（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第2講 兩直線的位置關(guān)系練習(xí)（含解析）

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1、第2講 兩直線的位置關(guān)系 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．(2019·富陽市場口中學(xué)高三質(zhì)檢)已知直線l1：x＋ay＋1＝0與直線l2：y＝x＋2垂直，則a的值是(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 解析：選C.因?yàn)橹本€l2的斜率為，直線l1：x＋ay＋1＝0與直線l2：y＝x＋2垂直， 所以直線l1的斜率等于－2，即＝－2， 所以a＝，故選C. 2．(2019·金華十校聯(lián)考)“C＝5”是“點(diǎn)(2，1)到直線3x＋4y＋C＝0的距離為3”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B.點(diǎn)(2，1)到直線3x＋4y＋C＝0

2、的距離為3等價(jià)于＝3，解得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“點(diǎn)(2，1)到直線3x＋4y＋C＝0的距離為3”的充分不必要條件，故選B. 3．(2019·義烏模擬)直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對稱的直線方程是(　　) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 解析：選D.由題意得直線x－2y＋1＝0與直線x＝1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)． 又直線x－2y＋1＝0上的點(diǎn)(－1，0)關(guān)于直線x＝1的對稱點(diǎn)為(3，0)，所以由直線方程的兩點(diǎn)式，得＝，即x＋2y－3＝0. 4．已知點(diǎn)A(－1，2)，B(3，4)，P是x軸上一點(diǎn)，且|PA|＝

3、|PB|，則△PAB的面積為(　　) A．15 B． C．6 D． 解析：選D.設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(1，3)， kAB＝＝， 所以AB的中垂線方程為y－3＝－2(x－1)． 即2x＋y－5＝0. 令y＝0，則x＝，即P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)， |AB|＝＝2. P到AB的距離為|PM|＝＝. 所以S△PAB＝|AB|·|PM|＝×2×＝. 5．已知點(diǎn)P(x0，y0)是直線l：Ax＋By＋C＝0外一點(diǎn)，則方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　) A．過點(diǎn)P且與l垂直的直線 B．過點(diǎn)P且與l平行的直線 C．不過點(diǎn)P且與l垂直的直線 D．不過點(diǎn)P且與l平

4、行的直線 解析：選D.因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)不在直線Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直線Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不經(jīng)過點(diǎn)P，排除A、B；又直線Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0與直線l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C，故選D. 6．兩條平行線l1，l2分別過點(diǎn)P(－1，2)，Q(2，－3)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間距離的取值范圍是(　　) A．(5，＋∞) B．(0，5] C．(，＋∞) D．(0， ] 解析：選D.當(dāng)PQ與平行線l1，l2垂直時(shí)，|PQ|為平行線l1，l2間的距離的最大值，為＝， 所以l

5、1，l2之間距離的取值范圍是(0， ]． 故選D. 7．已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(x，－x)和B，那么這兩點(diǎn)之間距離的最小值是________． 解析：由題意可得兩點(diǎn)間的距離d＝ ＝≥，即最小值為. 答案： 8．直線x＋2y－3＝0與直線ax＋4y＋b＝0關(guān)于點(diǎn)A(1，0)對稱，則b＝________． 解析：在直線x＋2y－3＝0上取兩點(diǎn)P1(1，1)、P2(3，0)， 則P1、P2關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)P′1、P′2都在直線ax＋4y＋b＝0上．因?yàn)橐字狿′1(1，－1)、P′2(－1，0)， 所以所以b＝2. 答案：2 9．(2019·瑞安四校聯(lián)考)若將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使

6、得點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(4，0)重合，點(diǎn)(7，3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n＝________． 解析：由題可知紙的折痕垂直平分點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(4，0)的連線，可得折痕所在直線為y＝2x－3，又折痕也垂直平分點(diǎn)(7，3)與點(diǎn)(m，n)的連線，于是 解得所以m＋n＝. 答案： 10．(2019·浙江新高考沖刺卷)已知m∈R，若點(diǎn)M(x，y)為直線l1：my＝－x和l2：mx＝y(tǒng)＋m－3的交點(diǎn)，l1和l2分別過定點(diǎn)A和B，則|MA|·|MB|的最大值為________． 解析：動(dòng)直線l1：my＝－x過定點(diǎn)A(0，0)， 動(dòng)直線l2：mx＝y(tǒng)＋m－3化為m(x－1)－(y－3)＝0，得x

7、＝1，y＝3.過定點(diǎn)B(1，3)． 因?yàn)榇藘蓷l直線互相垂直， 所以|MA|2＋|BM|2＝|AB|2＝10， 所以10≥2|MA|·|MB|， 所以|MA|·|BM|≤5， 當(dāng)且僅當(dāng)|MA|＝|MB|時(shí)取等號． 答案：5 11．已知直線l1：x＋a2y＋1＝0和直線l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)． (1)若l1∥l2，求b的取值范圍； (2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值． 解：(1)因?yàn)閘1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0， 即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－＋， 因?yàn)閍2≥0，所以b≤0. 又因?yàn)閍2＋1≠3，所以b≠－6. 故

8、b的取值范圍是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因?yàn)閘1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0， 顯然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝±1時(shí)等號成立，因此|ab|的最小值為2. 12．已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)P. (1)點(diǎn)A(5，0)到直線l的距離為3，求直線l的方程； (2)求點(diǎn)A(5，0)到直線l的距離的最大值． 解：(1)因?yàn)榻?jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， 所以＝3，解得λ＝或λ＝2. 所以直線l的方程為x＝2或4x－3y－5＝0

9、. (2)由 解得交點(diǎn)P(2，1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到直線l的距離， 則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號成立)． 所以dmax＝|PA|＝. [能力提升] 1．(2019·溫州八校聯(lián)考)已知M＝，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M∩N＝?，則a＝(　　) A．－6或－2 B．－6 C．2或－6 D．－2 解析：選A.集合M表示去掉一點(diǎn)A(2，3)的直線3x－y－3＝0，集合N表示恒過定點(diǎn)B(－1，0)的直線ax＋2y＋a＝0，因?yàn)镸∩N＝?，所以兩直線要么平行，要么直線ax＋2y＋a＝0與直線3x－y－3＝0相交于點(diǎn)A(2，3)．因此＝3或2a＋

10、6＋a＝0，即a＝－6或a＝－2. 2．設(shè)兩條直線的方程分別為x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的兩個(gè)實(shí)根，且0≤c≤，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是(　　) A．， B．， C．， D．， 解析：選A.由題意知a，b是方程x2＋x＋c＝0的兩個(gè)實(shí)根，所以ab＝c，a＋b＝－1. 又直線x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0的距離d＝， 所以d2＝＝＝＝－2c， 而0≤c≤，所以－2×≤－2c≤－2×0，得≤－2c≤，所以≤d≤. 3．(2019·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位，沿y軸正方

11、向平移5個(gè)單位，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位，又與直線l重合．若直線l與直線l1關(guān)于點(diǎn)(2，3)對稱，則直線l的方程是________． 解析：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位，沿y軸正方向平移5個(gè)單位，得到直線l1：y＝k(x－3)＋5＋b，再將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位，則平移后的直線方程為y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b.所以b＝3－4k＋b，解得k＝.所以直線l的方程為y＝x＋b，直線l1為y＝x＋＋b，設(shè)直線l上的一點(diǎn)P，

12、則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)(2，3)的對稱點(diǎn)為，所以6－b－m＝(4－m)＋b＋，解得b＝.所以直線l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋1＝0. 答案：6x－8y＋1＝0 4．(2019·寧波效實(shí)中學(xué)高三月考)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M(x，y)與點(diǎn)N(a，b)的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得f(x)＝＋的最小值為________． 解析：因?yàn)閒(x)＝＋＝＋，所以f(x)的幾何意義為點(diǎn)M(x，0)到兩定點(diǎn)A(－2，4)與B(－1，3)的距離之和，設(shè)點(diǎn)A(－2，4)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′，則A′為(－2

13、，－4)． 要求f(x)的最小值，可轉(zhuǎn)化為|MA|＋|MB|的最小值，利用對稱思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，即f(x)＝＋的最小值為5. 答案：5 5．設(shè)直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿足k1k2＋2＝0. (1)證明：l1與l2相交； (2)證明：l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2＋y2＝1上． 證明：(1)反證法．假設(shè)l1與l2不相交，則l1與l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0. 此與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾，從而k1≠k2，即l1與l2相交． (2)由方程組 解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)為 而2x2＋y

14、2＝2＋＝＝1. 即P(x，y)在橢圓2x2＋y2＝1上． 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1，1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于－. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)直線AP和BP分別與直線x＝3交于點(diǎn)M，N，問：是否存在點(diǎn)P，使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)B與A(－1，1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，－1)． 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)． 由題意，得·＝－， 化簡，得x2＋3y2＝4(x≠±1)． 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋3y2＝4(x≠±1)． (2)

15、法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(3，yM)，(3，yN)． 則直線AP的方程為y－1＝(x＋1)， 直線BP的方程為y＋1＝(x－1)． 令x＝3，得yM＝，yN＝. 于是△PMN的面積 S△PMN＝|yM－yN|(3－x0)＝. 又直線AB的方程為x＋y＝0，|AB|＝2， 點(diǎn)P到直線AB的距離d＝. 于是△PAB的面積 S△PAB＝|AB|·d＝|x0＋y0|. 當(dāng)S△PAB＝S△PMN時(shí)， 得|x0＋y0|＝. 又|x0＋y0|≠0. 所以(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝. 因?yàn)閤＋3y＝4，所以y0＝±. 故存在點(diǎn)P，使得△PAB與△PMN的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 法二：若存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)， 則|PA|·|PB|sin∠APB＝|PM|·|PN|·sin∠MPN. 因?yàn)閟in∠APB＝sin∠MPN， 所以＝，所以＝， 即(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝. 因?yàn)閤＋3y＝4，所以y0＝±. 故存在點(diǎn)P，使得△PAB與△PMN的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 8