《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 第6講 空間向量及其運算練習(xí)(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 第6講 空間向量及其運算練習(xí)(含解析)(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第6講 空間向量及其運算
一、選擇題
1.(2017·黃岡模擬)已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,則實數(shù)m的值等于( )
A. B.-2 C.0 D.或-2
解析 ∵a∥b,∴==,解得m=-2.
答案 B
2.(2017·海南模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱AA1和BB1的中點,則sin〈,〉的值為( )
A. B. C. D.
解析 如圖,設(shè)正方體棱長為2,則易得=(2,-2,1),=(2,2,-1),∴cos〈,〉==-,∴sin〈,〉==.
答案 B
3.空間四邊形ABCD的各邊和對角
2、線均相等,E是BC的中點,那么( )
A.·<·
B.·=·
C.·>·
D.·與·的大小不能比較
解析 取BD的中點F,連接EF,則EF綉CD,因為〈,〉=〈,〉>90°,因為·=0,∴·<0,所以·>·.
答案 C
4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b與2a-b互相垂直,則k的值是( )
A.-1 B. C. D.
解析 由題意得,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-2×2=5k-7=0,解得k=.
答案 D
5.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線
3、的長都等于a,點E,F(xiàn)分別是BC,AD的中點,則·的值為( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
解析 如圖,設(shè)=a,=b,=c,
則|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量兩兩夾角為60°.
=(a+b),=c,
∴·=(a+b)·c
=(a·c+b·c)=(a2cos 60°+a2cos 60°)=a2.
答案 C
二、填空題
6.已知2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a·c=4,|b|=12,則以b,c為方向向量的兩直線的夾角為________.
解析 由題意得,(2a+b)·c=0+10-20=-10.
即2a·c+b
4、·c=-10,又∵a·c=4,∴b·c=-18,
∴cos〈b,c〉===-,
∴〈b,c〉=120°,∴兩直線的夾角為60°.
答案 60°
7.正四面體ABCD的棱長為2,E,F(xiàn)分別為BC,AD中點,則EF的長為________.
解析 ||2=(++)2
=2+2+2+2(·+·+·)
=12+22+12+2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)
=2,
∴||=,∴EF的長為.
答案
8.(2017·南昌調(diào)研)已知空間四邊形OABC,其對角線為OB,AC,M,N分別是OA,BC的中點,點G在線段MN上,且=2,現(xiàn)用基底{,,}表示向量,有=x
5、+y+z,則x,y,z的值分別為________.
解析 ∵=+=+
=+(-)
=+
=++,
∴x=,y=,z=.
答案 ,,
三、解答題
9.已知空間中三點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)a=,b=.
(1)若|c|=3,且c∥,求向量c.
(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值.
解 (1)∵c∥,=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2),
∴c=m=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m),
∴|c|==3|m|=3,
∴m=±1.∴c=(-2,-1,2)或(2,1,-2).
(2)∵a=(1,1,0),b
6、=(-1,0,2),∴a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1,
又∵|a|==,|b|==,
∴cos〈a,b〉===-,
即向量a與向量b的夾角的余弦值為-.
10.如圖,在棱長為a的正方體OABC-O1A1B1C1中,E,F(xiàn)分別是棱AB,BC上的動點,且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
(1)寫出點E,F(xiàn)的坐標(biāo);
(2)求證:A1F⊥C1E;
(3)若A1,E,F(xiàn),C1四點共面,求證:=+.
(1)解 E(a,x,0),F(xiàn)(a-x,a,0).
(2)證明 ∵A1(a,0,a),C1(0,a,a),
∴=(-x,a,-a),=
7、(a,x-a,-a),
∴·=-ax+a(x-a)+a2=0,
∴⊥,∴A1F⊥C1E.
(3)證明 ∵A1,E,F(xiàn),C1四點共面,
∴,,共面.
選與為在平面A1C1E上的一組基向量,則存在唯一實數(shù)對(λ1,λ2),使=λ1+λ2,
即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,x,-a)
=(-aλ1,aλ1+xλ2,-aλ2),
∴
解得λ1=,λ2=1.于是=+.
11.在空間四邊形ABCD中,·+·+·=( )
A.-1 B.0 C.1 D.不確定
解析 如圖,令=a,=b,=c,則·+·+·
=a·(c-b)+b·(a-c)+
8、c·(b-a)
=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.
答案 B
12.若{a,b,c}是空間的一個基底,且向量p=xa+yb+zc,則(x,y,z)叫向量p在基底{a,b,c}下的坐標(biāo).
已知{a,b,c}是空間的一個基底,{a+b,a-b,c}是空間的另一個基底,一向量p在基底{a,b,c}下的坐標(biāo)為(4,2,3),則向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)是( )
A.(4,0,3) B.(3,1,3)
C.(1,2,3) D.(2,1,3)
解析 設(shè)p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)為x,y,z.則
p=x(a+b)+y(a-b)+zc
9、=(x+y)a+(x-y)b+zc,①
因為p在{a,b,c}下的坐標(biāo)為(4,2,3),
∴p=4a+2b+3c,②
由①②得∴
即p在{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)為(3,1,3).
答案 B
13.(2017·鄭州調(diào)研)已知O點為空間直角坐標(biāo)系的原點,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),且點Q在直線OP上運動,當(dāng)·取得最小值時,的坐標(biāo)是__________.
解析 ∵點Q在直線OP上,∴設(shè)點Q(λ,λ,2λ),
則=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),
·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)
10、=6λ2-16λ+10=6-.即當(dāng)λ=時,·取得最小值-.此時=.
答案
14.如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F(xiàn),G分別是AB,AD,CD的中點,計算:
(1)·;(2)EG的長;
(3)異面直線AG與CE所成角的余弦值.
解 設(shè)=a,=b,=c.
則|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
(1)==c-a,=-a,=b-c,
·=·(-a)=a2-a·c=,
(2)=++=a+b-a+c-b
=-a+b+c,
||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a=,
則||=.
(3)=b+c,=+=-b+a,
cos〈,〉==-,
由于異面直線所成角的范圍是,
所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.
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