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1、能力升級練(六) 解三角形
一、選擇題
1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC=( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
解析在△ABC中,設(shè)AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,
由余弦定理,得cos∠BAC=b2+c2-a22bc=9+25-4930=-12,由A∈(0,π),得A=2π3,即∠BAC=23π.
答案C
2.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=5,c=2,cos A=23,則b=( )
A.2 B.3 C.2 D.3
解析由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×23,解得b=3,或b=-13(舍去
2、).
答案D
3.已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對邊長分別為a,b,c,若A=π3,b=2acos B,c=1,則△ABC的面積等于( )
A.32 B.34 C.36 D.38
解析由正弦定理得sinB=2sinAcosB,故tanB=2sinA=2sinπ3=3,又B∈(0,π),所以B=π3,則△ABC是正三角形,所以S△ABC=12bcsinA=34.
答案B
4.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),則△ABC的形狀一定是( )
A.等邊三角形 B.不含60°的等腰三角形
C.鈍角三角形
3、 D.直角三角形
解析sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosA·sinB,∴sinAcosB+cosAsinB=1,即sin(A+B)=1,則有A+B=π2,故三角形為直角三角形.
答案D
5.(2019廣東深圳模擬)一架直升飛機(jī)在200 m高度處進(jìn)行測繪,測得一塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°,則塔高為( )
A.4003 m B.40033 m
C.20033 m D.2003 m
解析如圖所示.在Rt△ACD中可得CD=20033=BE,在△ABE中,由正弦定理得ABsin
4、30°=BEsin60°,則AB=2003,所以DE=BC=200-2003=4003(m).
答案A
6.在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分別為角A,B,C的對邊),則△ABC的形狀為( )
A.等邊三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
解析因?yàn)閏os2B2=a+c2c,所以2cos2B2-1=a+cc-1,所以cosB=ac,所以a2+c2-b22ac=ac,所以c2=a2+b2.
所以△ABC為直角三角形.
答案B
7.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsin C+csin B=4asin Bsin
5、 C,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為( )
A.33 B.233 C.36 D.433
解析由bsinC+csinB=4asinBsinC及正弦定理,得2sinBsinC=4sinAsinBsinC,
易知sinBsinC≠0,∴sinA=12.
又b2+c2-a2=8,∴cosA=b2+c2-a22bc=4bc,
則cosA>0.
∴cosA=32,即4bc=32,則bc=833.
∴△ABC的面積S=12bcsinA=12×833×12=233.
答案B
8.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一
6、座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是( )
A.102海里 B.103海里 C.203海里 D.202海里
解析
如圖所示,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根據(jù)正弦定理,得BCsin30°=ABsin45°,解得BC=102(海里).
答案A
9.(2019山東濟(jì)寧模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若A=π3,3sin2CcosC=2sin Asin B,且b=6,則c=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析在△ABC中,A=π3,b
7、=6,
∴a2=b2+c2-2bccosA,即a2=36+c2-6c,①
又3sin2CcosC=2sinAsinB,∴3c2cosC=2ab,
即cosC=3c22ab=a2+b2-c22ab,∴a2+36=4c2,②
由①②解得c=4或c=-6(不合題意,舍去).∴c=4.
答案C
二、填空題
10.
如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個(gè)出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑為 米.?
解析連接OC,由題意知C
8、D=150米,OD=100米,∠CDO=60°.在△COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CD·OD·cos60°,即OC=507.
答案507
11.在△ABC中,角A,B,C的對邊a,b,c成等差數(shù)列,且A-C=90°,則cos B= .?
解析∵a,b,c成等差數(shù)列,∴2b=a+c,
∴2sinB=sinA+sinC.
∵A-C=90°,∴2sinB=sin(90°+C)+sinC,
∴2sinB=cosC+sinC,
∴2sinB=2sin(C+45°).①
∵A+B+C=180°且A-C=90°,∴C=45°-B2,代入①式中,2sinB=2sin9
9、0°-B2,
∴2sinB=2cosB2,
∴4sinB2cosB2=2cosB2,∴sinB2=24,
∴cosB=1-2sin2B2=1-14=34.
答案34
12.
如圖,在△ABC中,B=45°,D是BC邊上一點(diǎn),AD=5,AC=7,DC=3,則AB= .?
解析在△ACD中,由余弦定理可得cosC=49+9-252×7×3=1114,則sinC=5314.
在△ABC中,由正弦定理可得ABsinC=ACsinB,
則AB=ACsinCsinB=7×531422=562.
答案562
13.在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,且B為銳
10、角,若sinAsinB=5c2b,sin B=74,S△ABC=574,則b的值為 .?
解析由sinAsinB=5c2b及正弦定理,得ab=5c2b,即a=52c,①
由S△ABC=12acsinB=574,sinB=74,得12ac=5,②
聯(lián)立①②,得a=5,c=2.
由sinB=74且B為銳角,得cosB=34,由余弦定理,得b2=25+4-2×5×2×34=14,b=14.
答案14
三、解答題
14.
如圖,航空測量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi),已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m,速度為50 m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°,經(jīng)過420
11、s后看山頂?shù)母┙菫?5°,則山頂?shù)暮０胃叨葹槎嗌倜?(取2≈1.4,3≈1.7)
解
如圖,作CD垂直于線段AB的延長線于點(diǎn)D,由題意知∠A=15°,∠DBC=45°,
所以∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m).
又在△ABC中,BCsinA=ABsin∠ACB,
所以BC=2100012×sin15°=10500(6-2).
因?yàn)镃D⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC
=10500(6-2)×22=10500(3-1)
≈7350(m).
故山頂?shù)暮０胃叨葹?0000-7350=2650(m).
15.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,
12、b,c,a2-ab-2b2=0.
(1)若B=π6,求A,C;
(2)若C=2π3,c=14,求S△ABC.
解(1)由已知B=π6,a2-ab-2b2=0結(jié)合正弦定理,得sin2A-sinAsinπ6-2sin2π6=0,化簡整理,得2sin2A-sinA-1=0,
于是sinA=1或sinA=-12(舍).
因?yàn)?0,
所以a-2b=0,即a=2b,②
聯(lián)立①②解得b=27,a=47.
所以S△ABC=12absinC=143.
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（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 能力升級練（六）解三角形 理
