高考數(shù)學一輪復(fù)習 49 圓與方程學案 理

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第四十九課時 圓與方程 課前預(yù)習案 考綱要求 1.掌握圓的定義及性質(zhì)，圓的標準方程與一般方程， 2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題，解決對稱問題、軌跡問題、最值問題，以及直線與圓和其他數(shù)學知識的綜合問題。 基礎(chǔ)知識梳理 1.圓的方程 （1） 圓的定義：平面內(nèi) 的點的集合（軌跡）叫做圓。 （2）圓的標準方程：圓心在、半徑為的圓的標準方程是 （3）圓的一般方程：當時，方程 ①叫做圓的一般方程. 它表示圓心為 ，半徑為 的圓；當時，①表示點 ；當時，①不表示任何圖形。 （4）求圓的方程的方法：待定系數(shù)法，先定式，后定量。如果與圓心和半徑有關(guān)，一般選標準式，否則用一般式。 2.直線與圓的位置關(guān)系 （1）設(shè)直線圓，圓心到直線的距離為 （2）判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法 方法一(幾何法)：比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系 ① ；② ；③ 方法二（代數(shù)法）：通過判別式判斷直線與圓的方程組的實數(shù)解的情況，確定直線和圓的位置。 （3）過圓上一點的圓的切線方程 設(shè)圓的標準方程,點M(x0,y0)為圓上一點，則過M的圓的切線方程為: ; 設(shè)圓的標準方程為,點M(x0,y0)圓上一點，則過M的圓的切線方程為: ; （4）求圓的切線的方法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求出k. 提醒：在利用點斜式求切線方程時，不要漏掉垂直于x軸的切線，即斜率不存在時的情況． （5）求直線和圓相交的弦長 方法一：解半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形（注意解直角三角形算出的是弦長的一半）。 方法二：利用弦長公式。 3.圓與圓的位置關(guān)系 兩圓的位置關(guān)系利用半徑與圓心距之間的關(guān)系來判斷，兩圓的 相離 ； 外切 ；相交 ； 內(nèi)切 ； 內(nèi)含 。 預(yù)習自測 1.過點與圓相交的所有直線中，被圓截得的弦最長時的直線方程是 ( ) （A） （B） （C） （D） 2.圓⊙：，與圓⊙：的位置關(guān)系是（ ） A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．相離 3.圓心為（0,0），且與直線相切的圓的方程為 4.圓C：的圓心到直線的距離是 5.經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是 課堂探究案 典型例題 考點1 圓的方程 【典例1】若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標準方程是( ) A． B． C． D． 【變式1】圓心在曲線 上，且與直線相切的面積最小的圓的方程為（　　） A．　　　　　　　B． C． 　　　 D． 考點2 直線與圓的位置關(guān)系 【典例2】過點（）的直線l被圓截得的弦長為，則直線l的斜率為 ． 【變式2】直線與圓交于、兩點，則（ ） A、2 B、-2 C、4 D、-4 【變式3】直線與圓的位置關(guān)系為（ ） A.相交 B.相切 C.相離 D.以上都有可能 考點3：與圓有關(guān)的軌跡問題 【典例3】的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為 （ ） A． B． C． D． 【變式4】已知動圓過點（1，0），且與直線x=-1相切，則動圓圓心的軌跡方程為（ ） A． B． C． D． 考點4：最值問題 【典例4】已知實數(shù)x、y滿足方程. （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值. 【變式5】在圓內(nèi)，過點E（0，1）的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（ ） A． B． C． D． 當堂檢測 1.已知圓上兩點M、N關(guān)于直線對稱，則圓的半徑為( ) A．9 B．3 C．2 D．2 2.已知圓C經(jīng)過點A（5，1），B（1，3）兩點，圓心在x軸上，則C的方程是( ) A. B. C. D. 3.點P（4，－2）與圓上任一點連線的中點的軌跡方程是（ ） A B. C.　　　D. 4.若圓的圓心到直線的距離為,則a的值為 課后拓展案 A組全員必做題 1.任意的實數(shù)k，直線與圓的位置關(guān)系一定是（ ） A.相離 B.相切 C.相交但直線不過圓心 D.相交且直線過圓心 2.過點(3,1)作圓的兩條切線,切點分別為,則直線的方程為（　?。〢． B． C． D. 3.若過點的直線與曲線 有公共點，則直線斜率的取值范圍為 ( ) A．(, ) B．[, ] C．[, ] D．(, ) 4.點為圓內(nèi)弦的中點，則直線的方程為( ) A． B. C. D. 5.直線有兩個不同交點的一個充分不必要條件是( ) A． B． C． D． 6.若直線被圓所截得的弦長為，則實數(shù)a的值為（ ） A. -1或 B. 1或3 C. -2或6 D. 0或4 7.若直線與曲線有公共點，則b的取值范圍是（ ） A．[,] B．[,3] C．[,3] D．[-1,] 8．若曲線：與曲線：有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是（ ） A.(，) B.(，0)∪(0，) C.[，] D.(，)∪(，+) 9．直線與圓相交于A、B兩點，則 . B組提高選做題 1．設(shè)，若直線與圓相切，則m+n的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D） 2.已知直線與圓，則上各點到的距離的最小值為_______. 3.圓心在拋物線x2=2y上，與直線2x+2y+3=0相切的圓中，面積最小的圓的方程為 ． 4.在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則的最大值是 ． 5．在平面直角坐標系xOy中，已知圓上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是__________ 6 ．如圖,在平面直角坐標系中,點,直線,設(shè)圓的半徑為,圓心在上. (1)若圓心也在直線上,過點作圓的切線,求切線的方程; (2)若圓上存在點,使,求圓心的橫坐標的取值范圍. 參考答案 預(yù)習自測 1.C 2.B 3.； 4.3 5. 典型例題 【典例1】B 【變式1】A 【典例2】或 【變式2】A 【變式3】A 【典例3】C 【變式4】C 【典例4】解：方程可整理為． （1）令，則． 則，解得． 即的最大值為，最小值為． （2）；． 【變式5】B 當堂檢測 1.B 2.D 3.A 4.0或2 A組全員必做題 1.C 2.A 3.C 4.C 5.C 6.D 7.C 8. B 9. B組提高選做題 1.D 2. 3. 4. 5. 6.解：（1）圓心是直線和的交點，解得， ∴切線斜率必存在． 設(shè)過的圓的切線方程為， 則，解得或． ∴所求切線方程為或． （2）圓心在直線上， ∴圓方程為， 設(shè)點，由， ∴，整理得． ∴點在以為圓心，半徑為2的圓上． 由題意，點在圓上， ∴圓與圓有公共點， 則，即， ∴，解得． ∴點橫坐標的取值范圍為．