（江蘇專用）2020版高考數學一輪復習 加練半小時 專題7 不等式、推理與證明、數學歸納法 第53練 基本不等式及其應用 理（含解析）

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1、第53練 基本不等式及其應用 [基礎保分練] 1．函數f(x)＝ax－1－2(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx－ny－1＝0上，其中m>0，n>0，則＋的最小值為________． 2．若正實數x，y滿足x＋y＋＋＝5，則x＋y的最大值是________． 3．若兩個銳角α，β滿足α＋β＝，則tanαtanβ的最大值是________． 4．若正數x，y滿足x＋4y－xy＝0，則的最大值為________． 5．已知m，n為正實數，向量a＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若a∥b，則＋的最小值為________． 6．(2019·常州市武進區(qū)模擬)若正實數x，y

2、滿足x2－xy＋y2＝9，且|x2－y2|<9，則xy的取值范圍為________． 7．已知A，B是函數y＝2x的圖象上的相異兩點，若點A，B到直線y＝的距離相等，則點A，B的橫坐標之和的取值范圍是________． 8．已知a>0，b>0，a＋b＝＋，則＋的最小值為________． 9．(2018·鎮(zhèn)江模擬)函數y＝x＋(x>1)的最小值是________． 10．已知x<0，且x－y＝1，則x＋的最大值是________． [能力提升練] 1．若兩個正實數x，y滿足＋＝1，且x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數m的取值范圍是________． 2．在銳角△ABC中，a，b，

3、c為角A，B，C所對的邊，且(a－b)·(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC，若a＝.則b2＋c2的最大值為________． 3．設正數x，y滿足x>y，x＋2y＝3，則＋的最小值為________． 4．在實數集R中定義一種運算“*”，?a，b∈R，a*b為唯一確定的實數，且具有性質：(1)對任意a∈R，a*0＝a； (2)對任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)． 關于函數f(x)＝ex*的性質，有如下說法： ①函數f(x)的最小值為3； ②函數f(x)為偶函數； ③函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，0]． 其中正確說法的序號為________．

4、5．已知實數a≥，b≥，且a2－a＝b－b2，則M＝＋的最大值是________． 6．雙曲線－＝1的離心率為e1，雙曲線－＝1的離心率為e2，則e1＋e2的最小值為________． 答案精析 基礎保分練 1．3＋2　2.4　3.3－2　4. 5．3＋2 6．(6,9] 解析　由x2－xy＋y2＝9，得9＋xy＝x2＋y2≥2xy，當且僅當x＝y時等號成立，所以xy≤9. 由|x2－y2|<9，得(x2－y2)2<81， 即(x2＋y2)2－4x2y2<81， 所以(9＋xy)2－4x2y2<81，即－3(xy)2＋18xy＋81<81，解得xy>6. 所以6<

5、xy≤9， 故xy的取值范圍為(6,9]． 7．(－∞，－2) 解析　設A(a,2a)，B(b,2b)， 則＝， ∵a≠b，∴2a－＝－， ∴2a＋2b＝1， 由基本不等式得2a＋2b＝1>2×，(等號不成立)， ∴<，∴<＝2－1， ∴<－1，∴a＋b<－2. 8．2 解析　由a＋b＝＋＝，有ab＝1， 則＋≥2＝2， 當且僅當b＝2a時等號成立． 9．5 解析　由題意得y＝x－1＋＋1≥2＋1＝5(當且僅當即x＝3時取等號)． 10.－ 解析　由x<0，且x－y＝1， 可得x＝y＋1(y<－1)， 則x＋＝y＋1＋ ＝y＋＋＋ ＝－＋ ≤－2＋＝－. 當且僅當y＝－時，上式取得最大值，則x＋的最大值是－. 能力提升練 1．(－4,2)　2.6　3.　4.①② 5.＋1 解析　由a2－a＝b－b2化簡得2＋2＝， 又實數a≥，b≥，圖形為圓，如圖： a2－a＝b－b2，可得a2＝a＋b－b2， b2＝a＋b－a2， 則M＝＋＝＋ ＝1＋－a＋1＋－b ＝＋－a－b＋2. 由幾何意義得∈[－1,1＋]，則∈[－1,1＋]，則當過點A或點B時a＋b取最小值，可得M＝－1＋1＋－－－＋2＝＋1， 所以M＝＋的最大值是＋1. 6．2 5