八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版4 (3)

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2015-2016學(xué)年山東省德州市禹城市八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：每小題3分，共36分 1．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若有意義，則x的取值范圍是（　?。? A．x≤﹣1 B．x＜﹣1 C．x＞﹣1 D．x≥﹣1 2．下列計(jì)算正確的是（　　） A． B． C． D． 3．已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)為3和4，則此三角形的周長(zhǎng)為（　?。? A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不對(duì) 4．在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，如果AC=10，BD=8，AB=x，則x的取值范圍是（　　） A．1＜x＜9 B．2＜x＜18 C．8＜x＜10 D．4＜x＜5 5．已知x=2﹣，則代數(shù)式（7+4）x2+（2+）x+的值是（　　） A．0 B． C．2+ D．2﹣ 6．下列命題中： ①兩條對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是正方形； ②菱形的一條對(duì)角線平分一組對(duì)角； ③順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形； ④兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形； ⑤平行四邊形對(duì)角線相等． 真命題的個(gè)數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 7．滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A．三內(nèi)角之比為1：2：3 B．三邊長(zhǎng)的平方之比為1：2：3 C．三邊長(zhǎng)之比為3：4：5 D．三內(nèi)角之比為3：4：5 8．順次連接對(duì)角線相等的四邊形的四邊中點(diǎn)所得到的四邊形一定是（　?。? A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四邊形 9．將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度hcm，則h的取值范圍是（　?。? A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 10．如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，則△AEF的面積是（　?。? A．4 B．3 C．2 D． 11．直角三角形兩直角邊和為7，面積為6，則斜邊長(zhǎng)為（　?。? A．5 B． C．7 D． 12．如圖，周長(zhǎng)為16的菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD邊上，AE=1，AF=3，P為BD上一動(dòng)點(diǎn)，則線段EP+FP的長(zhǎng)最短為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 　 二、填空題：每小題4分，共20分 13．菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是8cm和6cm，則菱形的周長(zhǎng)是______，面積是______． 14．已知x，y為實(shí)數(shù)，且y=++1，則x+y+1=______． 15．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于O點(diǎn)，點(diǎn)O是正方形EFGO的一個(gè)頂點(diǎn)，正方形ABCD和正方形EFGO的邊長(zhǎng)分別為2cm和2.5cm，兩個(gè)正方形重疊的面積是______． 16．△ABC中，AC=6，AB=BC=5，則BC邊上的高AD=______． 17．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點(diǎn)O，且OE=OD，則AP的長(zhǎng)為_(kāi)_____． 　 三、解答題，共64分 18．計(jì)算： （1）（﹣）﹣（+） （2）（3﹣2+）2 （3）（﹣）2． 19．先化簡(jiǎn)，再求值：2a﹣，其中a=． 20．閱讀下列解題過(guò)程： 已知a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，試判斷△ABC的形狀． 解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，① ∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），② ∴c2=a2+b2，③ ∴△ABC為直角三角形．④ 回答下列問(wèn)題： （1）在上述解題過(guò)程中，從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤？該步的序號(hào)為：______； （2）錯(cuò)誤的原因?yàn)椋篲_____； （3）請(qǐng)你將正確的解答過(guò)程寫下來(lái)． 21．如圖，已知四邊形ABCD中，∠B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積． 22．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE． （1）證明DE∥CB； （2）探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形． 23．現(xiàn)有10個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖1，請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：在圖1中用實(shí)線畫出分割線，并在圖2的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形． 24．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀下面關(guān)于這個(gè)圖的探究片段，完成所提出的問(wèn)題． （1）探究1：小強(qiáng)看到圖后，很快發(fā)現(xiàn)AE=EF，這需要證明AE和EF所在的兩個(gè)三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等，考慮到點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，因此可以選取AB的中點(diǎn)M，連接EM（圖1）后嘗試著完成了證明，請(qǐng)你寫出小強(qiáng)的證明過(guò)程． （2）探究2：小強(qiáng)繼續(xù)探索，如圖2，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)AE=EF仍然成立，請(qǐng)你證明這一結(jié)論． （3）探究3：小強(qiáng)進(jìn)一步還想試試，如圖3，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)”，其余條件仍不變，那么結(jié)論AE=EF是否成立呢？若成立請(qǐng)你完成證明過(guò)程給小強(qiáng)看，若不成立請(qǐng)你說(shuō)明理由． 　  2015-2016學(xué)年山東省德州市禹城市八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：每小題3分，共36分 1．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若有意義，則x的取值范圍是（　?。? A．x≤﹣1 B．x＜﹣1 C．x＞﹣1 D．x≥﹣1 【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【解答】解：根據(jù)二次根式有意義，分式有意義得：1+x＞0， 解得：x＞﹣1． 故選：C． 　 2．下列計(jì)算正確的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算． 【分析】根據(jù)二次根式的加法及乘法法則進(jìn)行計(jì)算，然后判斷各選項(xiàng)即可得出答案． 【解答】解：A、﹣=2﹣=，故本選項(xiàng)正確． B、+≠，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、=，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、==2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選A． 　 3．已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)為3和4，則此三角形的周長(zhǎng)為（　　） A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不對(duì) 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】先設(shè)Rt△ABC的第三邊長(zhǎng)為x，由于4是直角邊還是斜邊不能確定，故應(yīng)分4是斜邊或x為斜邊兩種情況討論． 【解答】解：設(shè)Rt△ABC的第三邊長(zhǎng)為x， ①當(dāng)4為直角三角形的直角邊時(shí)，x為斜邊， 由勾股定理得，x=5，此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)=3+4+5=12； ②當(dāng)4為直角三角形的斜邊時(shí)，x為直角邊， 由勾股定理得，x=，此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)=3+4+=7+． 綜上所述，此三角形的周長(zhǎng)為12或7+． 故選C． 　 4．在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，如果AC=10，BD=8，AB=x，則x的取值范圍是（　?。? A．1＜x＜9 B．2＜x＜18 C．8＜x＜10 D．4＜x＜5 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出OA、OB，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得到OA﹣OB＜x＜OA+OB，代入求出即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=10，BD=8， ∴OA=OC=5，OD=OB=4， 在△OAB中，OA﹣OB＜x＜OA+OB， ∴5﹣4＜x＜4+5， ∴1＜x＜9． 故選：A． 　 5．已知x=2﹣，則代數(shù)式（7+4）x2+（2+）x+的值是（　?。? A．0 B． C．2+ D．2﹣ 【考點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值． 【分析】未知數(shù)的值已給出，利用代入法即可求出． 【解答】解：把x=2﹣代入代數(shù)式（7+4）x2+（2+）x+得： =（7+4）（7﹣4）+4﹣3+ =49﹣48+1+ =2+． 故選C． 　 6．下列命題中： ①兩條對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是正方形； ②菱形的一條對(duì)角線平分一組對(duì)角； ③順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形； ④兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形； ⑤平行四邊形對(duì)角線相等． 真命題的個(gè)數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【考點(diǎn)】命題與定理． 【分析】利用正方形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理、平行四邊形的判定及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)． 【解答】解：①兩條對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故錯(cuò)誤； ②菱形的一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，正確，為真命題； ③順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形，正確，為真命題； ④兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，錯(cuò)誤，為假命題； ⑤平行四邊形對(duì)角線相等，錯(cuò)誤，為假命題， 正確的有2個(gè)， 故選B． 　 7．滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A．三內(nèi)角之比為1：2：3 B．三邊長(zhǎng)的平方之比為1：2：3 C．三邊長(zhǎng)之比為3：4：5 D．三內(nèi)角之比為3：4：5 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理． 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理判定是否為直角三角形． 【解答】解：A、根據(jù)三角形內(nèi)角和公式，求得各角分別為30，60，90，所以此三角形是直角三角形； B、三邊符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形； C、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形； D、根據(jù)三角形內(nèi)角和公式，求得各角分別為45，60，75，所以此三角形不是直角三角形； 故選D． 　 8．順次連接對(duì)角線相等的四邊形的四邊中點(diǎn)所得到的四邊形一定是（　　） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四邊形 【考點(diǎn)】中點(diǎn)四邊形． 【分析】作出圖形，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF=AC，GH=AC，HE=BD，F(xiàn)G=BD，再根據(jù)四邊形的對(duì)角線相等可可知AC=BD，從而得到EF=FG=GH=HE，再根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形即可得解． 【解答】解：如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)， 根據(jù)三角形的中位線定理，EF=AC，GH=AC，HE=BD，F(xiàn)G=BD， 連接AC、BD， ∵四邊形ABCD的對(duì)角線相等， ∴AC=BD， 所以，EF=FG=GH=HE， 所以，四邊形EFGH是菱形． 故選C． 　 9．將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度hcm，則h的取值范圍是（　?。? A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用． 【分析】如圖，當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最短；當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)．然后分別利用已知條件根據(jù)勾股定理即可求出h的取值范圍． 【解答】解：如圖，當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)， ∴h=24﹣8=16cm； 當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最短， 在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，∴AB==17， ∴此時(shí)h=24﹣17=7cm， 所以h的取值范圍是7cm≤h≤16cm． 故選D． 　 10．如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，則△AEF的面積是（　?。? A．4 B．3 C．2 D． 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)． 【分析】首先利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定可得判斷出△AEF是等邊三角形，再根據(jù)三角函數(shù)計(jì)算出AE=EF的值，再過(guò)A作AM⊥EF，再進(jìn)一步利用三角函數(shù)計(jì)算出AM的值，即可算出三角形的面積． 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠B=∠D=60， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴BCAE=CDAF，∠BAE=∠DAF=30， ∴AE=AF， ∵∠B=60， ∴∠BAD=120， ∴∠EAF=120﹣30﹣30=60， ∴△AEF是等邊三角形， ∴AE=EF，∠AEF=60， ∵AB=4， ∴BE=2， ∴AE==2， ∴EF=AE=2， 過(guò)A作AM⊥EF， ∴AM=AE?sin60=3， ∴△AEF的面積是： EF?AM=23=3． 故選：B． 　 11．直角三角形兩直角邊和為7，面積為6，則斜邊長(zhǎng)為（　?。? A．5 B． C．7 D． 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；勾股定理． 【分析】可設(shè)直角三角形一直角邊為x，則另一直角邊為7﹣x，由面積為6作為相等關(guān)系列方程求得x的值，進(jìn)而求得斜邊的長(zhǎng)． 【解答】解：設(shè)直角三角形一直角邊為x，則另一直角邊為7﹣x， 根據(jù)題意得x（7﹣x）=6， 解得x=3或x=4， 所以斜邊長(zhǎng)為． 故選A． 　 12．如圖，周長(zhǎng)為16的菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD邊上，AE=1，AF=3，P為BD上一動(dòng)點(diǎn)，則線段EP+FP的長(zhǎng)最短為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；菱形的性質(zhì)． 【分析】在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，連接EG，則EG與BD的交點(diǎn)就是P．EG的長(zhǎng)就是EP+FP的最小值，據(jù)此即可求解． 【解答】解：在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，連接EG，則EG與BD的交點(diǎn)就是P． ∵AE=DG，且AE∥DG， ∴四邊形ADGE是平行四邊形， ∴EG=AD=4． 故選B． 　 二、填空題：每小題4分，共20分 13．菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是8cm和6cm，則菱形的周長(zhǎng)是　20cm　，面積是　24cm2　． 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，求出對(duì)角線的一半，然后利用勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)周長(zhǎng)公式計(jì)算即可求解； 根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半列式計(jì)算即可求解． 【解答】解：∵菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是8cm和6cm， ∴兩條對(duì)角線的長(zhǎng)的一半分別是4cm和3cm， ∴菱形的邊長(zhǎng)為=5cm， ∴菱形的周長(zhǎng)是：54=20cm； 面積是86=24cm2． 故答案為：20cm，24cm2． 　 14．已知x，y為實(shí)數(shù)，且y=++1，則x+y+1=　2016?。? 【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件． 【分析】先根據(jù)二次根式的基本性質(zhì)：有意義，則a≥0，依此求出x的值，進(jìn)一步求得y的值，再代入計(jì)算即可求解． 【解答】解：∵y=++1， ∴x﹣2014≥0且2014﹣x≥0， ∴x=2014， ∴y=0+0+1=1， ∴x+y+1=2014+1+1=2016． 故答案為：2016． 　 15．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于O點(diǎn)，點(diǎn)O是正方形EFGO的一個(gè)頂點(diǎn)，正方形ABCD和正方形EFGO的邊長(zhǎng)分別為2cm和2.5cm，兩個(gè)正方形重疊的面積是　1?。? 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)題意得出△AMO≌△BNO（ASA），則兩個(gè)正方形重疊的面積等于△ABO的面積=S正方形ABCD，進(jìn)而得出答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形EFGO都是正方形， ∴∠2=∠5=45，∠1+∠3=∠3+∠4=90， ∴∠1=∠4， ∴在△AMO和△BNO中 ， ∴△AMO≌△BNO（ASA）， ∴兩個(gè)正方形重疊的面積等于△ABO的面積=S正方形ABCD=1． 故答案為：1． 　 16．△ABC中，AC=6，AB=BC=5，則BC邊上的高AD=　　． 【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，由等腰三角形的性質(zhì)可求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，由三角形的面積公式即可得出AD的長(zhǎng)． 【解答】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E， ∵AC=6，AB=BC=5， ∴AE=AC=3， ∴在Rt△ABE中，BE===4， ∴AC?BE=BC?AD，即AD===． 故答案為：． 　 17．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點(diǎn)O，且OE=OD，則AP的長(zhǎng)為　4.8　． 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；勾股定理；矩形的性質(zhì)． 【分析】由折疊的性質(zhì)得出EP=AP，∠E=∠A=90，BE=AB=8，由ASA證明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6﹣x，DG=x，求出CG、BG，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠D=∠A=∠C=90，AD=BC=6，CD=AB=8， 根據(jù)題意得：△ABP≌△EBP， ∴EP=AP，∠E=∠A=90，BE=AB=8， 在△ODP和△OEG中， ， ∴△ODP≌△OEG（ASA）， ∴OP=OG，PD=GE， ∴DG=EP， 設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6﹣x，DG=x， ∴CG=8﹣x，BG=8﹣（6﹣x）=2+x， 根據(jù)勾股定理得：BC2+CG2=BG2， 即62+（8﹣x）2=（x+2）2， 解得：x=4.8， ∴AP=4.8； 故答案為：4.8． 　 三、解答題，共64分 18．計(jì)算： （1）（﹣）﹣（+） （2）（3﹣2+）2 （3）（﹣）2． 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算． 【分析】（1）先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后去括號(hào)后合并即可； （2）先把括號(hào)內(nèi)各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再利用除法法則進(jìn)行計(jì)算合并即可； （3）根據(jù)完全平方公式和二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可． 【解答】解：（1）（﹣）﹣（+） =2﹣﹣﹣ =﹣； （2）（3﹣2+）2 =（6﹣+4）2 =3﹣+2 =4； （3）（﹣）2 =﹣2+ =5﹣． 　 19．先化簡(jiǎn)，再求值：2a﹣，其中a=． 【考點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值． 【分析】先對(duì)原式化簡(jiǎn)，再將a=代入即可解答本題． 【解答】解：2a﹣ =2a﹣， 當(dāng)a=時(shí)，原式=2﹣=2﹣（2﹣）=2﹣2+=3﹣2． 　 20．閱讀下列解題過(guò)程： 已知a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，試判斷△ABC的形狀． 解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，① ∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），② ∴c2=a2+b2，③ ∴△ABC為直角三角形．④ 回答下列問(wèn)題： （1）在上述解題過(guò)程中，從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤？該步的序號(hào)為：?、邸?； （2）錯(cuò)誤的原因?yàn)椋骸〕娇赡転榱恪。? （3）請(qǐng)你將正確的解答過(guò)程寫下來(lái)． 【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用． 【分析】（1）（2）等式兩邊都除以a2﹣b2，而a2﹣b2的值可能為零，由等式的基本性質(zhì)，等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)不為0的整式，等式仍然成立． （3）根據(jù)等式的基本性質(zhì)和勾股定理，分情況加以討論． 【解答】解：（1）③； （2）除式可能為零； （3）∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4， ∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）， ∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2， 當(dāng)a2﹣b2=0時(shí)，a=b； 當(dāng)c2=a2+b2時(shí)，∠C=90， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 故答案是③，除式可能為零． 　 21．如圖，已知四邊形ABCD中，∠B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積． 【考點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理． 【分析】連接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再由AD及CD的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD為直角三角形，根據(jù)四邊形ABCD的面積=直角三角形ABC的面積+直角三角形ACD的面積，即可求出四邊形的面積． 【解答】解：連接AC，如圖所示： ∵∠B=90， ∴△ABC為直角三角形， 又∵AB=3，BC=4， ∴根據(jù)勾股定理得：AC==5， 又∵CD=12，AD=13， ∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169， ∴CD2+AC2=AD2， ∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90， 則S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB?BC+AC?CD=34+512=36． 故四邊形ABCD的面積是36． 　 22．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE． （1）證明DE∥CB； （2）探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形． 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）首先連接CE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得CE=AB=AE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進(jìn)而得到∠ADE=∠CDE=30，再有∠DCB=150可證明DE∥CB； （2）當(dāng)AC=或AB=2AC時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形．根據(jù)（1）中所求得出DC∥BE，進(jìn)而得到四邊形DCBE是平行四邊形． 【解答】（1）證明：連結(jié)CE． ∵點(diǎn)E為Rt△ACB的斜邊AB的中點(diǎn)， ∴CE=AB=AE． ∵△ACD是等邊三角形， ∴AD=CD． 在△ADE與△CDE中，， ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE=∠CDE=30． ∵∠DCB=150， ∴∠EDC+∠DCB=180． ∴DE∥CB． （2）解：當(dāng)AC=或AB=2AC時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形， 理由：∵AC=，∠ACB=90， ∴∠B=30， ∵∠DCB=150， ∴∠DCB+∠B=180， ∴DC∥BE，又∵DE∥BC， ∴四邊形DCBE是平行四邊形． 　 23．現(xiàn)有10個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖1，請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：在圖1中用實(shí)線畫出分割線，并在圖2的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形． 【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖． 【分析】因?yàn)槠唇忧皥D形的面積為10，所以拼接后圖形的面積也為10，即所求正方形的邊長(zhǎng)為，利用勾股定理即可把原圖分割成四個(gè)斜邊為的直角三角形和一個(gè)正方形，進(jìn)行拼接即可． 【解答】解：如圖所示： 　 24．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀下面關(guān)于這個(gè)圖的探究片段，完成所提出的問(wèn)題． （1）探究1：小強(qiáng)看到圖后，很快發(fā)現(xiàn)AE=EF，這需要證明AE和EF所在的兩個(gè)三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等，考慮到點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，因此可以選取AB的中點(diǎn)M，連接EM（圖1）后嘗試著完成了證明，請(qǐng)你寫出小強(qiáng)的證明過(guò)程． （2）探究2：小強(qiáng)繼續(xù)探索，如圖2，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)AE=EF仍然成立，請(qǐng)你證明這一結(jié)論． （3）探究3：小強(qiáng)進(jìn)一步還想試試，如圖3，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)”，其余條件仍不變，那么結(jié)論AE=EF是否成立呢？若成立請(qǐng)你完成證明過(guò)程給小強(qiáng)看，若不成立請(qǐng)你說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】四邊形綜合題． 【分析】（1）取AB的中點(diǎn)M，連接EM，根據(jù)同角的余角相等得到∠BAE=∠CEF，證明△MAE≌△CEF即可； （2）在AB上取點(diǎn)P，連接EP，同（1）的方法相似，證明△PAE≌△CEF即可； （3）延長(zhǎng)BA至H，使AH=CE，連接HE，證明△HAE≌△CEF即可． 【解答】（1）證明：如圖1，取AB的中點(diǎn)M，連接EM， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠B=∠BCD=90， ∵AM=EC， ∴BM=BE， ∴∠BME=45，∠AME=135， ∵CF是正方形外角的平分線， ∴∠ECF=135， ∵∠AEF=90，∠B=90， ∴∠BAE=∠CEF， 在△MAE和△CEF中， ， ∴△MAE≌△CEF， ∴AE=EF； （2）如圖2，在AB上取點(diǎn)P，連接EP， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠B=∠BCD=90， ∵AP=EC， ∴BP=BE， ∴∠BPE=45，∠APE=135， ∵CF是正方形外角的平分線， ∴∠ECF=135， ∵∠AEF=90，∠B=90， ∴∠BAE=∠CEF， 在△PAE和△CEF中， ， ∴△PAE≌△CEF， ∴AE=EF； （3）如圖3，延長(zhǎng)BA至H，使AH=CE，連接HE， ∵BA=BC，AH=CE， ∴BH=BE， ∴∠H=45， ∵CF是正方形外角的平分線， ∴∠ECF=45， ∴∠H=∠ECF， ∵∠AEF=90，∠B=90，∠HAE=∠B+∠BEA，∠CEF=∠AEF+∠BEA， ∴∠HAE=∠CEF， 在△HAE和△CEF中， ， ∴△HAE≌△CEF， ∴AE=EF．