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2014高考數(shù)學(xué)必考熱點(diǎn)大調(diào)查:熱點(diǎn)15組合體問(wèn)題
【最新考綱解讀】
(1)認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).
(2)了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶).
【回歸課本整合】
2.棱錐
(1)定義:一個(gè)面是多邊形,其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的
2、三角形的多面體叫做棱錐.底面是正多邊形并且頂點(diǎn)在底面上的射影是正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.
(2)性質(zhì):如果棱錐被平行于底面的平面所截,那么所得的截面與底面相似,截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的平方比,截得小棱錐的體積與原來(lái)棱錐的體積比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的立方比.
(3))棱錐的側(cè)面積=各側(cè)面三角形面積的和;正棱錐的側(cè)面積=×底面周長(zhǎng)×斜高, 棱錐的全面積=側(cè)面積+底面積.
3.球
(1)球的概念:與定點(diǎn)距離等于或小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合,叫做球體;與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面.
(2)球的截面:用一平面去截一個(gè)球,設(shè)是平面的垂線(xiàn)段,為垂足,且,所得
3、的截面是以球心在截面內(nèi)的射影為圓心,以為半徑的一個(gè)圓,截面是一個(gè)圓面.球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做大圓,被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做小圓
(3)球的表面積公式:.
4.棱柱、棱錐與球的體積
(1)棱柱:體積=底面積×高,或體積=直截面面積×側(cè)棱長(zhǎng),特別地,直棱柱的體積=底面積×側(cè)棱長(zhǎng);三棱柱的體積(其中為三棱柱一個(gè)側(cè)面的面積,為與此側(cè)面平行的側(cè)棱到此側(cè)面的距離)
(2)棱錐:體積=×底面積×高.
(3)球的體積公式:.
5.正棱臺(tái):由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái).
正棱臺(tái)的性質(zhì):
①各側(cè)棱相等,側(cè)面是全等的等腰梯形,這些等腰梯形的高叫做棱臺(tái)的斜高,斜高都相等.
②兩底面以
4、及平行于底面的截面是相似多邊形;
③兩底面中心連線(xiàn)、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形;
④兩底面中心連線(xiàn)、側(cè)棱和兩底面相應(yīng)的半徑也組成一個(gè)直角梯形;
⑤正棱臺(tái)的上、下底面中心的連線(xiàn)是棱臺(tái)的一條高.
(2)圓柱的結(jié)構(gòu)特征
①平行于底面的截面都是圓;②過(guò)軸的截面(軸截面)是全等的矩形.
除了這兩條重要特征外,還應(yīng)掌握下面的一些重要屬性.
①所有的軸截面是以?xún)傻酌嬷睆胶蛢蓷l母線(xiàn)為邊的全等矩形,若該矩形為正方形,則圓柱叫等邊圓柱.
②用平行于軸的平面去截圓柱,所得的截面是以底面圓的弦和兩條母線(xiàn)為邊的矩形.也就是說(shuō)過(guò)圓柱任意兩條母線(xiàn)的截面一定是一個(gè)矩形,在這所有的截面矩形中,以軸
5、截面面積最大.
(3)圓錐的結(jié)構(gòu)特征
①平行于底面的截面都是圓;②過(guò)軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形;③過(guò)圓錐兩條母線(xiàn)的截面.當(dāng)軸截面的頂角不大于90°時(shí),軸截面面積最大;當(dāng)軸截面頂角大于90°時(shí),兩母線(xiàn)垂直時(shí)截面面積最大.
(4)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征
①平行于底面的截面都是圓;②過(guò)軸的截面是全等的等腰梯形.
截面圖為正方形EFGH的內(nèi)切圓,如圖所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,則.
(2)與正方體各棱相切的球:
截面圖為正方形EFGH的外接圓.則.
(3)正方體的外接球:截面圖正方形ACA1C1的外接圓.則.
3. 正棱柱(錐)與外接球
以正三棱柱為例,設(shè)高為,底面邊長(zhǎng)為,如圖所示
6、.球心必落在高DD1的中點(diǎn)O,因?yàn)镈和D1分別為正三角形的中心.直角三角形AOD,R=AO, OD=,AD=,借助勾股定理即可求R.解決關(guān)鍵確定直角三角形.
4. 三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球
(1)如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等,則可以補(bǔ)形為
一個(gè)正方體,它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.三棱錐A1-AB1D1的外接球的球心和正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合.設(shè),則
C
B
A
S
O
(2)如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且不相等,則可以補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體,它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.(L為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)).
5. 各面
7、均為直角三角形三棱錐與球
如右圖,SA面ABC,ABBC,則可推出SBBC,即此三棱錐的四個(gè)面全是直角三角形.取SC的中點(diǎn)為O,由直角三角形的性質(zhì)可得:OA=OS=0B=OC,所以O(shè)點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心..
【方法技巧提煉】
1. 求體積常見(jiàn)技巧
當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜,有關(guān)的計(jì)算公式無(wú)法運(yùn)用,或者雖然幾何體并不復(fù)雜,但條件中的已知元素彼此離散時(shí),我們可采用“割”、“補(bǔ)”的技巧,化復(fù)雜幾何體為簡(jiǎn)單幾何體(柱、錐、臺(tái)),或化離散為集中,給解題提供便利.
(1)幾何體的“分割”:幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求,分割成若干個(gè)易求體積的幾何體,進(jìn)而求之.
(2)幾何體的“補(bǔ)
8、形”:與分割一樣,有時(shí)為了計(jì)算方便,可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體,如長(zhǎng)方體、正方體等.另外補(bǔ)臺(tái)成錐是常見(jiàn)的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法,由臺(tái)體的定義,我們?cè)谟行┣闆r下,可以將臺(tái)體補(bǔ)成錐體研究體積.
(3)有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積的計(jì)算,應(yīng)以公式為基礎(chǔ),充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素.
3.常見(jiàn)的特殊幾何體的性質(zhì)
(1)平行六面體:
①底面是平行四邊形的四棱柱.
②{平行六面體}{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱柱}{正方體};
③平行六面體的任何一個(gè)面都可以作為底面;
④平行六面體的對(duì)角線(xiàn)交于一點(diǎn),并且在交點(diǎn)處互相平分;
⑤平行六面體的四條對(duì)角線(xiàn)的
9、平方和等于各棱的平方和.
(2)長(zhǎng)方體:
①長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線(xiàn)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和;
②若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為,則cos2+ cos2+cos2=1;
③若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則cos2+cos2+cos2=2.
(3)正棱錐:如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形,且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫正棱錐.
①正棱錐的各側(cè)棱相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底邊上的高(叫側(cè)高)也相等;
②正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影(底面的內(nèi)切圓的半徑)、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影(底面的外接圓的半徑)、
10、底面的半邊長(zhǎng)可組成四個(gè)直角三角形;
③若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為,則.
(4)正四面體:側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等的正三棱錐叫做正四面體.
①設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,則高為,斜高
【考場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】
1.注意特殊的四棱柱的區(qū)別:直四棱柱、正四棱柱、長(zhǎng)方體、正方體、平行六面體、直平行六面體.
2.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)是判斷棱臺(tái)的主要依據(jù),兩底面平行且是相似多邊形.
3.注意還臺(tái)為錐的解題方法的運(yùn)用,將臺(tái)體還原為錐體可利用錐體的性質(zhì).注意正棱錐中的四個(gè)直角三角形為:高、斜高及底面邊心距組成一個(gè)直角三角形;高、側(cè)棱與底面外接圓半徑組成一個(gè)直角三角形;底面的邊心距、外接圓半徑及半邊長(zhǎng)組成一個(gè)
11、直角三角形;側(cè)棱、斜高及底邊一半組成一個(gè)直角三角形.
4.將幾何體展開(kāi)為平面圖形時(shí),要注意在何處剪開(kāi),多面體要選擇一條棱剪開(kāi),旋轉(zhuǎn)體要沿一條母線(xiàn)剪開(kāi).
5.與球有關(guān)的組合體問(wèn)題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖,如球內(nèi)切于正方體,切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心,正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑;球外接于正方體,正方體的頂點(diǎn)均在球面上,正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于球的直徑.球與旋轉(zhuǎn)體的組合,通常作它們的軸截面進(jìn)行解題,球與多面體的組合,通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心,或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖.
6.關(guān)于組合體的考查一般放在壓軸的
12、選擇或填空的位置,難度較大,需具有較強(qiáng)的畫(huà)圖能力和空間想象能力,尤其是與球相關(guān)的內(nèi)切與外接問(wèn)題,具有一定的規(guī)律和常用的結(jié)論,故總結(jié)常用的類(lèi)型,形成解題的套路和模式.
2.【北京市朝陽(yáng)區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末理】在棱長(zhǎng)為1的正方體中,點(diǎn),分別是線(xiàn)段,(不包括端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn),且線(xiàn)段平行于平面,則四面體的體積的最大值是
A. B. C. D.
3.【廣西百所高中2013屆高三年級(jí)第三屆聯(lián)考】如圖,已知球O
是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1的內(nèi)切球,則平面ACD1截
球O的截面面積為( )
13、 A. B.
C. D.
6.【天津市新華中學(xué)2013屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,是邊長(zhǎng)為的正三角形, 為球的直徑,且,則此棱錐的體積為( )
A. B. C. D.
8.【云南玉溪一中2013屆第四次月考試卷】四面體中,
則四面體外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
9.【2012河北省名校名師俱樂(lè)部高三第二次調(diào)研考試】已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上,AB=6,,棱錐O-ABCD的體積為,則球O的表面積為
A.
14、B. C. D.
10.【2012-2013學(xué)年度河北省普通高中11月高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)】已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上,當(dāng)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為時(shí),其高的值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
11.【2012河北省名校名師俱樂(lè)部高三第二次調(diào)研考試】已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上,AB=6,,棱錐O-ABCD的體積為,則球O的表面積為
A. B. C. D.
12.【2012-2013學(xué)年度河北省普通高中高三11月教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)】.已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上,當(dāng)正棱柱的體積最大值時(shí)
15、,其高的值為( )
A. B. C. D.
13.【2012-2013學(xué)年度河北省普通高中高三11月教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)】已知ABCD為正方形,點(diǎn)P為平面ABCD外一點(diǎn),,,二面角為,則點(diǎn)C到平面PAB的距離為
14.【云南師大附中2013屆高三適應(yīng)性月考卷(三)】正三棱錐A-BCD內(nèi)接于球O,且底
面邊長(zhǎng)為,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則球O的表面積為_(kāi)___ .
15.【北京四中2012-2013年度第一學(xué)期高三年級(jí)期中】湖面上漂著一個(gè)小球,湖水結(jié)冰后將球取出,冰面上留下了一個(gè)直徑為12 cm,深2 cm的空穴,則該球的半徑是______cm,表面
16、積是______cm2.
體的表面積為,其外接球的表面積為,則____________.
18.【云南玉溪一中高2013屆高三上學(xué)期第三次月考】 設(shè)動(dòng)點(diǎn)在棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線(xiàn)上,記.當(dāng)為鈍角時(shí),則的取值范圍是 .
19.【河南中原名校2012—2013學(xué)年度第一學(xué)期期中聯(lián)考】已知球Ol、O2的半徑分別為l、r,體積分別為V1、V2,表面積分別為S1、S2,當(dāng)時(shí),的取值范圍是 .
20.【江蘇省南通市2013屆高三第二次調(diào)研測(cè)試】 若將一個(gè)圓錐的側(cè)面沿一條母線(xiàn)剪開(kāi),其展開(kāi)圖是半徑為2 cm的半圓,則該圓錐的高為
17、 cm.
21.【2013河北省名校名師俱樂(lè)部高三3月模擬考試】 在三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,,,BC=1,且三棱柱的體積為3,則三棱柱的外接球的表面積為
【2012-2013學(xué)年云南省昆明市高三(上)摸底調(diào)研測(cè)試】已知A,B,C,D四點(diǎn)在半徑為的球面上,且,AD=BC=5,AB=CD,則三棱錐D﹣ABC的體積是 .
22.【云南玉溪一中2013屆第四次月考試卷】已知正三棱錐,點(diǎn)都在半徑為的球面上,若兩兩互相垂直,則球心到截面的距離為_(kāi)_______.
.
23.【2013年烏魯木齊地區(qū)高三年級(jí)第一次診斷性測(cè)驗(yàn)試卷】 如圖,單位正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在平面A1BC1上,則三棱錐P-ACD1的體積 為_(kāi)_____
適用于新課程各種版本教材的教學(xué) 全國(guó)統(tǒng)一客服電話(huà):400-715-6688
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