x＋3ax－2(a＞1)，若在區(qū)間[－1,1]上f(x)≤8 恒成立，則a的最大值為________． 2　[令ax＝t，因為a＞1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，原函數(shù)化為g(t)＝t2＋3t－2，顯然g(t)在上單調(diào)遞增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a＞1，所以a的最大值為2.] 三、

6、解答題 9．求函數(shù)f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值． [解]　函數(shù)f(x)＝－＋的圖像的對稱軸為x＝，應(yīng)分＜－1，－1≤≤1，＞1，即a＜－2，－2≤a≤2和a＞2三種情形討論． (1)當(dāng)a＜－2時，由圖1可知f(x)在[－1,1]上的最大值為f(－1)＝－1－a＝－(a＋1)． (2)當(dāng)－2≤a≤2時，由圖2可知f(x)在[－1,1]上的最大值為f＝. (3)當(dāng)a＞2時，由圖3可知f(x)在[－1,1]上的最大值為f(1)＝a－1. 圖1　　　　　　　　圖2　　　　　　　圖3 綜上可知，f(x)max＝ 10．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(

7、x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)當(dāng)x∈[－1,1]時，函數(shù)y＝f(x)的圖像恒在函數(shù)y＝2x＋m的圖像的上方，求實數(shù)m的取值范圍． [解](1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x. 所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1， 因此f(x)的解析式為f(x)＝x2－x＋1. (2)因為當(dāng)x∈[－1,1]時，y＝f(x)的圖像恒在y＝2x＋m的圖像上方， 所以在[－1,1]上，x2－x＋1＞2x＋m恒成立， 即x2－3x＋1＞m在區(qū)間[－1,1]上恒成立． 所以令g(x)＝x2

8、－3x＋1＝－， 因為g(x)在[－1,1]上的最小值為g(1)＝－1， 所以m＜－1.故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1)． 1．若關(guān)于x的不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6) A　[不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價于a＜(x2－4x－2)max， 令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)， 所以f(x)＜f(4)＝－2，所以a＜－2.] 2.如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖像的一部分，圖像過點A(－3,0)，對稱軸為x＝

9、－1.給出下面四個結(jié)論： ①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b. 其中正確的是(　　) A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ B　[因為圖像與x軸交于兩點，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正確； 對稱軸為x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②錯誤； 結(jié)合圖像，當(dāng)x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0，③錯誤； 由對稱軸為x＝－1知，b＝2a. 又函數(shù)圖像開口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正確．] 3．已知y＝f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝(x－1)2，若當(dāng)x∈時，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為_

10、_______． 1　[當(dāng)x＜0時，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因為x∈，所以f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以m≥1，n≤0，m－n≥1.所以m－n的最小值是1.] 4．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)當(dāng)a＝2，x∈[－2,3]時，求函數(shù)f(x)的值域； (2)若函數(shù)f(x)在[－1,3]上的最大值為1，求實數(shù)a的值． [解](1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]， 對稱軸為x＝－∈[－2,3]， ∴f(x)min＝f＝－－3＝－， f(x)max＝f(3)＝15， ∴函數(shù)f(x)

11、的值域為. (2)∵函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝－. ①當(dāng)－≤1，即a≥－時，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，滿足題意； ②當(dāng)－＞1，即a＜－時，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，滿足題意． 綜上可知，a＝－或－1. 1．設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有兩個不同的零點，則稱f(x)和g(x)在[a，b]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”．若f(x)＝x2－3x＋4與g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則m的取

12、值范圍為________． 　[由題意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有兩個不同的零點．在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)y＝m與y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的圖像如圖所示，結(jié)合圖像可知，當(dāng)x∈[2,3]時，y＝x2－5x＋4∈，故當(dāng)m∈時，函數(shù)y＝m與y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的圖像有兩個交點．] 2．是否存在實數(shù)a∈[－2,1]，使函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a的定義域為[－1,1]時，值域為[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由． [解]　f(x)＝(x－a)2＋a－a2， 當(dāng)－2≤a＜－1時，f(x)在[－1,1]上為增函數(shù)， ∴由得a＝－1(舍去)； 當(dāng)－1≤a≤0時，由得a＝－1； 當(dāng)0＜a≤1時，由得a不存在； 綜上可得，存在實數(shù)a滿足題目條件，a＝－1. - 6 -