八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版46

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2015-2016學(xué)年福建省廈門(mén)市鳳南中學(xué)等六校聯(lián)考八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一．精心選一選（每小題4分，共40分） 1．如果有意義，那么x的取值范圍是（　?。? A．x＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜1 2．下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（　　） A． B． C． D． 3．如圖，下列條件之一能使平行四邊形ABCD是菱形的為（　　） ①AC⊥BD；②∠BAD=90；③AB=BC；④AC=BD． A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ 4．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)是（　?。? A．5 B．25 C． D．5或 5．下列命題中正確的是（　?。? A．對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形 B．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形 C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形 6．如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是4，高是6的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是（　　） A．9 B．10 C． D． 7．下列根式中屬最簡(jiǎn)二次根式的是（　　） A． B． C． D． 8．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=10，BC=6，E、F分別是AD、DC的中點(diǎn)，若EF=7，則四邊形EACF的周長(zhǎng)是（　　） A．20 B．22 C．29 D．31 9．直角三角形中，兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為12和5，則斜邊中線的長(zhǎng)是（　　） A．26 B．13 C．30 D．6.5 10．2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短的直角邊為a，較長(zhǎng)的直角邊為b，那么（a+b）2的值為（　?。? A．13 B．19 C．25 D．169 　 二．細(xì)心填一填：（每小題4分，共24分） 11．已知a=，則代數(shù)式a2﹣1的值為_(kāi)_____． 12．在平行四邊形ABCD中，∠A=110，則∠D=______． 13．已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為6cm、8cm，那么這個(gè)直角三角形斜邊上的高為_(kāi)_____． 14．已知菱形的兩條對(duì)角線分別是5cm和8cm，它的面積是______． 15．在平行四邊形ABCD中，已知對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，△ABO的周長(zhǎng)為17，AB=6，那么對(duì)角線AC+BD=______． 16．已知a、b為有理數(shù)，m、n分別表示的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且amn+bn2=1，則2a+b=______． 　 三．耐心做一做（共86分） 17．． 18．在Rt△ABC中，∠C=90，AB=13，BC=5cm，求AC的長(zhǎng)． 19．如圖，在數(shù)軸上畫(huà)出表示的點(diǎn)（不寫(xiě)作法，但要保留畫(huà)圖痕跡）． 20．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、AD上，且AF=CE．求證四邊形AECF是平行四邊形． 21．如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE=OD，連接AE、BE，求證：四邊形AEBD是矩形． 22．如圖，在一棵樹(shù)的10米高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹(shù)走向離樹(shù)20米的池塘C，而另一只爬到樹(shù)頂D后直撲池塘C，結(jié)果兩只猴子經(jīng)過(guò)的距離相等，問(wèn)這棵樹(shù)有多高？ 23．已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC交AC于F．求證：四邊形DECF是菱形． 24．已知、、均為正整數(shù)，請(qǐng)適當(dāng)選取a、b的值，并求、、所組成三角形的面積． 25．已知兩數(shù)之積等于1，我們稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，如：2=1，=1，（ +）（﹣）=1，我們稱2與；與， +與﹣互為倒數(shù)．若a+與a﹣互為倒數(shù)，求+的倒數(shù)． 26．在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F． （1）在圖1中證明CE=CF； （2）若∠ABC=120，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連結(jié)DB、DG（如圖2），求∠BDG的度數(shù)． 27．如圖，梯形OABC中，O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A、B、C的坐標(biāo)分別為（14，0）、（14，3）、（4，3）．點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿OA以每秒1個(gè)單位向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿OC、CB以每秒2個(gè)單位向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)． （1）設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了x秒，且x＞2.5時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）當(dāng)x等于多少時(shí)，四邊形OPQC為平行四邊形？ 　  2015-2016學(xué)年福建省廈門(mén)市鳳南中學(xué)等六校聯(lián)考八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一．精心選一選（每小題4分，共40分） 1．如果有意義，那么x的取值范圍是（　?。? A．x＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜1 【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案． 【解答】解：由題意得：x﹣1≥0， 解得：x≥1． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵． 　 2．下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（　?。? A． B． C． D． 【分析】結(jié)合選項(xiàng)分別進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算、乘法運(yùn)算、加減運(yùn)算，然后選擇正確選項(xiàng)． 【解答】解：A、=7，原式計(jì)算正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、=，原式計(jì)算正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、+=8，原式計(jì)算正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、3﹣=2，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的加減法則和乘除法則． 　 3．如圖，下列條件之一能使平行四邊形ABCD是菱形的為（　?。? ①AC⊥BD；②∠BAD=90；③AB=BC；④AC=BD． A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ 【分析】菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等的四邊形是菱形；③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．據(jù)此判斷即可． 【解答】解：①?ABCD中，AC⊥BD，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可判定?ABCD是菱形；故①正確； ②?ABCD中，∠BAD=90，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，即可判定?ABCD是矩形，而不能判定?ABCD是菱形；故②錯(cuò)誤； ③?ABCD中，AB=BC，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判定?ABCD是菱形；故③正確； D、?ABCD中，AC=BD，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，即可判定?ABCD是矩形，而不能判定?ABCD是菱形；故④錯(cuò)誤． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的判定與矩形的判定定理．此題難度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此題的關(guān)鍵． 　 4．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)是（　?。? A．5 B．25 C． D．5或 【分析】分為兩種情況：①斜邊是4有一條直角邊是3，②3和4都是直角邊，根據(jù)勾股定理求出即可． 【解答】解： 分為兩種情況：①斜邊是4有一條直角邊是3，由勾股定理得：第三邊長(zhǎng)是=； ②3和4都是直角邊，由勾股定理得：第三邊長(zhǎng)是=5； 即第三邊長(zhǎng)是5或， 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)勾股定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方． 　 5．下列命題中正確的是（　　） A．對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形 B．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形 C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形 【分析】對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形． 【解答】解：根據(jù)菱形的判定，知對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形， A、B、C錯(cuò)誤，D正確． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的判定方法． 　 6．如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是4，高是6的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是（　?。? A．9 B．10 C． D． 【分析】將長(zhǎng)方體展開(kāi)，得到兩種不同的方案，利用勾股定理分別求出AB的長(zhǎng)，最短者即為所求． 【解答】解：如圖（1），AB==； 如圖（2），AB===10． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了立體圖形的側(cè)面展開(kāi)圖，利用勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，而兩點(diǎn)之間線段最短是解題的依據(jù)． 　 7．下列根式中屬最簡(jiǎn)二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解． 【解答】解：A、無(wú)法化簡(jiǎn)，故本選項(xiàng)正確； B、=，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、=2故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、=，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式． 　 8．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=10，BC=6，E、F分別是AD、DC的中點(diǎn)，若EF=7，則四邊形EACF的周長(zhǎng)是（　?。? A．20 B．22 C．29 D．31 【分析】先由平行四邊形ABCD，可得，AD=BC=6，CD=AB=10，再由E、F分別是AD、DC的中點(diǎn)，可得AE=AD=3，CF=CD=5，根據(jù)三角形中位線定理，可得AC=2EF=14，從而求出四邊形EACF的周長(zhǎng)． 【解答】解：已知平行四邊形ABCD， ∴AD=BC=6，CD=AB=10， 又E、F分別是AD、DC的中點(diǎn)， ∴AE=AD=3，CF=CD=5， ∴由三角形中位線定理得： AC=2EF=27=14， ∴四邊形EACF的周長(zhǎng)為：EA+AC+CF+EF =3+14+5+7=29， 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)平行四邊形性質(zhì)和三角形中位線定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是由平行四邊形性質(zhì)得出AD=BC=6，CD=AB=10，再由再由E、F分別是AD、DC的中點(diǎn)，得出AE和CF，根據(jù)三角形中位線定理得出AC=2EF=14． 　 9．直角三角形中，兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為12和5，則斜邊中線的長(zhǎng)是（　?。? A．26 B．13 C．30 D．6.5 【分析】由勾股定理可以求出斜邊，再根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可以求出斜邊中線的長(zhǎng)． 【解答】解：由勾股定理知，斜邊c==13， ∵直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半知， ∴斜邊中線的長(zhǎng)=13=6.5． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和直角三角形的性質(zhì)：斜邊上的中線等于斜邊的一半． 　 10．2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短的直角邊為a，較長(zhǎng)的直角邊為b，那么（a+b）2的值為（　?。? A．13 B．19 C．25 D．169 【分析】根據(jù)勾股定理，知兩條直角邊的平方等于斜邊的平方，此題中斜邊的平方即為大正方形的面積13，2ab即四個(gè)直角三角形的面積和，從而不難求得（a+b）2． 【解答】解：（a+b）2=a2+b2+2ab=大正方形的面積+四個(gè)直角三角形的面積和=13+（13﹣1）=25． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】注意完全平方公式的展開(kāi)：（a+b）2=a2+b2+2ab，還要注意圖形的面積和a，b之間的關(guān)系． 　 二．細(xì)心填一填：（每小題4分，共24分） 11．已知a=，則代數(shù)式a2﹣1的值為　1?。? 【分析】把a(bǔ)=代入a2﹣1直接計(jì)算即可． 【解答】解：當(dāng)a=時(shí)， a2﹣1=（）2﹣1=1． 故本題答案為：1． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算和代數(shù)式的求值，主要考查運(yùn)算能力． 　 12．在平行四邊形ABCD中，∠A=110，則∠D=　70?。? 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠A+∠D=180，即可求出答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴∠A+∠D=180， ∵∠A=110， ∴∠D=70． 故答案為：70． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)性質(zhì)推出∠A+∠D=180是解此題的關(guān)鍵． 　 13．已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為6cm、8cm，那么這個(gè)直角三角形斜邊上的高為　4.8cm?。? 【分析】根據(jù)勾股定理可求出斜邊．然后由于同一三角形面積一定，可列方程直接解答． 【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊分別為6cm，8cm， ∴斜邊為=10（cm）， 設(shè)斜邊上的高為h， 則直角三角形的面積為68=10h， 解得：h=4.8cm， 這個(gè)直角三角形斜邊上的高為4.8cm． 故答案為：4.8cm． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及直角三角形的面積的求法，正確利用三角形面積得出其高的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵． 　 14．已知菱形的兩條對(duì)角線分別是5cm和8cm，它的面積是　20cm2?。? 【分析】根據(jù)菱形面積等于對(duì)角線乘積的一半即可得出答案． 【解答】解：由已知得，菱形的面積=58=20cm2． 故答案為20cm2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握菱形的面積公式是解題關(guān)鍵． 　 15．在平行四邊形ABCD中，已知對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，△ABO的周長(zhǎng)為17，AB=6，那么對(duì)角線AC+BD=　22?。? 【分析】平行四邊形對(duì)角線互相平分，△ABO的周長(zhǎng)即為對(duì)角線的一半與一邊AB之和，有AB的長(zhǎng)，對(duì)角線之和則可解． 【解答】解：如圖， ∵△ABO的周長(zhǎng)為17，AB=6， ∴OA+OB=11， ∴AC+BD=22． 故答案為22． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，并利用性質(zhì)解題．平行四邊形基本性質(zhì)：①平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行；②平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等；③平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等；④平行四邊形的對(duì)角線互相平分． 　 16．已知a、b為有理數(shù)，m、n分別表示的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且amn+bn2=1，則2a+b=　2.5?。? 【分析】只需首先對(duì)估算出大小，從而求出其整數(shù)部分a，其小數(shù)部分用﹣a表示．再分別代入amn+bn2=1進(jìn)行計(jì)算． 【解答】解：因?yàn)?＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣． 把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1 化簡(jiǎn)得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1， 等式兩邊相對(duì)照，因?yàn)榻Y(jié)果不含， 所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5． 所以2a+b=3﹣0.5=2.5． 故答案為：2.5． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了無(wú)理數(shù)大小的估算和二次根式的混合運(yùn)算．能夠正確估算出一個(gè)較復(fù)雜的無(wú)理數(shù)的大小是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵． 　 三．耐心做一做（共86分） 17．． 【分析】先將二次根式化為最簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可． 【解答】解：原式=3﹣2+3=+3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡(jiǎn)及同類二次根式的合并． 　 18．在Rt△ABC中，∠C=90，AB=13，BC=5cm，求AC的長(zhǎng)． 【分析】直接用勾股定理計(jì)算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB=13，BC=5 ∵AB2=AC2+BC2 ∴AC= =12cm 【點(diǎn)評(píng)】此題是勾股定理，主要考查了直角三角形中勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是分清直角邊和斜邊． 　 19．如圖，在數(shù)軸上畫(huà)出表示的點(diǎn)（不寫(xiě)作法，但要保留畫(huà)圖痕跡）． 【分析】根據(jù)勾股定理，作出以1和4為直角邊的直角三角形，則其斜邊的長(zhǎng)即是；再以原點(diǎn)為圓心，以為半徑畫(huà)弧與數(shù)軸的正半軸的交點(diǎn)即為所求． 【解答】解：所畫(huà)圖形如下所示，其中點(diǎn)A即為所求． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理及實(shí)數(shù)與數(shù)軸的知識(shí)，要求能夠正確運(yùn)用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示一個(gè)無(wú)理數(shù)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，并靈活運(yùn)用勾股定理． 　 20．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、AD上，且AF=CE．求證四邊形AECF是平行四邊形． 【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AF∥CE，又AF=CE，所以四邊形AECF是平行四邊形． 【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC ∴AF∥CE． 又∵AF=CE， ∴四邊形AECF是平行四邊形． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查平行四邊形的判定：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形． 　 21．如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE=OD，連接AE、BE，求證：四邊形AEBD是矩形． 【分析】由點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，OE=OD，可得四邊形AEBD是平行四邊形，又由AB=AC，AD是△ABC的角平分線，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得∠ADB=90，則可證得四邊形AEBD是矩形． 【解答】證明：∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)， ∴OA=OB， ∵OE=OD， ∴四邊形AEBD是平行四邊形， ∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90， ∴四邊形AEBD是矩形． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的判定與等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 22．如圖，在一棵樹(shù)的10米高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹(shù)走向離樹(shù)20米的池塘C，而另一只爬到樹(shù)頂D后直撲池塘C，結(jié)果兩只猴子經(jīng)過(guò)的距離相等，問(wèn)這棵樹(shù)有多高？ 【分析】首先根據(jù)題意，正確畫(huà)出圖形，還要根據(jù)題意確定已知線段的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理列方程進(jìn)行計(jì)算． 【解答】解：設(shè)BD=x米，則AD=（10+x）米，CD=（30﹣x）米， 根據(jù)題意，得： （30﹣x）2﹣（x+10）2=202， 解得x=5． 即樹(shù)的高度是10+5=15米． 【點(diǎn)評(píng)】能夠根據(jù)題意用同一個(gè)未知數(shù)表示出直角三角形的三邊是解決此題的關(guān)鍵． 　 23．已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC交AC于F．求證：四邊形DECF是菱形． 【分析】因?yàn)镈E∥AC，DF∥BC，所以四邊形DECF為平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形求證即可． 【解答】證明：∵DE∥AC，DF∥BC ∴四邊形DECF為平行四邊形 ∴AC∥DE， ∴∠2=∠3 又∵CD平分∠ACB交AB于D， ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴DE=EC ∴DECF為菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的判定．菱形的判別方法是說(shuō)明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法： ①定義； ②四邊相等； ③對(duì)角線互相垂直平分． 　 24．已知、、均為正整數(shù)，請(qǐng)適當(dāng)選取a、b的值，并求、、所組成三角形的面積． 【分析】由勾股定理逆定理可知以、、組成的三角形是直角三角形，再根據(jù)、、均為正整數(shù)，可取可取a=9，b=16，最后由三角形面積公式計(jì)算可得． 【解答】解：∵（）2+（）2=（）2 ∴以、、組成的三角形是直角三角形， 又∵、、均為正整數(shù)， ∴可取a=9，b=16，則=5， ∴所組成三角形的面積為：34=6． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的應(yīng)用及勾股定理逆定理，熟練掌握勾股定理逆定理并據(jù)此判斷出該三角形為直角三角形是關(guān)鍵． 　 25．已知兩數(shù)之積等于1，我們稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，如：2=1，=1，（ +）（﹣）=1，我們稱2與；與， +與﹣互為倒數(shù)．若a+與a﹣互為倒數(shù)，求+的倒數(shù)． 【分析】先利用倒數(shù)的定義得到a2﹣b=1，即b=a2﹣1，則=，利用二次根式有意義的條件得a=2，則b=3，所以+=4，然后利用倒數(shù)定義求解． 【解答】解：∵a+與a﹣互為倒數(shù)， ∴（a+）（a﹣）=1， ∴a2﹣b=1，即b=a2﹣1， ∴==， ∴﹣（a﹣2）2≤0 ∴a﹣2=0，解得a=2， ∴b=a2﹣1=4﹣1=3， ∴+=0+=4， 所以+的倒數(shù)為． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式．利用二次根式有意義的條件確定a的值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 　 26．在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F． （1）在圖1中證明CE=CF； （2）若∠ABC=120，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連結(jié)DB、DG（如圖2），求∠BDG的度數(shù)． 【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB∥CD．證出∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，得出∠CEF=∠F，即可得出結(jié)論； （2）證出四邊形CEGF是菱形，得出EG=EC，∠GCF=∠GCE=∠ECF=60．得出△ECG是等邊三角形．得出EG=CG，∠GEC=∠EGC=60，得出∠GEC=∠GCF，因此∠BEG=∠DCG，證出AB=BE．BE=DC，由SAS證明△BEG≌△DCG．得出BG=DG，∠1=∠2，求出∠BGD，即可得出結(jié)果． 【解答】（1）證明：∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD． ∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F， ∴∠CEF=∠F， ∴CE=CF． （2）解：分別連接GB、GE、GC，如圖2所示． ∵AB∥DC，∠ABC=120， ∴∠ECF=∠ABC=120， ∵FG∥CE且FG=CE， ∴四邊形CEGF是平行四邊形． 由（1）得CE=CF， ∴四邊形CEGF是菱形， ∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=∠ECF=60． ∴△ECG是等邊三角形． ∴EG=CG，∠GEC=∠EGC=60， ∴∠GEC=∠GCF， ∴∠BEG=∠DCG， 由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE． 在□ABCD中，AB=DC． ∴BE=DC， 在△BEG和△DCG中，， ∴△BEG≌△DCG（SAS）． ∴BG=DG，∠BGE=∠CGD， ∴∠BGD=∠BGE+∠DGE=∠BGE+∠DGE=∠EGC=60． ∴∠BDG==60． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵． 　 27．如圖，梯形OABC中，O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A、B、C的坐標(biāo)分別為（14，0）、（14，3）、（4，3）．點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿OA以每秒1個(gè)單位向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿OC、CB以每秒2個(gè)單位向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)． （1）設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了x秒，且x＞2.5時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）當(dāng)x等于多少時(shí)，四邊形OPQC為平行四邊形？ 【分析】（1）首先得出Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離進(jìn)而表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)即可； （2）利用平行四邊形的性質(zhì)得出QC=OP，即可得出答案． 【解答】解：先求出各個(gè)點(diǎn)到終點(diǎn)需要的時(shí)間： ∵C（4，3）， ∴OC==5， ∵B（14，3）， ∴BC=14﹣4=10， （1）由題意可知，當(dāng)x＞2.5時(shí)，Q點(diǎn)在CB上運(yùn)動(dòng)， 故橫坐標(biāo)為：2x﹣5+4=2x﹣1，縱坐標(biāo)為3， 故Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（2x﹣1，3）； （2）∵C（4，3），B（14，3）， ∴CB∥OA， ∴CQ∥OP， 當(dāng)CQ=OP時(shí)，四邊形OPQC為平行四邊形， 即2x﹣5=x， 解得：x=5． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．