八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版8

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2015-2016學(xué)年河南省商丘市柘城縣八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題 1．若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　?。? A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3 2．計(jì)算（+3﹣）的結(jié)果是（　?。? A．6 B．4 C．2+6 D．12 3．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。? A．AB∥DC，AD=BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB=DC，AD=BC D．OA=OC，OB=OD 4．如圖，E是?ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，若S?ABCD=8，則陰影部分的面積是（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 5．如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，H為AD邊中點(diǎn)，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于（　　） A．3.5 B．4 C．7 D．14 6．若直角三角形的兩直角邊長為a，b，且滿足+|b﹣4|=0，則該直角三角形的斜邊上的高為（　?。? A．5 B．4 C．2.4 D．2 7．設(shè)實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（　?。? A．﹣2a+b B．2a+b C．﹣b D．b 8．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長是（　?。? A．2.5 B． C． D．2 　 二、填空題 9．如果最簡二次根式與是同類二次根式，則a=　?。? 10．把（2﹣a）根號(hào)外面的因式移到根號(hào)內(nèi)，結(jié)果是　?。? 11．如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為　　． 12．已知菱形的對(duì)角線AC=6，BD=8，則該菱形的周長是　?。? 13．如圖，在矩形ABCD中，∠BOC=120，AB=5，則BD的長為　　． 14．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．若OE=3cm，則AD的長是　　cm． 15．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，BE的長為　?。? 　 三、綜合題（共計(jì)55分） 16．已知y=+2，求+﹣2的值． 17．如圖所示，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm．求CE的長？ 18．a(chǎn)，b，c為三角形ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判別這個(gè)三角形的形狀． 19．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)M，與BD相交于點(diǎn)N，連接BM，DN． 求證：四邊形BMDN是菱形． 20．如圖，E、F是?ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且BE∥DF，求證：BF=DE． 21．如圖，在△ABC中，O是邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F． （1）求證：OE=OF； （2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？ 　 2015-2016學(xué)年河南省商丘市柘城縣八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　?。? A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3 【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件． 【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計(jì)算即可得解． 【解答】解：由題意得，x+1≥0且x﹣3≠0， 解得：x≥﹣1且x≠3． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)． 　 2．計(jì)算（+3﹣）的結(jié)果是（　?。? A．6 B．4 C．2+6 D．12 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算． 【分析】先把二次根式化簡成最簡二次根式后合并，再做乘法運(yùn)算． 【解答】解：（+3﹣）=2（5+﹣4） =2=12． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】先把二次根式化簡，括號(hào)里能合并的合并，再做乘法． 　 3．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（　　） A．AB∥DC，AD=BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB=DC，AD=BC D．OA=OC，OB=OD 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定． 【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別進(jìn)行分析即可． 【解答】解：A、“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等”是四邊形也可能是等腰梯形，故本選項(xiàng)符合題意； B、根據(jù)“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意； C、根據(jù)“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意； D、根據(jù)“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意； 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握判定定理： （1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形． （2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形． （3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形． （4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形． （5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形． 　 4．如圖，E是?ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，若S?ABCD=8，則陰影部分的面積是（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形面積公式可知，圖中陰影部分面積等于平行四邊形面積的一半．所以S陰影=S四邊形ABCD． 【解答】解：設(shè)兩個(gè)陰影部分三角形的底為BC，AD，高分別為h1，h2，則h1+h2為平行四邊形的高， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=BC， ∴S△ECB+S△EAD=BCh1+ADh2=BC（h1+h2）=S四邊形ABCD=8=4． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的面積公式和平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等．要求能靈活的運(yùn)用等量代換找到需要的關(guān)系． 　 5．如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，H為AD邊中點(diǎn)，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于（　?。? A．3.5 B．4 C．7 D．14 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理． 【分析】根據(jù)菱形的四條邊都相等求出AB，菱形的對(duì)角線互相平分可得OB=OD，然后判斷出OH是△ABD的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OH=AB． 【解答】解：∵菱形ABCD的周長為28， ∴AB=284=7，OB=OD， ∵H為AD邊中點(diǎn)， ∴OH是△ABD的中位線， ∴OH=AB=7=3.5． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵． 　 6．若直角三角形的兩直角邊長為a，b，且滿足+|b﹣4|=0，則該直角三角形的斜邊上的高為（　　） A．5 B．4 C．2.4 D．2 【考點(diǎn)】勾股定理；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根． 【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a、b的值，然后結(jié)合勾股定理求得斜邊的長度即可． 【解答】解：∵ +|b﹣4|=0， ∴a2﹣6a+9=0，|b﹣4|=0， ∴a=3，b=4， ∴該直角三角形的斜邊長為： =5， ∴直角三角形的斜邊上的高為=2.4， 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)﹣絕對(duì)值、算術(shù)平方根．任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值（二次根式）都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0． 　 7．設(shè)實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（　　） A．﹣2a+b B．2a+b C．﹣b D．b 【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡；實(shí)數(shù)與數(shù)軸． 【分析】根據(jù)數(shù)軸上a，b的值得出a，b的符號(hào)，a＜0，b＞0，以及a+b＞0，即可化簡求值． 【解答】解：根據(jù)數(shù)軸上a，b的值得出a，b的符號(hào)，a＜0，b＞0，a+b＞0， ∴=﹣a+a+b=b， 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸得出a，b的符號(hào)是解決問題的關(guān)鍵． 　 8．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長是（　　） A．2.5 B． C． D．2 【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；勾股定理的逆定理． 【分析】連接AC、CF，根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45，再求出∠ACF=90，然后利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可． 【解答】解：如圖，連接AC、CF， ∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3， ∴AC=，CF=3， ∠ACD=∠GCF=45， ∴∠ACF=90， 由勾股定理得，AF===2， ∵H是AF的中點(diǎn)， ∴CH=AF=2=． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵． 　 二、填空題 9．如果最簡二次根式與是同類二次根式，則a=　5?。? 【考點(diǎn)】同類二次根式；最簡二次根式． 【分析】根據(jù)最簡二次根式和同類二次根式的定義，列方程求解． 【解答】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式， ∴3a﹣8=17﹣2a，解得：a=5． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查最簡二次根式和同類二次根式的定義． 　 10．把（2﹣a）根號(hào)外面的因式移到根號(hào)內(nèi)，結(jié)果是　﹣　． 【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡． 【分析】首先得出二次根式的符號(hào)，進(jìn)而利用二次根式的性質(zhì)化簡． 【解答】解：由題意可得：a﹣2＞0， 則2﹣a＜0， 故原式=﹣=﹣． 故答案為：﹣． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 　 11．如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為　2.4?。? 【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；垂線段最短． 【分析】根據(jù)三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形AEPF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，得EF=AP，則EF的最小值即為AP的最小值，根據(jù)垂線段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的高． 【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5， ∴AB2+AC2=BC2， 即∠BAC=90． 又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F， ∴四邊形AEPF是矩形， ∴EF=AP． 因?yàn)锳P的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即2.4， ∴EF的最小值為2.4， 故答案為：2.4． 【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，要能夠把要求的線段的最小值轉(zhuǎn)換為便于分析其最小值的線段． 　 12．已知菱形的對(duì)角線AC=6，BD=8，則該菱形的周長是　20　． 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)． 【分析】由菱形ABCD，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分且垂直，可得AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，易得AB=5；根據(jù)菱形的四條邊都相等，可得菱形的周長． 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC=AC=4，OB=OD=BD=3，AB=BC=CD=AD， ∴AB=5， ∴菱形的周長L=20． 故答案為20． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)：菱形的對(duì)角線互相平分且垂直；菱形的四條邊都相等． 　 13．如圖，在矩形ABCD中，∠BOC=120，AB=5，則BD的長為　10?。? 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)求出BD=2BO，OA=OB，求出∠AOB=60，得出等邊三角形AOB，求出BO=AB，即可求出答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD， ∴OA=OB， ∵∠BOC=120， ∴∠AOB=60， ∴△AOB是等邊三角形， ∴OB=AB=5， ∴BD=2BO=10， 故答案為：10． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，矩形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：矩形的對(duì)角線相等且互相平分． 　 14．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．若OE=3cm，則AD的長是　6　cm． 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得出點(diǎn)O平分BD，則OE是三角形ABD的中位線，則AD=2OE． 【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴BO=DO， ∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)， ∴OE為△ABD的中位線， ∴AD=2OE， ∵OE=3cm， ∴AD=6cm． 故答案為6． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡單． 　 15．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，BE的長為　或3?。? 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）． 【分析】當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況： ①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示． 連結(jié)AC，先利用勾股定理計(jì)算出AC=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E=∠B=90，而當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠EB′C=90，所以點(diǎn)A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B′處，則EB=EB′，AB=AB′=3，可計(jì)算出CB′=2，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4﹣x，然后在Rt△CEB′中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x． ②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)ABEB′為正方形． 【解答】解：當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況： ①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示． 連結(jié)AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∵∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處， ∴∠AB′E=∠B=90， 當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠EB′C=90， ∴點(diǎn)A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B′處， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5﹣3=2， 設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4﹣x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=， ∴BE=； ②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示． 此時(shí)ABEB′為正方形，∴BE=AB=3． 綜上所述，BE的長為或3． 故答案為：或3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等；對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理．注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解． 　 三、綜合題（共計(jì)55分） 16．已知y=+2，求+﹣2的值． 【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件． 【分析】由二次根式有意義的條件可知1﹣8x=0，從而可求得x、y的值，然后將x、y的值代入計(jì)算即可． 【解答】解：由二次根式有意義的條件可知：1﹣8x=0， 解得：x=． 當(dāng)x=，y=2時(shí)，原式==﹣2=+4﹣2=2． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)大于等于零是解題的關(guān)鍵． 　 17．如圖所示，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm．求CE的長？ 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；勾股定理；矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)，先在RT△ABF中求出BF，進(jìn)而得出FC的長，然后設(shè)CE=x，EF=8﹣x，從而在RT△CFE中應(yīng)用勾股定理可解出x的值，即能得出CE的長度． 【解答】解：由翻折的性質(zhì)可得：AD=AF=BC=10， 在Rt△ABF中可得：BF==6， ∴FC=BC﹣BF=4， 設(shè)CE=x，EF=DE=8﹣x，則在Rt△ECF中， EF2=EC2+CF2，即x2+16=（8﹣x）2， 解可得x=3， 故CE=3cm． 【點(diǎn)評(píng)】本題通過折疊變換考查學(xué)生的邏輯思維能力，解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，首先根據(jù)翻折的性質(zhì)得到一些相等的線段，然后靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行解答． 　 18．a(chǎn)，b，c為三角形ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判別這個(gè)三角形的形狀． 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；完全平方公式． 【分析】現(xiàn)對(duì)已知的式子變形，出現(xiàn)三個(gè)非負(fù)數(shù)的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方即可． 【解答】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， 得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）=0， 即：（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0， 由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得：， 解得， ∵52+122=169=132，即a2+b2=c2， ∴∠C=90， 即三角形ABC為直角三角形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用、完全平方公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可． 　 19．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)M，與BD相交于點(diǎn)N，連接BM，DN． 求證：四邊形BMDN是菱形． 【考點(diǎn)】菱形的判定． 【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得OB=OD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠OBN=∠ODM，然后利用“角邊角”證明△BON和△DOM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BN=MD，從而求出四邊形BMDN是平行四邊形，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得MB=MD，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可． 【解答】證明：∵M(jìn)N是BD的垂直平分線， ∴OB=OD，∠BON=∠DOM， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠OBN=∠ODM 在△BON和△DOM中， ， ∴△BON≌△DOM（ASA）， ∴BN=MD， ∴四邊形BMDN是平行四邊形， ∵M(jìn)N是BD的垂直平分線， ∴MB=MD， ∴平行四邊形BMDN是菱形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定，主要利用了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵． 　 20．如圖，E、F是?ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且BE∥DF，求證：BF=DE． 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】連接BD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BO=DO，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BEO=∠DFO，然后證明△BOE≌△DOF，可得EO=FO，可判定四邊形BEDF是平行四邊形，進(jìn)而可得ED=BF． 【解答】證明：連接BD， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴BO=DO， ∵BE∥DF， ∴∠BEO=∠DFO， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴EO=FO， ∴四邊形BEDF是平行四邊形， ∴ED=BF． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要平行四邊形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)角線互相平分，對(duì)邊相等． 　 21．如圖，在△ABC中，O是邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F． （1）求證：OE=OF； （2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？ 【考點(diǎn)】矩形的判定． 【分析】（1）根據(jù)MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角對(duì)等邊即可證得OE=OF； （2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：對(duì)角線且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形． 【解答】（1）證明：∵M(jìn)N∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC， ∴OE=OC，OC=OF， ∴OE=OF． （2）解：當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形， ∵AO=CO，OE=OF， ∴四邊形AECF是平行四邊形， ∵∠ECA+∠ACF=∠BCD， ∴∠ECF=90， ∴四邊形AECF是矩形． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的判定，關(guān)鍵是掌握有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形．