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1、能力升級(jí)練(二十五) 分類討論思想
一、選擇題
1.已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a3,2x-3+1,x≤3滿足f(a)=3,則f(a-5)的值為( )
A.log23
2、B.1716 C.32 D.1
解析分兩種情況分析,a≤3,2a-3+1=3,①或者a>3,log2(a+1)=3②,①無(wú)解,由②得a=7,所以f(a-5)=22-3+1=32,故選C.
答案C
3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=Pn-1(P是常數(shù)),則數(shù)列{an}是( )
A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列
C.等差數(shù)列或等比數(shù)列 D.以上都不對(duì)
解析∵Sn=Pn-1,∴a1=P-1,an=Sn-Sn-1=(P-1)·Pn-1(n≥2).
當(dāng)P≠1且P≠0時(shí),{an}是等比數(shù)列;
當(dāng)P=1時(shí),{an}是等差數(shù)列;
當(dāng)P=0時(shí),a1=-1,an=0(n≥2),此時(shí){an}既不是等
3、差數(shù)列也不是等比數(shù)列.
答案D
4.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線的漸近線方程為y=±34x,則雙曲線的離心率為( )
A.54 B.53
C.54或53 D.35或45
解析若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,則ba=34,e=ca=1+(ba)?2=54;若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,則ba=43,e=ca=1+(ba)?2=53,故選C.
答案C
5.已知變量x,y滿足的不等式組x≥0,y≥2x,kx-y+1≥0表示的是一個(gè)直角三角形圍成的平面區(qū)域,則實(shí)數(shù)k等于( )
A.-12 B.12
C.0 D.-12或0
解析不等式組x≥0,y≥2x,kx-y+1≥0表示的
4、可行域如圖(陰影部分)所示,由圖可知若不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形,只有直線y=kx+1與直線x=0垂直(如圖①)或直線y=kx+1與直線y=2x垂直(如圖②)時(shí),平面區(qū)域才是直角三角形.
由圖形可知斜率k的值為0或-12.
答案D
6.從0,2中選一個(gè)數(shù)字,從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字,組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
A.24 B.18 C.12 D.6
解析當(dāng)選0時(shí),先從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字有C32種方法,然后從選中的兩個(gè)數(shù)字中選一個(gè)排在末位有C21種方法,剩余一個(gè)數(shù)字排在首位,共有C32C21=6種方法;
當(dāng)選2時(shí),先從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字有C32
5、種方法,然后從選中的兩個(gè)數(shù)字中選一個(gè)排在末位有C21種方法,其余兩個(gè)數(shù)字全排列,共有C32C21A22=12種方法.依分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有6+12=18個(gè)奇數(shù).
答案B
二、填空題
7.若x>0且x≠1,則函數(shù)y=lg x+logx10的值域?yàn)椤 ??
解析當(dāng)x>1時(shí),y=lgx+1lgx≥2lgx·1lgx=2,當(dāng)且僅當(dāng)lgx=1,即x=10時(shí)等號(hào)成立;當(dāng)0
6、正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)分別為6和4的矩形,則它的體積為 .?
解析若側(cè)面矩形的長(zhǎng)為6,寬為4,則V=S底×h=12×2×2×sin60°×4=43.
若側(cè)面矩形的長(zhǎng)為4,寬為6,則V=S底×h=12×43×43×sin60°×6=833.
答案43或833
9.設(shè)F1,F2為橢圓x29+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn).已知P,F1,F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),且|PF1|>|PF2|,則|PF1||PF2|的值為 .?
解析若∠PF2F1=90°,則|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,
∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=25,
解得
7、|PF1|=143,|PF2|=43,∴|PF1||PF2|=72.
若∠F2PF1=90°,
則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2
=|PF1|2+(6-|PF1|)2,
解得|PF1|=4,|PF2|=2,
∴|PF1||PF2|=2.綜上所述,|PF1||PF2|=2或72.
答案2或72
10.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和Sn>0(n=1,2,3,…),則q的取值范圍是 .?
解析因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,Sn>0,可得a1=S1>0,q≠0.
當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1>0;
當(dāng)q≠1時(shí),Sn=a1(1-qn)1-q>0,
即1-qn1-q
8、>0(n∈N*),則有1-q>0,1-qn>0①
或1-q<0,1-qn<0,②
由①得-11.
故q的取值范圍是(-1,0)∪(0,+∞).
答案(-1,0)∪(0,+∞)
三、解答題
11.已知函數(shù)g(x)=axx+1(a∈R),f(x)=ln(x+1)+g(x).
(1)若函數(shù)g(x)過(guò)點(diǎn)(1,1),求函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
解(1)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)過(guò)點(diǎn)(1,1),所以1=a1+1,解得a=2,所以f(x)=ln(x+1)+2xx+1.
由f'(x)=1x+1+2(x+1)2=x+3(x+1)2,
9、則f'(0)=3,所以所求的切線的斜率為3.
又f(0)=0,所以切點(diǎn)為(0,0),故所求的切線方程為y=3x.
(2)因?yàn)閒(x)=ln(x+1)+axx+1(x>-1),
所以f'(x)=1x+1+a(x+1)-ax(x+1)2=x+1+a(x+1)2.
①當(dāng)a≥0時(shí),因?yàn)閤>-1,所以f'(x)>0,
故f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增.
②當(dāng)a<0時(shí),由f'(x)<0,x>-1,得-10,x>-1,得x>-1-a,
故f(x)在(-1-a,+∞)上單調(diào)遞增.
綜上,當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)f(x)
10、在(-1,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)在(-1,-1-a)上單調(diào)遞減,
在(-1-a,+∞)上單調(diào)遞增.
12.已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-1,0),F2(1,0),且F2到直線x-3y-9=0的距離等于橢圓的短軸長(zhǎng).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若圓P的圓心為P(0,t)(t>0),且經(jīng)過(guò)F1,F2兩點(diǎn),Q是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)且在圓P外,過(guò)Q作圓P的切線,切點(diǎn)為M,當(dāng)|QM|的最大值為322時(shí),求t的值.
解(1)設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),
依題意可得2b=|1-9|2=4,所以b=2,又c=1,所以a2=b2+c2=5,
所以橢
11、圓C的方程為x25+y24=1.
(2)設(shè)Q(x,y),圓P的方程為x2+(y-t)2=t2+1,
連接PM(圖略),因?yàn)镼M為圓P的切線,所以PM⊥QM,
所以|QM|=|PQ|2-t2-1
=x2+(y-t)2-t2-1=-14(y+4t)2+4+4t2.
①若-4t≤-2,即t≥12,
當(dāng)y=-2時(shí),|QM|取得最大值,
且|QM|max=4t+3=322,
解得t=38<12(舍去).
②若-4t>-2,
即0
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