中考數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)聚焦 第二十章 圓

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第二十章　圓 考情分析 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1.垂徑定理 ★★★ 12～20分 2.圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 ★ 3.圓周角定理 ★★ 4.圓內(nèi)接四邊形 ★ 5.三角形的外接圓與內(nèi)切圓 ★★ 6.切線的判定及性質(zhì) ★★★ 7.切線長(zhǎng)及切線長(zhǎng)定理 ★ 8.正多邊形的有關(guān)計(jì)算 ★ 9.弧長(zhǎng)及扇形面積公式 ★★★ 10.圓錐的側(cè)面積及全面積 ★★ 知能圖譜 第47講　圓的有關(guān)概念及性質(zhì) 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）圓的概念 1　概念 （1）在描述性定義：如圖所示，在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫作圓。其固定的端點(diǎn)叫作圓心，線段叫作半徑。 （2）集合性定義：圓心為、半徑為的圓可以看成是所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。 2　圓的表示方法 以點(diǎn)為圓心的圓，記作，讀作“圓”。 3　圓的特征 （1）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑）； （2）到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上。 點(diǎn)撥 （1）圓指的是“圓周”，即一條封閉的曲殘，而不是“圓面”。 （2）“圓上的點(diǎn)”指的是圓周上的點(diǎn)，圓心不在圓周上。 （3）確定一個(gè)圓需要兩個(gè)要素:一是定點(diǎn)，即圓心；二是定長(zhǎng)，即半徑。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。只有圓心和半徑都確定了，圓才能被唯一確定。記憶口訣：圓有兩要素，半徑和圓心；半徑定大小，圓心定位置。 知能解讀（二）圓的有關(guān)概念 名稱 概念 注意 圖示 弦 連接圓上任意兩點(diǎn)的 線段叫作弦，如右圖 中“弦” 直徑是圓中最長(zhǎng)的弦不一定是直徑 直徑 經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑，如右圖中“直徑” 但弦不一定是直徑 弧、半圓、劣孤、優(yōu)弧 圓上任意兩點(diǎn)間的部 分叫作圓弧，簡(jiǎn)稱弧。 圓的任意一條直徑的 兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩 條弧，每一條弧都叫 作半圓；大于半圓的 弧叫作優(yōu)弧，用三個(gè)字母表示，如右圖中 的；小于半圓的弧叫作劣弧，用兩個(gè)字母表示，如右圖中 半圓是弧，但弧不一定是半圓 等圓 能夠重合的兩個(gè)圓叫作等圓，容易看出：半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；反過(guò)來(lái)，等圓的半徑相等 等圓只和半徑的大小有關(guān)，和圓心有位置有關(guān) 等弧 在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫作等孤 長(zhǎng)度相等的孤不一定是等孤 知能解讀（三）圓的對(duì)稱性 圓既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。 將圓周繞圓心旋轉(zhuǎn)180能與自身重合，因此它是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是圓心。將圓周周繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都能與自身重合，這說(shuō)明圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。 經(jīng)過(guò)圓心畫任意一條直線，并沿此直線將圓對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，所以圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸，所以圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。 知能解讀（四）垂直定理及其推論 （1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。如圖所示，是的直徑，是的弦，交于點(diǎn)，若，則 注意 （1）垂徑定理中的垂徑可以是直徑、半徑或過(guò)圓心的直線或線段，其本質(zhì)是“過(guò)圓心”。 （2）垂徑定理中的“弦”為直徑時(shí)，結(jié)論仍成立。 （2）垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。如圖1-47-2，是非直徑的弦，是直徑，若則 。 注意 垂徑定理的推論中，被平分的弦不能是直徑，如果弦是直徑，兩直徑互相平分，結(jié)論就不成立，如圖所示，直徑平分直徑，但不垂直于。 （1）垂直定理是證明線段相等、弧相等的重要依據(jù)，同時(shí)也為圓的計(jì)算和作圖問(wèn)題提供了思考的方法和理論依據(jù)。 （2）一條直線如果具有：①經(jīng)過(guò)圓心，②垂直于弦，③平分弦（被平分的弦不是直徑），④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，⑤平分弦所對(duì)的劣弧，這五條中的任意兩條，那么必然具備其余三條。 知能解讀（五）圓心角的定義及與弧、弦之間的關(guān)系 1　圓心角的定義 頂點(diǎn)在圓心的角叫作圓心角。 2.弧、弦、圓心角之間的關(guān)系 （1）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。如圖所示，在⊙中，若，則有，。 （2）推論1：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等。 （3）推論2：在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分別相等。 以上三個(gè)關(guān)系可總結(jié)為：在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。 注意 圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)，不能說(shuō)圓心角等于它所對(duì)的弧。 知能解讀（六）圓周角的定義及性質(zhì) 1.圓周角的概念 頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫作圓周角。 圓周角具備兩個(gè)特征： （1）角的頂點(diǎn)在圓上；（2）角的兩邊在圓內(nèi)部的線段都是圓的弦。 2.圓周角定理及推論 （1）定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。 （2）推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。 （3）推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 點(diǎn)撥 （1）若將“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”結(jié)論就不一定成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩類，它們一般不相等。 （2）推論2給出了圓中一種常見(jiàn)的作輔助線的方法：若有直徑，通常作直徑所對(duì)的圓周角；反過(guò)來(lái)，若有的圓周角，通常作直徑。 知能解讀（七）圓內(nèi)接多邊形 （1）圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫作圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫作這個(gè)多邊形的外接圓。 （2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。 拓展：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，其四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上。 方法技巧歸納 方法技巧（一）運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行解題的方法 在應(yīng)用垂徑定理與推論進(jìn)行計(jì)算時(shí)，往往要構(gòu)造如圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與勾股定理有：。根據(jù)此公式，在，，三個(gè)量中，知道任意兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量。 方法技巧（二）利用弧、弦、圓心角之間的關(guān)系解題 在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角及其所對(duì)的兩條弧、兩條弦中只要有一組量相等，對(duì)應(yīng)的另外兩組量也分別相等。 點(diǎn)撥 在圓中證明弧相等時(shí)往往要證明弧所對(duì)的圓心角或弦相等，在證明圓心角或弦相等時(shí)常由相應(yīng)的半徑、弦的一半、圓心與弦中點(diǎn)的連線段構(gòu)造直角三角形，通過(guò)證明三角形全等來(lái)解決。 方法技巧（三）利用圓周角的性質(zhì)進(jìn)行解題的方法 在求圓周角或圓心角的度數(shù)時(shí)，通常要找出或構(gòu)造出同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓周角或圓心角。若題目中有直徑，常常添加輔助線，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角，利用垂徑定理或直角三角形求解。 注意 在圓內(nèi)，同弧所對(duì)的圓周角相等是一個(gè)隱含條件，注意其在證明過(guò)程中的應(yīng)用。 方法技巧（四）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角的度數(shù) 利用“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”可以求一些不易求得的圓周角的度數(shù)。 方法技巧（五）圓中兩條線段長(zhǎng)度之和最小的問(wèn)題 在圓中求兩條線段長(zhǎng)度之和最小的問(wèn)題，通常通過(guò)轉(zhuǎn)化，運(yùn)用垂徑定理和兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解決，考查靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.直徑與弦的關(guān)系。 直徑是弦，但弦不一定是直徑，只是過(guò)圓心的弦才是直徑，直徑是最長(zhǎng)的弦。 2.在同一個(gè)圓中，一條弦所對(duì)的圓周角有兩種情況，但解題時(shí)常因考慮不周漏解。 3.應(yīng)用垂徑定理的推論時(shí)，對(duì)條件的理解不透致錯(cuò)。 在應(yīng)用垂徑定理的推論時(shí)，平分弦作條件時(shí)，必須指出被平分的弦是非直徑的弦，否則命題不一定成立。 易混易錯(cuò)（一）求平行弦之間的距離出現(xiàn)錯(cuò)誤 易混易錯(cuò)（二）求一條弦所對(duì)的圓周角易漏解 中考試題研究 中考命題規(guī)律 垂徑定理，圓周角定理以及圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等內(nèi)容是中考的必考內(nèi)容，常在圓的半徑、弦長(zhǎng)的計(jì)算中運(yùn)用。圓周角的知識(shí)常與其他的知識(shí)綜合在一起考查，題型有選擇題、填空題及簡(jiǎn)單的解答題或證明題，屬中、低檔題。 中考試題（一）利用圓的相關(guān)概念求解 中考試題（二）利用圓的相關(guān)概念推理證明 第48講 點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 點(diǎn)和圓的 位置關(guān)系 點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系 圖示 文字語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 點(diǎn)在圓內(nèi) 圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都小于半徑，到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)都在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓上 圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑，到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在圓上 點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓外 圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都大于半徑，到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)都在圓外 點(diǎn)在圓外 點(diǎn)撥 （1）利用與的數(shù)量關(guān)系可以判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系；同時(shí)，知道了點(diǎn)和圓的位置善長(zhǎng)，也可以確定與的數(shù)量關(guān)系。 （2）符號(hào)“”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端。 知能解讀（二）確定圓的條件 條件 類別 過(guò)一點(diǎn)作圓 過(guò)兩點(diǎn)作圓 過(guò)不在同一條直 線上的三點(diǎn)作圓 理論 依據(jù) 經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)作圓時(shí)，只要以點(diǎn)以外任意一點(diǎn)為圓心，以這點(diǎn)到點(diǎn)的距離為半徑就能作出一個(gè)圓，這樣的圓能作出無(wú)數(shù)多個(gè) 經(jīng)過(guò)平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，作圓，由于圓心到這兩個(gè)點(diǎn)的距離相等，所以圓心在線段的垂直平分線上，這樣的圓心有無(wú)數(shù)多個(gè)，這樣的圓能作出無(wú)數(shù)多個(gè) 經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，，作圓，圓心到這三個(gè)點(diǎn)的距離相等。因此，圓心是線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以（或，）為半徑可作出經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓，這樣的圓只有一個(gè) 圓形 結(jié)論 不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓 注意 （1）“不在同一條直線上”這個(gè)條件不可忽略。 （2）“確定”一詞理解為“有且只有”，說(shuō)明這樣的圓是存在的，并且是唯一的。 知能解讀（三）三角形的外接圓與外心 （1）三角形外接圓的相關(guān)概念：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫作三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫作這個(gè)三角形的外心。 （2）三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，等于外接圓的半徑。 拓展 銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形的外部，即三角形的外心隨三角形的形狀變化其位置也發(fā)生變化，如圖所示。 （1）“接”是說(shuō)明三角形的頂點(diǎn)和圓的關(guān)系，而“內(nèi)”“外”是相對(duì)的概念，以一個(gè)圖為準(zhǔn)，說(shuō)明另一個(gè)圖在它里面或外面。 （2）任何一個(gè)三角形的外心均是其兩邊中垂線的交點(diǎn)，只要三角形確定，其外心和外接圓就唯一確定。 知能解讀（四）直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離。 直線和圓的位置關(guān)系 相交 相切 相離 定義 直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相交 直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相切 直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相離 圖形 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 2 1 0 圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系 公共點(diǎn)名稱直線名稱 交點(diǎn)割線 切點(diǎn)切線 —— 點(diǎn)撥 （1）設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為則有：①直線和相交；②直線和相切；③直線和相離。 （2）判斷直線和圓的位置關(guān)系有兩種方法：一是根據(jù)定義即可公共點(diǎn)個(gè)數(shù)判定；二是根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判定。 知能解讀（五）切線的判定與性質(zhì) （1）判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 點(diǎn)撥 切線必須滿足兩個(gè)條件：（1）經(jīng)過(guò)半徑的外端；（2）垂直于這條半徑，兩個(gè)條件缺一不可。 （2）性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)點(diǎn)的半徑。 拓展 推論：①經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；②經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直到切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。 圓的切線性質(zhì)定理與它的兩個(gè)推論涉及一條直線滿足的三個(gè)條件：（1）垂直于切線；（2）過(guò)切點(diǎn)；（3）過(guò)圓心，如果一條直線滿足于以上三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足另外一個(gè)條件，也可簡(jiǎn)單地理解為“二推一”。 知能解讀（六）切線長(zhǎng) （1）定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)，叫作這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。 （2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。 點(diǎn)撥 切線長(zhǎng)定理包括線段相等和角相等的兩個(gè)結(jié)論及垂直關(guān)系等。 知能解讀（七）三角形的內(nèi)切圓 （1）有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫作三角形的內(nèi)心。 （2）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三條邊的距離相等。 點(diǎn)撥 （1）設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)為c，則它的內(nèi)切圓半徑； （2）三角形的頂點(diǎn)到其所在兩邊上的內(nèi)切圓切點(diǎn)的距離相等； （3）三角形的周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半等于這個(gè)三角形的面積，即其中為的內(nèi)切圓半徑，分別為的三邊長(zhǎng)。 方法技巧歸納 方法技巧（一）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判別方法 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，主要依據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來(lái)判斷：點(diǎn)與圓心的距離大于半徑，點(diǎn)在圓外；點(diǎn)與圓心的距離感等于半徑，點(diǎn)在圓上；點(diǎn)與圓心的距離小于半徑，點(diǎn)在圓內(nèi)，反之亦然。 點(diǎn)撥 確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法是計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離，與半徑比較大小，若知道點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可判斷圓的半徑與點(diǎn)到圓心的距離的大小關(guān)系。 方法技巧（二）三角形外接圓的應(yīng)用方法 三角形的外接圓的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是求外接圓的半徑；二是利用外接圓性質(zhì)解決某些實(shí)際問(wèn)題。 點(diǎn)撥 直角三角形的外接圓是以斜邊中點(diǎn)為圓心，斜邊長(zhǎng)的一半為半徑的圓。 方法技巧（三）直線和圓的位置關(guān)系的判別方法 直線和圓的位置關(guān)系要依據(jù)圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判斷，有相離、相切、相交三種情形。 點(diǎn)撥 根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系。①當(dāng)時(shí)，直線與圓相離；②當(dāng)時(shí)，直線與圓相切；③當(dāng)時(shí)，直線與圓相交。 方法技巧（四）切線的判定方法 圓的切線的判定方法通常分為兩種情況：若題目給出直線和圓，但沒(méi)有給出公共點(diǎn)時(shí)，需“作垂直，證半徑”，利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判定；若題目給出直線和圓的公共點(diǎn)時(shí)，利用“連半徑，證垂直”的方法進(jìn)行判定。 方法技巧（五）切線性質(zhì)的應(yīng)用方法 當(dāng)題目中給出圓的切線時(shí)，通常要作出過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題。 點(diǎn)撥 利用切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形是解決此類問(wèn)題常用的方法。 方法技巧（六）切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用 切線長(zhǎng)定理包括線段相等的角相等兩個(gè)結(jié)論，利用該定理可以證明線段相等、角相等、弧相等以及線段的垂直關(guān)系等。圖是切線長(zhǎng)定理的一個(gè)基本圖形，可以得出很多結(jié)論，如①②③;　④⑤ 等。 注意 本題中的兩個(gè)常識(shí)性結(jié)論請(qǐng)牢記，以后可以直接用于填空題和選擇題的計(jì)算中：一是三條切線（本題中的）圍成的三角形的周長(zhǎng)等于切線長(zhǎng)（或）的2倍，二是 方法技巧（七）三角形內(nèi)切圓的應(yīng)用 三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形三條邊的距離相等。解決內(nèi)切圓的問(wèn)題，還應(yīng)利用“圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”這一性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題。 點(diǎn)撥 本題不僅應(yīng)用了三角形內(nèi)心的性質(zhì)，而且應(yīng)用了切線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用兩性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.三角形的外心與內(nèi)心混淆。 三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，而內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。 2.直線和圓的位置關(guān)系與線段和圓的位置關(guān)系混淆。 易混易錯(cuò)（一）證明某直線是圓的切線時(shí)，無(wú)論直線是否經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)，都連接圓心與直線上的一點(diǎn)而致錯(cuò) 易混易錯(cuò)（二）混淆線段和圓有一個(gè)公共點(diǎn)與直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)致錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的內(nèi)容是中考的必考內(nèi)容，主要考查直線和圓的位置關(guān)系、切線的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓及切線長(zhǎng)定理等內(nèi)容，題型有選擇題、填空題和證明題、多為中、低檔題。 中考試題（一）與切線有關(guān)的求解問(wèn)題 中考試題（二）與切線有關(guān)的推理論證問(wèn)題 中考試題（三）創(chuàng)新問(wèn)題的求解 點(diǎn)撥 本題是閱讀理解題，解答閱讀理解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題中提供的方法與信息進(jìn)行解題。 第49講　與圓有關(guān)的計(jì)算 知能解答（一）正多邊形及有關(guān)概念 （1）正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。 （2）正多邊形的畫法：把圓等分（），順次連接各等分點(diǎn)，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。 （3）正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫作這個(gè)正多邊形的中心（如圖1-49-1所示）。 （4）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑（如圖所示）。 （5）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫作正多邊形的中心角（1-49-1所示）。 （6）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距（如圖1-49-1所示）。 知能解讀（二）正多邊形的有關(guān)計(jì)算 （1）正邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于 （2）正邊形的每個(gè)中心角都等于 （3）正邊形的其他計(jì)算都可以轉(zhuǎn)化到由半徑、邊心距及邊長(zhǎng)的一半組成的直角三角形中進(jìn)行，如圖所示，設(shè)正邊形的半徑為一邊，邊心距，則有正邊形的周長(zhǎng)面積 點(diǎn)撥 （1）由正邊形的內(nèi)角與外角互補(bǔ)，正邊形的中心角等于外角，可得正邊形的內(nèi)角與中心角互補(bǔ)。 （2）正六邊形的邊長(zhǎng)等于其外接圓半徑，正三角形的邊長(zhǎng)等于其外接圓半徑的倍，正方形的邊長(zhǎng)等于其外接圓半徑的倍。 知能解讀（三）弧長(zhǎng)的計(jì)算 （1）弧長(zhǎng)公式： （2）公式推導(dǎo)：在半徑為的圓中，因?yàn)榈膱A心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)，所以的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是即于是的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為 注意 （1）在弧長(zhǎng)公式中，表示的圓心角的倍數(shù)，不帶單位。例如圓的半徑，計(jì)算的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)時(shí)，不要錯(cuò)寫成 （2）在弧長(zhǎng)公式中，已知，中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量。 知能解讀（四）扇形面積的計(jì)算 （1）扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫作扇形。 （2）扇形的面積：為扇形所在圓的半徑，為扇形的弧長(zhǎng)。 （3）公式推導(dǎo)： ①在半徑為的圓中，因?yàn)?60的圓心角所對(duì)的扇形的面積就是圓面積，所以圓心角是的扇形面積是于是圓心角為的扇形面積是 ②即其中為扇形的弧長(zhǎng)，為半徑。 點(diǎn)撥 （1）扇形面積公式與三角形的面積公式有些類似，只需把扇形看成一個(gè)曲邊三角形，把弧長(zhǎng)看成底，半徑看成高即可。 （2）在求扇形面積時(shí)，可根據(jù)已知條件來(lái)確定是使用公式還是 （3）已知四個(gè)量中任意兩個(gè)，都可以求出另外兩個(gè)。 （4）公式中的“”與弧長(zhǎng)公式中的“”的意義是一樣的，表示“”的圓心角的倍數(shù)，參與計(jì)算時(shí)不帶單位。 知能獬讀（五）圓錐的側(cè)面積與全面積 （1）圓錐的有關(guān)概念：圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍面的幾何體（如圖所示）。連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫作圓錐的母線，連接頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫作圓錐的母線，連接頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫作圓錐的高。 圓錐可以看作是一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形，故圓錐的母線、高、底面半徑恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，滿足。已知任意兩個(gè)量，可以求出第三個(gè)量。 （2）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖（如圖1-49-4所示）：沿著圓錐的母線可把圓錐的側(cè)面展開(kāi)，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，這個(gè)扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)。 （3）圓錐的側(cè)面積就是弧長(zhǎng)為圓錐底面圓的周長(zhǎng)、半徑為圓錐的母線長(zhǎng)的扇形面積，其計(jì)算公式為圓錐的全面積就是它的側(cè)面積與它的底面積之和，其計(jì)算公式為。 方法技巧歸納 方法技巧（一）正多邊形的有關(guān)計(jì)算的技巧 在解決正多邊形的有關(guān)計(jì)算時(shí)，通過(guò)作正邊形的半徑和連接圓心與邊的中點(diǎn)的線段，把正邊形分成個(gè)直角三角形，再利用勾股定理即可完成計(jì)算。 方法技巧（二）利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算的方法 在弧長(zhǎng)公式中，已知中的任意兩個(gè)量，就可以求出第三個(gè)量。 方法技巧（三）利用扇形面積公式進(jìn)行計(jì)算的方法 已知扇形面積，弧長(zhǎng)圓心角，半徑中的任意兩個(gè)量，可求出另外的兩個(gè)量。在利用扇形面積公式時(shí)，要根據(jù)條件靈活選用合適的公式計(jì)算。 方法技巧（四）圓錐的側(cè)面積、全面積的求法 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，因而其面積是一個(gè)扇形的面積，扇形的半徑是圓錐的母線，弧長(zhǎng)是底面圓的周長(zhǎng)。在解決有關(guān)圓錐的計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵是理清立體圖形與平面展開(kāi)圖的聯(lián)系與區(qū)別，特別是不要混淆底面圓的半徑和展開(kāi)圖扇形的半徑。 點(diǎn)撥 此題中扇形的面積就是圓錐的側(cè)面積。 方法技巧（五）求圓錐側(cè)面上兩點(diǎn)之間的最短距離 在圓錐側(cè)面上求最短距離，先把圓錐側(cè)面展開(kāi)為平面，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求解。 點(diǎn)撥 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)。本題就是把圓錐的側(cè)面展開(kāi)成扇形，“化曲面為平面”，利用勾股定理解決問(wèn)題。 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.對(duì)弧長(zhǎng)或扇形面積公式中的理解錯(cuò)誤。 2.混淆弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式。 3.混淆圓錐的底面半徑和扇形的半徑。 圓錐的底面半徑是扇形是以扇形的弧長(zhǎng)為周長(zhǎng)的圓的半徑，而扇形的半徑是扇形圍成的圓錐的母線。 易混易錯(cuò)（一）對(duì)弧長(zhǎng)或扇形面積公式中的理解錯(cuò)誤 易混易錯(cuò)（二）不能正確區(qū)分圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的扇形半徑和圓錐底面半徑，導(dǎo)致錯(cuò)誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 利用圓的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓的面積、扇形的面積計(jì)算公式解決相關(guān)的幾何計(jì)算和簡(jiǎn)單幾何組合圖形的計(jì)算是中考的必考內(nèi)容之一，常以填空題、選擇題及解答題的形式出現(xiàn)，難度適中。計(jì)算圓錐的側(cè)面積、表面積這一部分知識(shí)，常與實(shí)際生活相聯(lián)系，是中考的熱點(diǎn)之一，既考查學(xué)生掌握知識(shí)的情況，又考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 中考試題（一）直接運(yùn)用公式求解 中考試題（二）求陰影部分的面積 中考試題（三）圓的綜合運(yùn)用