八年級數(shù)學下學期期末試卷（含解析） 新人教版

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2015-2016學年上海市靜安區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷 一、選擇題（本大題共6題，每題3分，滿分18分）【每題只有一個正確選項，在答題紙相應位置填涂】 1．當a＜0時，|a﹣1|等于（　　） A．a+1 B．﹣a﹣1 C．a﹣1 D．1﹣a 2．下列方程中，是無理方程的為（　?。? A． B． C． D． 3．某市出租車計費辦法如圖所示．根據圖象信息，下列說法錯誤的是（　?。? A．出租車起步價是10元 B．在3千米內只收起步價 C．超過3千米部分（x＞3）每千米收3元 D．超過3千米時（x＞3）所需費用y與x之間的函數(shù)關系式是y=2x+4 4．下列關于向量的運算，正確的是（　?。? A． B． C． D． 5．有一個不透明的袋子中裝有3個紅球、1個白球、1個綠球，這些球只是顏色不同．下列事件中屬于確定事件的是（　?。? A．從袋子中摸出1個球，球的顏色是紅色 B．從袋子中摸出2個球，它們的顏色相同 C．從袋子中摸出3個球，有顏色相同的球 D．從袋子中摸出4個球，有顏色相同的球 6．已知四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AC與BD相交于點O，那么下列條件中能判定四邊形ABCD是等腰梯形的是（　?。? A．AC=BD=BC B．AB=AD=CD C．OB=OC，AB=CD D．OB=OC，OA=OD 　 二、填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）【請將結果直接填入答題紙的相應位置上】 7．如果一次函數(shù)y=（k﹣2）x+1的圖象經過一、二、三象限，那么常數(shù)k的取值范圍是　?。? 8．方程x3+1=0的根是　?。? 9．方程的根是　?。? 10．用換元法解方程組時，如果設，，那么原方程組可化為關于u、v的二元一次方程組是　　． 11．已知函數(shù)，那么=　　． 12．從2、3、4這三個數(shù)字中任選兩個組成兩位數(shù)，在組成的所有兩位數(shù)中任意抽取一個數(shù)，這個數(shù)是素數(shù)的概率是　　． 13．如果一個n邊形的內角和是1440，那么n=　　． 14．如果菱形的邊長為5，相鄰兩內角之比為1：2，那么該菱形較短的對角線長為　?。? 15．在Rt△ABC中，∠C=90，AC=6，BC=8，點D、E分別是AC、AB邊的中點，那么△CDE的周長為　?。? 16．如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，點F為垂足，那么FC=　?。? 17．一次函數(shù)y=x+2的圖象經過點A（a，b），B（c，d），那么ac﹣ad﹣bc+bd的值為　?。? 18．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，∠BCD=60，CD=5．將梯形ABCD繞點A旋轉后得到梯形AB1C1D1，其中B、C、D的對應點分別是B1、C1、D1，當點B1落在邊CD上時，點D1恰好落在CD的延長線上，那么DD1的長為　?。? 　 附加題（本題最高得3分，當整卷總分不滿120分時，計入總分，整卷總分不超過120分） 19．如果關于x的方程m2x2﹣（m﹣2）x+1=0的兩個實數(shù)根互為倒數(shù)，那么m=　?。? 　 三、解答題（本大題共8題，滿分66分）[將下列各題的解答過程，做在答題紙上] 20．先化簡，再求值：，其中x=． 21．解方程：． 22．解方程組：． 23．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，過點A作AE∥DC交BC于點E． （1）寫出圖中所有與互為相反向量的向量：　　； （2）求作：、．（保留作圖痕跡，寫出結果，不要求寫作法） 24．已知：如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分別為E、F，AE、CF分別與BD相交于點G、H，聯(lián)結AH、CG． 求證：四邊形AGCH是平行四邊形． 25．某公司生產的新產品需要精加工后才能投放市場，為此王師傅承擔了加工300個新產品的任務．在加工了80個新產品后，王師傅接到通知，要求加快新產品加工的進程，王師傅在保證加工零件質量的前提下，平均每天加工新產品的個數(shù)比原來多15個，這樣一共用6天完成了任務．問接到通知后，王師傅平均每天加工多少個新產品？ 26．在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=x+b的圖象與x軸交于點A、與反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的圖象交于點B（a，3），且這個反比例函數(shù)的圖象經過點C（6，1）． （1）求出點A的坐標； （2）設點D為x軸上的一點，當四邊形ABCD是梯形時，求出點D的坐標和四邊形ABCD的面積． 27．已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=3，點E在AB的延長線上，且AE=AC，聯(lián)結CE，取CE的中點F，聯(lián)結BF、DF． （1）求證：DF⊥BF； （2）設AC=x，DF=y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出定義域； （3）當DF=2BF時，求BC的長． 　  2015-2016學年上海市靜安區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共6題，每題3分，滿分18分）【每題只有一個正確選項，在答題紙相應位置填涂】 1．當a＜0時，|a﹣1|等于（　?。? A．a+1 B．﹣a﹣1 C．a﹣1 D．1﹣a 【考點】絕對值． 【分析】根據負有理數(shù)的絕對值是它相反數(shù)得結論做出正確判斷． 【解答】解：當a＜0時，即a＜1，則|a﹣1|=1﹣a；故選D． 　 2．下列方程中，是無理方程的為（　?。? A． B． C． D． 【考點】無理方程． 【分析】可以判斷各選項中的方程是什么方程，從而可以得到哪個選項是正確的． 【解答】解：是一元二次方程， 是無理方程， =0是分式方程， 是一元一次方程， 故選B． 　 3．某市出租車計費辦法如圖所示．根據圖象信息，下列說法錯誤的是（　?。? A．出租車起步價是10元 B．在3千米內只收起步價 C．超過3千米部分（x＞3）每千米收3元 D．超過3千米時（x＞3）所需費用y與x之間的函數(shù)關系式是y=2x+4 【考點】一次函數(shù)的應用． 【分析】根據圖象信息一一判斷即可解決問題． 【解答】解：由圖象可知，出租車的起步價是10元，在3千米內只收起步價， 設超過3千米的函數(shù)解析式為y=kx+b，則，解得， ∴超過3千米時（x＞3）所需費用y與x之間的函數(shù)關系式是y=2x+4， 超過3千米部分（x＞3）每千米收2元， 故A、B、D正確，C錯誤， 故選C． 　 4．下列關于向量的運算，正確的是（　　） A． B． C． D． 【考點】*平面向量． 【分析】由三角形法則直接求解即可求得答案，注意掌握排除法在選擇題中的應用． 【解答】解：A、+=，故本選項正確； B、﹣=，故本選項錯誤； C、﹣=，故本選項錯誤； D、﹣=，故本選項錯誤． 故選：A． 　 5．有一個不透明的袋子中裝有3個紅球、1個白球、1個綠球，這些球只是顏色不同．下列事件中屬于確定事件的是（　?。? A．從袋子中摸出1個球，球的顏色是紅色 B．從袋子中摸出2個球，它們的顏色相同 C．從袋子中摸出3個球，有顏色相同的球 D．從袋子中摸出4個球，有顏色相同的球 【考點】隨機事件． 【分析】根據袋子中裝有3個紅球、1個白球、1個綠球以及必然事件、不可能事件、隨機事件的概念解答即可． 【解答】解：從袋子中摸出1個球，球的顏色是紅色是隨機事件； 從袋子中摸出2個球，它們的顏色相同是隨機事件； 從袋子中摸出3個球，有顏色相同的球是隨機事件； 從袋子中摸出4個球，有顏色相同的球是不可能事件， 故選：D． 　 6．已知四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AC與BD相交于點O，那么下列條件中能判定四邊形ABCD是等腰梯形的是（　　） A．AC=BD=BC B．AB=AD=CD C．OB=OC，AB=CD D．OB=OC，OA=OD 【考點】等腰梯形的判定． 【分析】根據等腰梯形的判定推出即可． 【解答】解：A、AC=BD=BC，不能證明四邊形ABCD是等腰梯形，錯誤； B、AB=AD=CD，不能證明四邊形ABCD是等腰梯形，錯誤； C、OB=OC，AB=CD，不能證明四邊形ABCD是等腰梯形，錯誤； D、∵OB=OC，OA=OD， ∴∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠ODA， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴∠ABO=∠DCO，AB=CD， 同理：∠OAB=∠ODC， ∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD=360， ∴∠DAB+∠ABC=180， ∴AD∥BC， ∴四邊形ABCD是梯形， ∵AB=CD， ∴四邊形ABCD是等腰梯形． 故選D 　 二、填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）【請將結果直接填入答題紙的相應位置上】 7．如果一次函數(shù)y=（k﹣2）x+1的圖象經過一、二、三象限，那么常數(shù)k的取值范圍是　k＞2　． 【考點】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系． 【分析】根據一次函數(shù)圖象所經過的象限確定k的符號． 【解答】解：∵一次函數(shù)y=（k﹣2）x+1（k為常數(shù)，k≠0）的圖象經過第一、二、三象限， ∴k﹣2＞0． 解得：k＞2， 故填：k＞2； 　 8．方程x3+1=0的根是　﹣1?。? 【考點】立方根． 【分析】先求出x3，再根據立方根的定義解答． 【解答】解：由x3+1=0得，x3=﹣1， ∵（﹣1）3=﹣1， ∴x=﹣1． 故答案為：﹣1． 　 9．方程的根是　x=0?。? 【考點】分式方程的解． 【分析】先去分母，再解整式方程，最后檢驗即可． 【解答】解：去分母得，x2+3x=0， 解得x=0或﹣3， 檢驗：把x=0代入x+3=3≠0， ∴x=0是原方程的解； 把x=﹣3代入x+3=﹣3+3=0， ∴x=﹣3不是原方程的解，舍去； ∴原方程的解為x=0， 故答案為x=0． 　 10．用換元法解方程組時，如果設，，那么原方程組可化為關于u、v的二元一次方程組是　?。? 【考點】換元法解分式方程． 【分析】設，，則=3u， =2v，從而得出關于u、v的二元一次方程組． 【解答】解：設，， 原方程組變?yōu)椋? 故答案為． 　 11．已知函數(shù)，那么=　?。? 【考點】函數(shù)值． 【分析】把自變量x=﹣代入函數(shù)解析式進行計算即可得解． 【解答】解：∵， ∴=； 故答案為． 　 12．從2、3、4這三個數(shù)字中任選兩個組成兩位數(shù)，在組成的所有兩位數(shù)中任意抽取一個數(shù)，這個數(shù)是素數(shù)的概率是　?。? 【考點】概率公式． 【分析】列表列舉出所有情況，看兩位數(shù)是素數(shù)的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可解答． 【解答】解：列表如下： 2 3 4 2 （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，2） （4，3） （4，4） 共有9種等可能的結果，其中是素數(shù)的有3種，概率為； 故答案為： 　 13．如果一個n邊形的內角和是1440，那么n=　10?。? 【考點】多邊形內角與外角． 【分析】根據多邊形的內角和公式：（n﹣2）180，列出方程，即可求出n的值． 【解答】解：∵n邊形的內角和是1440， ∴（n﹣2）180=1440， 解得：n=10． 故答案為：10． 　 14．如果菱形的邊長為5，相鄰兩內角之比為1：2，那么該菱形較短的對角線長為　5?。? 【考點】菱形的性質． 【分析】根據已知可得較小的內角為60，從而得到較短的對角線與菱形的一組鄰邊組成一個等邊三角形，從而可求得較短對角線的長度． 【解答】解：如圖所示：∵菱形的邊長為5， ∴AB=BC=CD=DA=5，∠B+∠BAD=180， ∵菱形相鄰兩內角的度數(shù)比為1：2， 即∠B：∠BAD=1：2， ∴∠B=60， ∴△ABC是等邊三角形， ∴AC=AB=5； 故答案為：5． 　 15．在Rt△ABC中，∠C=90，AC=6，BC=8，點D、E分別是AC、AB邊的中點，那么△CDE的周長為　12?。? 【考點】三角形中位線定理． 【分析】利用勾股定理求得邊AB的長度，然后結合三角形中位線定理得到DE=AB，則易求△CDE的周長． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=6，BC=8， ∴AB===10． 又∵點D、E分別是AC、AB邊的中點， ∴CE=BC=4，CD=AC=3，ED是△ABC的中位線， ∴DE=AB=5， ∴△CDE的周長=CE+CD+ED=4+3+5=12． 故答案是：12． 　 16．如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，點F為垂足，那么FC=　﹣1　． 【考點】正方形的性質；角平分線的性質． 【分析】根據正方形的性質和已知條件可求得AF，AC的長，從而不難得到FC的長． 【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=AD=CD=1，∠D=∠B=90， ∴AC==， ∵AE平分∠DAC，EF⊥AC交于F， ∴AF=AD=1， ∴FC=AC﹣AF=﹣1， 故答案為：； 　 17．一次函數(shù)y=x+2的圖象經過點A（a，b），B（c，d），那么ac﹣ad﹣bc+bd的值為　4?。? 【考點】一次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】先根據點A、B的坐標代入解析式，再代入代數(shù)式計算即可求解． 【解答】解：把點A、B的坐標代入解析式， 可得：a+2=b，c+2=d， 所以ac﹣ad﹣bc+bd=ac﹣a（c+2）﹣（a+2）c+（a+2）（c+2）=4； 故答案為：4 　 18．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，∠BCD=60，CD=5．將梯形ABCD繞點A旋轉后得到梯形AB1C1D1，其中B、C、D的對應點分別是B1、C1、D1，當點B1落在邊CD上時，點D1恰好落在CD的延長線上，那么DD1的長為　　． 【考點】旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；直角梯形． 【分析】先根據旋轉的性質得出△DAB≌△D1AB1，再根據全等三角形的性質以及等腰三角形的性質，得出∠2=∠3，然后根據平行線的性質，得出∠2=∠4，若設∠1=∠2=∠3=∠4=α，則根據∠2+∠3+∠5=180，可以求得α的度數(shù)為60，最后根據△ADD1、△BCD都是等邊三角形，求得DD1=AD=． 【解答】解：如圖，將梯形ABCD繞點A旋轉后得到梯形AB1C1D1，連接BD， 由旋轉得：AD=AD1，AB=AB1，∠DAD1=∠BAB1， ∴∠DAB=∠D1AB1，且∠1=∠3， 在△DAB和△D1AB1中， ， ∴△DAB≌△D1AB1（SAS）， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∵AD∥BC， ∴∠2=∠4， 設∠1=∠2=∠3=∠4=α，則∠5=180﹣∠4﹣∠C=120﹣α， ∵∠2+∠3+∠5=180， ∴α+α+120﹣α=180， 解得α=60， ∴∠1=∠2=∠3=∠4=60， ∴△ADD1、△BCD都是等邊三角形， ∴BD=CD=5，∠ABD=30， ∴Rt△ABD中，AD=BD=， ∴DD1=AD=． 故答案為： 　 附加題（本題最高得3分，當整卷總分不滿120分時，計入總分，整卷總分不超過120分） 19．如果關于x的方程m2x2﹣（m﹣2）x+1=0的兩個實數(shù)根互為倒數(shù)，那么m=　﹣1?。? 【考點】根與系數(shù)的關系． 【分析】先根據根與系數(shù)的關系得到=1，解得m=﹣1或m=1，然后根據判別式的意義確定滿足條件的m的值． 【解答】解：∵方程m2x2﹣（m﹣2）x+1=0的兩個實數(shù)根互為倒數(shù)， ∴=1，解得m=1或m=﹣1， 當m=1時，方程變形為x2+x+1=0，△=1﹣411=﹣3＜0，方程沒有實數(shù)解， 所以m的值為﹣1． 故答案為：﹣1． 　 三、解答題（本大題共8題，滿分66分）[將下列各題的解答過程，做在答題紙上] 20．先化簡，再求值：，其中x=． 【考點】分式的化簡求值． 【分析】要熟悉混合運算的順序，分式的除法轉化為分式的乘法運算，最后算減法，注意化簡后，將x=代入化間后的式子求出即可． 【解答】解： 原式=+， =+， =+， =， 當x=+1，原式= 　 21．解方程：． 【考點】無理方程． 【分析】分析：將方程中左邊的一項移項得：，兩邊平方得，，兩邊再平方得x﹣3=1，解得x=4，最后驗根，可求解． 【解答】解：， ， ， x﹣3=1， x=4． 經檢驗：x=4是原方程的根， 所以原方程的根是x=4． 　 22．解方程組：． 【考點】高次方程． 【分析】先把第二個方程因式分解，把二元二次方程組轉化為二元一次方程組，求解即可． 【解答】解：由②得 x﹣4y=0或x+3y=0， 原方程組可化為（Ⅰ）（Ⅱ）， 解方程組（Ⅰ）得， 方程組（Ⅱ）無解， 所以原方程組的解是． 　 23．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，過點A作AE∥DC交BC于點E． （1）寫出圖中所有與互為相反向量的向量：　，，??； （2）求作：、．（保留作圖痕跡，寫出結果，不要求寫作法） 【考點】*平面向量；梯形． 【分析】（1）根據平行四邊形的性質即可解決問題． （2）根據向量和差定義即可解決． 【解答】解：（1）∵AD∥EC，AE∥DC， ∴四邊形AECD是平行四邊形， ∴AD=EC， ∵BC=2AD， ∴BE=EC， ∴所有與互為相反向量的向量有、、． （2）如圖﹣=， +=+=， 圖中.就是所求的向量． 　 24．已知：如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分別為E、F，AE、CF分別與BD相交于點G、H，聯(lián)結AH、CG． 求證：四邊形AGCH是平行四邊形． 【考點】平行四邊形的判定與性質． 【分析】法1：由平行四邊形對邊平行，且CF與AD垂直，得到CF與BC垂直，根據AE與BC垂直，得到AE與CF平行，得到一對內錯角相等，利用等角的補角相等得到∠AGB=∠DHC，根據AB與CD平行，得到一對內錯角相等，再由AB=CD，利用AAS得到三角形ABG與三角形CDH全等，利用全等三角形對應邊相等得到AG=CH，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得證； 法2：連接AC，與BD交于點O，利用平行四邊形的對角線互相平分得到OA=OC，OB=OD，再由AB與CD平行，得到一對內錯角相等，根據CF與AD垂直，AE與BC垂直，得一對直角相等，利用ASA得到三角形ABG與三角形CDH全等，利用全等三角形對應邊相等得到BG=DH，根據等式的性質得到OG=OH，利用對角線互相平分的四邊形為平行四邊形即可得證． 【解答】證明：法1：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD， ∵CF⊥AD， ∴CF⊥BC， ∵AE⊥BC， ∴AE∥CF，即AG∥CH， ∴∠AGH=∠CHG， ∵∠AGB=180﹣∠AGH，∠DHC=180﹣∠CHG， ∴∠AGB=∠DHC， ∵AB∥CD， ∴∠ABG=∠CDH， ∴△ABG≌CDH， ∴AG=CH， ∴四邊形AGCH是平行四邊形； 法2：連接AC，與BD相交于點O， 在□ABCD中，AO=CO，BO=DO，∠ABE=∠CDF，AB∥CD， ∴∠ABG=∠CDH， ∵CF⊥AD，AE⊥BC， ∴∠AEB=∠CFD=90， ∴∠BAG=∠DCH， ∴△ABG≌CDH， ∴BG=DH， ∴BO﹣BG=DO﹣DH， ∴OG=OH， ∴四邊形AGCH是平行四邊形． 　 25．某公司生產的新產品需要精加工后才能投放市場，為此王師傅承擔了加工300個新產品的任務．在加工了80個新產品后，王師傅接到通知，要求加快新產品加工的進程，王師傅在保證加工零件質量的前提下，平均每天加工新產品的個數(shù)比原來多15個，這樣一共用6天完成了任務．問接到通知后，王師傅平均每天加工多少個新產品？ 【考點】分式方程的應用． 【分析】根據關鍵句子“王師傅在保證加工零件質量的前提下，平均每天加工新產品的個數(shù)比原來多15個，這樣一共用6天完成了任務”找到等量關系列出方程求解即可． 【解答】解：設接到通知后，王師傅平均每天加工x個新產品． 根據題意，得． x2﹣65x+550=0， x1=55，x2=10． 經檢驗：x1=55，x2=10都是原方程的解，但x2=10不符合題意，舍去． 答：接到通知后，王師傅平均每天加工55個新產品． 　 26．在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=x+b的圖象與x軸交于點A、與反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的圖象交于點B（a，3），且這個反比例函數(shù)的圖象經過點C（6，1）． （1）求出點A的坐標； （2）設點D為x軸上的一點，當四邊形ABCD是梯形時，求出點D的坐標和四邊形ABCD的面積． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】（1）首先利用C點坐標計算出反比例函數(shù)中的k的值，進而可得反比例函數(shù)解析式，再利用反比例函數(shù)解析式計算出B的坐標，把B點坐標代入y=x+b可得B的值，進而可得一次函數(shù)解析式，然后可得一次函數(shù)y=x+b的圖象與x軸交點A的坐標； （2）點D為x軸上的一點，因此不可能出現(xiàn)AD∥BC的情形，只有可能AB∥CD，設直線CD的解析式為y=x+m，把C點坐標代入可得m的值，然后可得D點坐標，分別過點B、C作BE⊥x軸、CF⊥x軸，垂足分別為E、F，然后利用圖形中的面積關系計算出四邊形ABCD的面積即可． 【解答】解：（1）方法一：∵反比例函數(shù)經過點C（6，1）， ∴， ∴k=6， ∴反比例函數(shù)解析式為． ∵B（a，3）在該反比例的圖象上， ∴， ∴a=2， 即B（2，3）， ∵y=x+b經過點B（2，3）， ∴y=x+1， 令y=x+1=0，得x=﹣1， ∴A（﹣1，0）． 方法二：∵點C（6，1）與點B（a，3）都在反比例函數(shù)的圖象上， ∴61=a3=k， ∴a=2， ∴B（2，3）． ∵y=x+b經過點B（2，3）， ∴y=x+1， 令y=x+1=0，得x=﹣1， ∴A（﹣1，0）． （2）∵四邊形ABCD是梯形，且點D為x軸上的一點， ∴不可能出現(xiàn)AD∥BC的情形，只有可能AB∥CD， ∵直線AB的解析式為y=x+1， ∴可設直線CD的解析式為y=x+m， ∵y=x+m經過點C（6，1）， ∴y=x﹣5， 令y=x﹣5=0，得x=5， ∴D（5，0）， 分別過點B、C作BE⊥x軸、CF⊥x軸，垂足分別為E、F， 則S梯形ABCD=S△ABE+S梯形BEFC﹣S△DCF， = ==12． 　 27．已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=3，點E在AB的延長線上，且AE=AC，聯(lián)結CE，取CE的中點F，聯(lián)結BF、DF． （1）求證：DF⊥BF； （2）設AC=x，DF=y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出定義域； （3）當DF=2BF時，求BC的長． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（1）方法一：如圖1中，連接AF，只要證明△ABF≌DCF即可．方法二：如圖2中，連接BD，與AC相交于點O，聯(lián)結OF，只要證明OB=OF=OD即可． （2）由y=DF=即可解決問題． （3）首先證明CE=DF=AF，列出方程即可解決． 【解答】（1）證明：方法一：如圖1中，連接AF， ∵AE=AC，點F為CE的中點， ∴AF⊥CE，即∠AFC=90， ∵在矩形ABCD中，AB=CD，∠ABC=∠DCB=90， ∴∠CBE=180﹣∠ABC=90， ∴EF=BF=CF=， ∴∠FBC=∠FCB，即∠ABC+∠FBC=∠DCB+∠FCB， ∴∠ABF=∠DCF， 在△ABF和△DCF中， ， ∴△ABF≌DCF， ∴∠AFB=∠DFC， ∴∠BFD=∠AFB+∠AFD=∠AFD+∠DFC=∠AFC=90， 即DF⊥BF； 方法二：如圖2中，連接BD，與AC相交于點O，聯(lián)結OF， ∵在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OA=OC=OB=OD=AC=BD， ∵點F是CE的中點，∴OF=AE， ∵AE=AC，∴OF=AC=BD， ∴OF=OB=OD， ∴∠OBF=∠OFB，∠OFD=∠ODF， ∵∠OBF+∠OFB+∠OFD+∠ODF=180， ∴2∠OFB+2∠OFD=180， ∴∠OFB+∠OFD=90，即∠BFD=90，∴DF⊥BF； （2）解：在Rt△ABC中，BC2=AC2﹣AB2=x2﹣9， ∵AE=AC=x，∴BE=x﹣3， ∴EC===， ∴BF==， ∴y=DF===， ∴y=（x＞3）． （3）∵△ABF≌DCF，∴AF=DF， ∵在Rt△ABC中，CE=2BF，又∵DF=2BF，∴CE=DF=AF， ∴=， ∴x1=0，x2=5．經檢驗，x1=0，x2=5都是方程的根，但x=0不符合題意． ∴BC===4．