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1、大題精做8 立體幾何：動點與設未知量
[2019·遵義航天中學]如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為正三角形，且側(cè)面底面，為線段的中點，在線段上．
（1）當是線段的中點時，求證：平面；
（2）是否存在點，使二面角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）存在．
【解析】（1）證明：連接交于點，連接，
∵四邊形是菱形，∴點為的中點，
又∵為的中點，∴，
又∵平面，平面，∴平面．
（2）∵是菱形，，是的中點，∴，
又∵平面，
以為原點，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，．
假設棱上存在點，設點坐標
2、為，，
則，∴，
∴，，
設平面的法向量為，
則，解得．
令，則，得．
∵平面，∴平面的法向量，
∴，
∵二面角的大小為，
∴，即，解得，或（舍去）
∴在棱上存在點，當時，二面角的大小為．
1．[2019·躍華中學]如圖所示，正四棱椎中，底面的邊長為2，側(cè)棱長為．
（1）若點為上的點，且平面，試確定點的位置；
（2）在（1）的條件下，點為線段上的一點且，若平面和平面所成的銳二面角的余弦值為，求實數(shù)的值．
2．[2019·湖北聯(lián)考]如圖，在四棱錐中，，，，且
，．
3、
（1）證明：平面；
（2）在線段上，是否存在一點，使得二面角的大小為？如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由．
3．[2019·西城44中]如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側(cè)面底面，，，，分別為，的中點，點在線段上．
（1）求證：平面；
（2）若為的中點，求證：平面；
（3）如果直線與平面所成的角和直線與平面所在的角相等，求的值．
1．【答案】（1）為中
4、點；（2）．
【解析】（1）設交于點，連結，
∵平面，平面平面，∴，
又為的中點，∴在中，為中點．
（2）連結，由題意得平面，且，
∴以為原點，、、所成直線為，，軸，建立空間直角坐標系，
，
∴，，，，，
則，，，，
設平面的法向量，
則，令，得平面的一個法向量，
設平面的法向量，
由，得，，
∴，令，得，
∵平面和平面所成的銳二面角的余弦值為，
∴，解得．
2．【答案】（1）見證明；（2）見解析．
【解析】（1）∵在底面中，，，且，
∴，，∴，
又∵，，平面，平面，∴平面，
又∵平面，∴，
∵，，∴，
又∵，，平面，平面，
∴平面．
（2）
5、方法一：在線段上取點，使，則，
又由（1）得平面，∴平面，
又∵平面，∴，作于，
又∵，平面，平面，∴平面，
又∵平面，∴，
又∵，∴是二面角的一個平面角，
設，則，，
這樣，二面角的大小為，
即，
即，∴滿足要求的點存在，且．
方法二：取的中點，則、、三條直線兩兩垂直
∴可以分別以直線、、為、、軸建立空間直角坐標系，
且由（1）知是平面的一個法向量，
設，則，，
∴，，
設是平面的一個法向量，則，
∴，
令，則，它背向二面角，
又∵平面的法向量，它指向二面角，這樣，二面角的大小為，
即，
即，∴滿足要求的點存在，且．
3．【答案】（1）證明見
6、解析；（2）證明見解析；（3）．
【解析】（1）證明：在平行四邊形中，
∵，，，∴，
∵，分別為，的中點，∴，∴，
∵側(cè)面底面，且，∴底面，∴，
又∵，平面，平面，∴平面．
（2）證明：∵為的中點，為的中點，∴，
又∵平面，平面，∴平面，
同理，得平面，
又∵，平面，平面，∴平面平面，
又∵平面，∴平面．
（3）解：∵底面，，∴，，兩兩垂直，
故以，，分別為軸，軸和軸建立如圖空間直角坐標系，
則，，，，，，
∴，，，
設，則，
∴，，
易得平面的法向量，
設平面的法向量為，則，
即，令，得，
∴直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等，
∴，即，
∴，解得或（舍去），
故．
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