高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第四篇 第7講 解三角形應(yīng)用舉例

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第7講 解三角形應(yīng)用舉例 A級(jí)　基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘　滿(mǎn)分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2013·滄州模擬)有一長(zhǎng)為1的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10°，則斜坡長(zhǎng)為 (　　)． A．1 B．2sin 10° C．2cos 10° D．cos 20° 解析　如圖，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°. 在△ABD中，由正弦定理得 ＝， ∴AD＝AB·＝＝2cos 10°. 答案　C 2．某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是 km，那么x的值為 (　　)． A. B．2 C.或2 D．3 解析　如圖所示，設(shè)此人從A出發(fā)，則AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2. 答案　C 3．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線(xiàn)航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是 (　　)． A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析　如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)． 答案　A 4.(2012·吉林部分重點(diǎn)中學(xué)質(zhì)量檢測(cè))如圖，兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 (　　)． A．30° B．45° C．60° D．75° 解析　依題意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°. 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2011·上海)在相距2千米的A，B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______千米． 解析　由已知條件∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，得∠ACB＝45°.結(jié)合正弦定理得＝，即＝，解得AC＝(千米)． 答案　 6.(2013·濰坊模擬)如圖，一艘船上午9：30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8 n mile.此船的航速是________ n mile/h. 解析　設(shè)航速為v n mile/h， 在△ABS中，AB＝v，BS＝8 n mile， ∠BSA＝45°， 由正弦定理得：＝，∴v＝32 n mile/h. 答案　32 三、解答題(共25分) 7．(12分)某廣場(chǎng)有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門(mén)欲在該地上建造一個(gè)底座為三角形的環(huán)保標(biāo)志，小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分別為△ABC、△ABD，經(jīng)測(cè)量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的長(zhǎng)度． 解　在△ABC中，由余弦定理得 cos C＝＝， 在△ABD中，由余弦定理得 cos D＝＝. 由∠C＝∠D，得cos∠C＝cos∠D， 解得AB＝7，所以AB長(zhǎng)度為7米． 8．(13分)如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線(xiàn)CB前往B處救援，求cos θ的值． 解　如題圖所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，故BC＝20(海里)． 由正弦定理得＝， 所以sin∠ACB＝sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝. 易知θ＝∠ACB＋30°，故cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30° ＝. B級(jí)　能力突破(時(shí)間：30分鐘　滿(mǎn)分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是 (　　)． A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析　設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根據(jù)余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m. 答案　A 2.(2013·榆林模擬)如圖，在湖面上高為10 m處測(cè)得天空中一朵云的仰角為30°，測(cè)得湖中之影的俯角為45°，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m) (　　)． A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 解析　在△ACE中， tan 30°＝＝.∴AE＝(m)． 在△AED中，tan 45°＝＝， ∴AE＝(m)，∴＝， ∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)． 答案　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 3.在2012年7月12日倫敦奧運(yùn)會(huì)上舉行升旗儀式．如圖，在坡度為15°的觀禮臺(tái)上，某一列座位所在直線(xiàn)AB與旗桿所在直線(xiàn)MN共面，在該列的第一個(gè)座位A和最后一個(gè)座位B測(cè)得旗桿頂端N的仰角分別為60°和30°，且座位A，B的距離為10米，則旗桿的高度為_(kāi)_______米． 解析　由題可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得＝，解得AN＝20(米)，在Rt△AMN中，MN＝20 sin 60°＝30(米)．故旗桿的高度為30米． 答案　30 4.(2013·合肥一檢)如圖，一船在海上自西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東α角，前進(jìn)m海里后在B處測(cè)得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周?chē)鷑海里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)α與β滿(mǎn)足條件________時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)． 解析　由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得＝，解得BM＝，要使該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)需滿(mǎn)足BMsin(90°－β)＝＞n，所以當(dāng)α與β的關(guān)系滿(mǎn)足mcos αcos β＞nsin(α－β)時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)． 答案　mcos αcos β＞nsin(α－β) 三、解答題(共25分) 5．(12分)(2012·肇慶二模)如圖，某測(cè)量人員為了測(cè)量西江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，她在西江南岸找到一個(gè)點(diǎn)C，從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，B；找到一個(gè)點(diǎn)D，從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，C；找到一個(gè)點(diǎn)E，從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B，C；并測(cè)量得到數(shù)據(jù)：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1百米． (1)求△CDE的面積； (2)求A，B之間的距離． 解　(1)在△CDE中，∠DCE＝360°－90°－15°－105°＝150°，S△CDE＝DC·CE·sin 150°＝×sin 30°＝×＝(平方百米)． (2)連接AB，依題意知，在Rt△ACD中， AC＝DC·tan∠ADC＝1×tan 60°＝(百米)， 在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理＝，得 BC＝·sin∠CEB＝×sin 45°＝(百米)． ∵cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45° ＝×＋×＝， 在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB， 可得AB2＝()2＋()2－2××＝2－， ∴AB＝百米． 6．(13分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線(xiàn)方向以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇． (1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇． 解　(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則 S＝ ＝＝ . 故當(dāng)t＝時(shí)，Smin＝10(海里)， 此時(shí)v＝＝30(海里/時(shí))． 即小艇以30海里/時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最?。? (2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)， 故v2＝900－＋，∵0＜v≤30， ∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥. 又t＝時(shí)，v＝30海里/時(shí)． 故v＝30海里/時(shí)時(shí)，t取得最小值，且最小值等于. 此時(shí)，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可設(shè)計(jì)航行方案如下： 航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇. 特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見(jiàn)《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤(pán)中內(nèi)容.