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1、考點(diǎn)一 矩形的性質(zhì)與判定 (5年5考) 例1 如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是( ) A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90 D．CE⊥DE,【分析】 先證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定進(jìn)行分析．,【自主解答】 ∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC， AD＝BC. 又∵AD＝DE， ∴DE∥BC，且DE＝BC， ∴四邊形BCED為平行四邊形． ∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE， ∴?DBCE為矩形，故A選項(xiàng)不符合題意；,∵對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形，
2、不一定為矩形， 故B選項(xiàng)符合題意； ∵∠ADB＝90，∴∠EDB＝90， ∴?DBCE為矩形，故C選項(xiàng)不符合題意； ∵CE⊥DE，∴∠CED＝90， ∴?DBCE為矩形，故D選項(xiàng)不符合題意．故選B.,矩形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法 (1)矩形性質(zhì)的應(yīng)用：從邊上看，兩組對(duì)邊分別平行且相等；從角上看，矩形的四個(gè)角都是直角；從對(duì)角線上看，對(duì)角線互相平分且相等，同時(shí)把矩形分為四個(gè)面積相等的等腰三角形．,(2)矩形的判定方法：若四邊形可以證為平行四邊形，則 還需證明一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等；若直角較多，可利 用“三個(gè)角為直角的四邊形是矩形”來(lái)證．,1．(2018棗莊中考)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的
3、 中點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值為( ),A,2．(2018濱州中考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ 4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若AE＝ ，∠EAF＝45，則 AF的長(zhǎng)為 ．,3．如圖，在?ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD 上，DF＝BE，連接AF，BF. (1)求證：四邊形BFDE是矩形； (2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求證：AF平分∠DAB.,(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴DC∥AB，即DF∥BE. 又∵DF＝BE，∴四邊形BFDE為平行四邊形． 又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90， ∴四邊形BFDE為矩形．,(2)
4、∵四邊形BFDE為矩形，∴∠BFC＝90. ∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝ ＝5. ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝5， ∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA. 又∵DC∥AB，∴∠DFA＝∠FAB， ∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.,考點(diǎn)二 菱形的性質(zhì)與判定 (5年3考) 例2 (2017濱州中考)如圖，在?ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AD于點(diǎn)F；再分別以點(diǎn)B，F(xiàn)為圓心，大于 BF的相同長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P；連接AP并延長(zhǎng)交 BC于點(diǎn)E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形．,(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過(guò)程，求證：四邊形ABEF是菱形； (
5、2)若菱形ABEF的周長(zhǎng)為16，AE＝4 ，求∠C的大?。?【分析】 (1)利用“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”進(jìn)行判定； (2)連接BF，利用菱形的性質(zhì)，通過(guò)解直角三角形確定∠OAF的度數(shù)，從而可知∠C的度數(shù)．,【自主解答】(1)由作圖過(guò)程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAF. ∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD， ∴∠AEB＝∠EAF，∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE，∴BE＝AF， ∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴四邊形ABEF為菱形．,(2)如圖，連接BF. ∵四邊形ABEF為菱形， ∴BF與AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE，,∵菱形ABEF的周長(zhǎng)
6、為16，∴AF＝4， ∴∠OAF＝30，∴∠BAF＝60. ∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠C＝∠BAD＝60.,菱形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法 (1)判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，一是證明四條邊相等；二是先證明它是平行四邊形，進(jìn)而再證明它是菱形． (2)運(yùn)用菱形的性質(zhì)時(shí)，要注意菱形的對(duì)角線互相垂直這個(gè)條件；此外，菱形的對(duì)角線所在的直線是菱形的對(duì)稱軸，運(yùn)用這一性質(zhì)可以求出線段和的最小值．,4．(2015濱州中考)順次連接矩形ABCD各邊的中點(diǎn)， 所得四邊形必定是( ) A．鄰邊不等的平行四邊形 B．矩形 C．正方形 D．菱形,D,5．(2018日照中考)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC， BD
7、相交于點(diǎn)O，AO＝CO，BO＝DO.添加下列條件，不能判定 四邊形ABCD是菱形的是( ) A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO,B,6．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF. (1)求證：AF＝DC； (2)若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．,(1)證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE. ∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線， ∴AE＝DE，BD＝CD. 在△AFE和△DBE中， ∴△AFE≌△DBE(AAS)，∴AF＝BD，∴AF＝DC.,(2)解
8、：四邊形ADCF是菱形． 證明如下：∵AF∥BC，AF＝DC， ∴四邊形ADCF是平行四邊形． ∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線，∴AD＝ BC＝DC， ∴平行四邊形ADCF是菱形．,考點(diǎn)三 正方形的性質(zhì)與判定 (5年3考) 例3 (2014濱州中考)如圖，已知正方形ABCD，把邊DC繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30到DC′處，連接AC′，BC′，CC′，寫(xiě)出圖中所有的等腰三角形，并寫(xiě)出推理過(guò)程．,【分析】 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)與判定得出相等的邊，從而得出圖中的等腰三角形． 【自主解答】圖中的等腰三角形有△DCC′，△DC′A，△C′AB，△C′BC. 推理過(guò)程：∵四邊形A
9、BCD是正方形， ∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝90， ∴DC＝DC′＝DA，,∴△DCC′，△DC′A為等腰三角形． ∵∠C′DC＝30，∠ADC＝90，∴∠ADC′＝60， ∴△AC′D為等邊三角形， ∴AC′＝AD＝AB，∴△C′AB為等腰三角形． ∵∠C′AB＝90－60＝30，∴∠CDC′＝∠C′AB，,在△DCC′和△ABC′中， ∴△DCC′≌△ABC′，∴CC′＝C′B， ∴△C′BC為等腰三角形．,判定正方形的方法及其特殊性 (1)判定一個(gè)四邊形是正方形，可以先判定四邊形為矩形，再證鄰邊相等或者對(duì)角線互相垂直；或先判定四邊形為菱形，再證有一個(gè)角是直角或者對(duì)角線相等
10、． (2)正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它們的所有性質(zhì)．,7．(2018青島中考)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E，F(xiàn)分 別在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE與AF相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H為BF的 中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為 ．,8．已知：如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)G是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DG為邊向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于點(diǎn)H.,(1)若點(diǎn)G在點(diǎn)B的右邊．試探索：EH－BG的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． (2)連接EB，在G點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)G與點(diǎn)A重合除外)過(guò)程中，求∠EBH的度數(shù)．,解：(1)EH－BG的值是定值． ∵EH⊥AB，
11、∴∠GHE＝90，∴∠GEH＋∠EGH＝90. 又∵∠AGD＋∠EGH＝90，∴∠GEH＝∠AGD. ∵四邊形ABCD與四邊形DGEF都是正方形， ∴∠DAG＝90，DG＝GE，∴∠DAG＝∠GHE.,在△DAG和△GHE中， ∴△DAG≌△GHE(AAS)，∴AG＝EH. 又∵AG＝AB＋BG，AB＝4，∴EH＝AB＋BG， ∴EH－BG＝AB＝4.,(2)①如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)， 同(1)可證得△DAG≌△GHE， ∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴BH＝AG＝EH. 又∵∠GHE＝90，∴△BHE是等腰直角三角形， ∴∠EBH＝45.,②如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)， 由△DA
12、G≌△GHE， ∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴AG＝BH. 又∵EH＝AG，∴EH＝HB. 又∵∠GHE＝90，∴△BHE是等腰直角三角形， ∴∠EBH＝45.,③如圖3，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)， 同理△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG＝AB， ∴△GHE(即△BHE)是等腰直角三角形， ∴∠EBH＝45. 綜上所述，在G點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)G與點(diǎn)A重合除外)過(guò)程中，∠EBH都等于45.,考點(diǎn)四 四邊形綜合題 百變例題(2018棗莊中考改編)如圖，將矩形ABCD沿AF折 疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G， 連接DG.,(1)求證：四邊形EFDG是菱形；
13、 (2)探究線段EG，GF，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； (3)若 求BE的長(zhǎng)．,【分析】 (1)先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF ＝∠DFG，從而得到GD＝DF，再根據(jù)翻折的性質(zhì)即可證明DG ＝GE＝DF＝EF； (2)連接DE，交AF于點(diǎn)O.由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG＝OF ＝ GF，然后證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質(zhì)可 證明DF2＝FOAF，于是可得到EG，AF，GF的數(shù)量關(guān)系；,(3)過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC，垂足為H.利用(2)的結(jié)論可求得FG，然后在△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長(zhǎng)，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角
14、形的性質(zhì)可求得GH的長(zhǎng)，最后依據(jù)BE＝AD－GH求解即可．,【自主解答】 (1)∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG. ∵由翻折的性質(zhì)可知GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF， ∴∠DGF＝∠DFG，∴GD＝DF， ∴DG＝GE＝DF＝EF， ∴四邊形EFDG是菱形． ∵四邊形EFDG是菱形，,變式1：如圖，若點(diǎn)G在BE上，AD＝10，AB＝6，CE＝2， 將△ABG沿AG折疊，點(diǎn)B恰好落在線段AE上的點(diǎn)H處．求證： (1)∠FAG＝45； (2)S△ABG＝ S△EGH； (3)BG＋CE＝GE.,證明：如圖， 由題意可知，BG＝GH，AE＝AD＝10，AH＝AB＝6， ∠1＝∠2，∠3
15、＝∠4. (1)∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝∠BAD＝90， ∴∠2＋∠3＝ ∠BAD＝ 90＝45， 即∠FAG＝45.,(2)∵AE＝10，AH＝6，∴HE＝AE－AH＝10－6＝4. 設(shè)BG＝x，∴GH＝BG＝x， ∴GE＝AD－BG－EC＝10－x－2＝8－x. 在Rt△GHE中， ∵GE2＝GH2＋HE2，∴(8－x)2＝x2＋42，∴x＝3， 即GH＝BG＝3，,(3)∵GE＝8－x＝8－3＝5，BG＋EC＝3＋2＝5， ∴BG＋CE＝GE.,變式2：如圖，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，若點(diǎn)M是BC邊上一點(diǎn)，連接AM，把∠B沿AM折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，當(dāng)△CMB′為直角三
16、角形時(shí)，求BM的長(zhǎng)．,解： 如圖，當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，連接AC. 在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10， ∵∠B沿AM折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處， ∴∠AB′M＝∠B＝90.,當(dāng)△CMB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠MB′C＝90， ∴點(diǎn)A，B′，C共線，即∠B沿AM折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線 AC上的點(diǎn)B′處， ∴MB＝MB′，AB＝AB′＝6，∴CB′＝2 －6. 設(shè)BM＝x，則MB′＝x，CM＝10－x，,在Rt△CMB′中， ∵M(jìn)C2＝MB′2＋CB′2， (10－x)2＝x2＋(2 －6)2，,如圖，當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)， 此時(shí)四邊形ABMB′為正方形，∴BM＝AB＝6. 綜上所述，BM的長(zhǎng)為 或6.,
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