初中數(shù)學破題致勝微方法（巧用旋轉）90°的旋轉1

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90的旋轉 【例】如圖，在△ABD中，∠BAD=90，將△ABD繞點A逆時針方向旋轉90至△ACE的位置．連接BC、ED．求證：ED⊥BC 【分析】根據(jù)旋轉的性質，會得到旋轉前后所對應的兩個三角形全等，借助全等的性質和線段的共端點，得到AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE=90，則可判斷△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，然后根據(jù)三角形內角和可計算出∠DHC=90，則利用垂直的定義即可得到ED⊥BC． 【解答】證明：延長ED交BC于H，如圖， ∵△ABD繞點A逆時針方向旋轉90至△ACE的位置， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE=90， ∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠ACB=45，∠ADE=45， ∴∠HDC=∠ADE=45， ∴∠DHC=180-∠DCH-∠HDC=90， ∴ED⊥BC． 【總結】當遇到繞其中一個圖形的定點旋轉這個圖形90時，共旋轉中心的邊及旋轉后的邊組成等腰直角三角形，可結合其性質解決題中的問題 【練習】1.如圖,點E是正方形ABCD內的一點,連接AE,BE,CE,將△ABE繞點B順時針旋轉90到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,則∠BE′C=________. 2.如圖,已知點P是正方形內一點,△ABP旋轉后能與△CBE重合. (1)△ABP旋轉的旋轉中心是什么?旋轉了多少度? (2)若BP=2,求PE的長. 3.如圖,已知P為正方形ABCD內一點,以點B為旋轉中心,將△ABP順時針旋轉使點A和點C重合,這時點P旋轉至點G. (1)畫出旋轉后的圖形; (2)連接PG,交BC于點H,若∠ABP=50,求∠PHC的度數(shù). 4.如圖,點P是正方形ABCD內一點,點P到點A,B和D的距離分別為.△ADP沿點A旋轉至△ABP′,連結PP′,并延長AP與BC相交于點Q. (1)求證:△APP′是等腰直角三角形; (2)求∠BPQ的大小; (3)求CQ的長. 【答案】1. 135分析：連接EE′，借助旋轉的性質得到△ABE≌△CBE′得到△BEE′為等腰直角三角形，又E′C=EA=1, E′E= ,CE=3,借助勾股定理的逆定理得到直角三角形E′EC,則∠EE′C=90，∴∠BE′C=135. 2.解：（1）∵四邊形ABCD為正方形， ∴BA=BC，∠ABC=90， ∵△ABP旋轉后能與△CBE重合， ∴△ABP旋轉的旋轉中心是點B，按順時針方向旋轉90； （2）∵△ABP旋轉后能與△CBE重合， ∴BP=BE=2，∠PBE=90， 3. 解：(1) 旋轉后的△BCG如圖所示. （2）∵以點B為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉使A點和C點重合， ∴BP=BG， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠PBG=90， ∴△PBG是等腰直角三角形， ∴∠BPG=∠BGP=45， ∵∠ABP=50， ∴∠PBH=90-50=40， ∴∠PHC=∠PBH+∠BPH=45+50=95．