歷屆高考數(shù)學(xué)真題匯編專題10_圓錐曲線_理(2000-2006)

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【2006高考試題】 一、選擇題（共29題） 1．（安徽卷）若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為 A． B． C． D． 2．（福建卷）已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) 3．（福建卷）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是 A.(,) B. (-,) C.[ ,] D. [-,] 解析：雙曲線的漸近線與過(guò)右焦點(diǎn)的直線平行，或從該位置繞焦點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，∴≥k，又k≥，選C 4.（廣東卷）已知雙曲線，則雙曲線右支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離之比等于 A. B. C. 2 D. 4 解析：依題意可知 ，，故選C. 5．（湖北卷）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則點(diǎn)的軌跡方程是 A． B． C． D． 6．（湖南卷）過(guò)雙曲線M:的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是 ( ) A. B. C. D. 7．（江蘇卷）已知兩點(diǎn)M（－2，0）、N（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足?。?，則動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程為 （A）　　　（B）　　?。–）　　?。―） 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，拋物線的定義. 8．（江西卷）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ） A．（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2） D.(2，2) 解：F（1，0）設(shè)A（，y0）則＝（ ，y0），＝（1－，－y0），由 · ＝－4Ty0＝±2，故選B 9．（江西卷）P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9 10．（遼寧卷）雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是 (A) (B) (C) (D) 【解析】雙曲線的兩條漸近線方程為，與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域時(shí)有。 11．（遼寧卷）曲線與曲線的 (A)焦距相等 (B) 離心率相等 (C)焦點(diǎn)相同 (D)準(zhǔn)線相同 12．（遼寧卷）直線與曲線 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】將代入得： ，顯然該關(guān)于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點(diǎn)有4個(gè)，故選擇答案D。 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方程與曲線的關(guān)系以及絕對(duì)值的變換技巧，同時(shí)對(duì)二次方程的實(shí)根分布也進(jìn)行了簡(jiǎn)單的考查。 13．（遼寧卷）方程的兩個(gè)根可分別作為（　?。? Ａ．一橢圓和一雙曲線的離心率 Ｂ．兩拋物線的離心率 Ｃ．一橢圓和一拋物線的離心率 Ｄ．兩橢圓的離心率 解：方程的兩個(gè)根分別為2，，故選A 14．（全國(guó)卷I）雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則 A． B． C． D． 解：雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，∴ m<0，且雙曲線方程為，∴ m=，選A. 15．（全國(guó)卷I）拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是 A． B． C． D． 解：設(shè)拋物線上一點(diǎn)為(m，－m2)，該點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)m=時(shí)，取得最小值為，選A. 16．（全國(guó)II）已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是 （A）2 （B）6 （C）4 （D）12 解析(數(shù)形結(jié)合)由橢圓的定義橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,可得的周長(zhǎng)為4a=,所以選C 17．（全國(guó)II）已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，則雙曲線的離心率為 （A） (B) (C) (D) 解析:雙曲線焦點(diǎn)在x軸,由漸近線方程可得,故選A 19．（山東卷）在給定雙曲線中，過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該雙曲線的離心率為 (A) (B)2 (C) (D)2 解：不妨設(shè)雙曲線方程為（a>0，b>0），則依題意有， 據(jù)此解得e＝，選C 20．(陜西卷)已知雙曲線 － =1(a>)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為 A.2 B. C. D. 解：雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為，則，∴ a2=6，雙曲線的離心率為 ，選D． 21．（四川卷）已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于 （A） （B） （C） （D） 解：兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)， 則，即，所以點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π，選B. 22．（四川卷）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為 （A）48 （B）56 （C）64 （D）72 23．（天津卷）如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是（ ） A． 　　 B．　　　　　 C． 　　 D． 解析：如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為，∴ ，解得，所以它的兩條準(zhǔn)線間的距離是，選C. 24．（天津卷）橢圓的中心為點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為，則這個(gè)橢圓的方程是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：橢圓的中心為點(diǎn)它的一個(gè)焦點(diǎn)為∴ 半焦距，相應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線方程為 ∴ ，，則這個(gè)橢圓的方程是，選D. 25．（浙江卷）若雙曲線上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是到左焦點(diǎn)距離的 ，則m= （A） （B） （C） （D） 解：雙曲線上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是到左焦點(diǎn)距離的 ，則離心率e=3，∴ ，m=，選C. 26．（浙江卷）拋物線的準(zhǔn)線方程是 (A) (B) (C) (D) 解：2p＝8，p＝4，故準(zhǔn)線方程為x＝－2，選A 27．(重慶卷)設(shè)是右焦點(diǎn)為的橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，則“成等差數(shù)列”是“”的 （A）充要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分不必要條件 （D）既非充分也非必要 28．（上海春）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ) （A）. （B）. （C）. （D）. 解：（直接計(jì)算法）因?yàn)閜=2 ，所以拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ．應(yīng)選B． 29．（上海春）若，則“”是“方程表示雙曲線”的( ) （A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件. （C）充要條件. （D）既不充分也不必要條件. 解：應(yīng)用直接推理和特值否定法．當(dāng)k>3時(shí)，有k-3>0,k+3>0，所以方程 表示雙曲線；當(dāng)方程 表示雙曲線時(shí)，k=-4 是可以的，這不在k>3里．故應(yīng)該選A． 二、填空題（共8題） 30．（江西卷）已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．下面四個(gè)命題 Ａ．的內(nèi)切圓的圓心必在直線上； Ｂ．的內(nèi)切圓的圓心必在直線上； Ｃ．的內(nèi)切圓的圓心必在直線上； Ｄ．的內(nèi)切圓必通過(guò)點(diǎn)． 其中真命題的代號(hào)是 （寫出所有真命題的代號(hào)）． 31．（山東卷）已知拋物線y2=4x,過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)， 則y12+y22的最小值是 . 解：顯然30，又＝4（）38，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以所求的值為32。 32．（山東卷）已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（－2，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ． 解：已知為所求； 33．(上海卷)若曲線＝||＋1與直線＝＋沒(méi)有公共點(diǎn)， 則、分別應(yīng)滿足的條件是 ． 解：作出函數(shù)的圖象， 如右圖所示： 所以，； 34．(上海卷)已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,且焦距與虛軸長(zhǎng)之比為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________________. 解：雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,則焦點(diǎn)在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長(zhǎng)之比為，即，解得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是. 35．(上海卷)若曲線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是_________. 解：曲線得|y|>1，∴ y>1或y<－1，曲線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是[－1，1]. 36．（四川卷）如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸分成等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則 ; 37（浙江卷）雙曲線上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離與到左準(zhǔn)線的距離的比是3，則m 等于 。 解析：雙曲線上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離與到左準(zhǔn)線的距離的比是3，即離心率e=3，所以，m=. 三、解答題（共29題） O F x y P M H 38．（安徽卷）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)。P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形為平行四邊形，。 （Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且品行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若，求此時(shí)的雙曲線方程。 39．（北京卷）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值. 解：（1）依題意，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所求方程為： （x>0） （1） 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x＝x0，此時(shí)A（x0，）， B（x0，－），＝2 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋b，代入雙曲線方程中，得：（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0……………………1° 依題意可知方程1°有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則 解得|k|>1又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2 綜上可知的最小值為2 40．（北京卷）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P在橢圓C上，且P F1⊥PF2,,| P F1|=,,| P F2|=. （I）求橢圓C的方程； （II）若直線L過(guò)圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線L的方程。 解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）. 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 ① ② 由①－②得 ③ 因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得＝，即直線l的斜率為， 所以直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.) 41．（福建卷）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。 （Ⅰ）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程； （Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍. 本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力。 （II）設(shè)直線AB的方程為 代入整理得 直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根。 記中點(diǎn) 則 的垂直平分線NG的方程為 令得 點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為 42．（福建卷）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。 （I）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程； （II）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，并且線段AB的中點(diǎn)在直線上，求直線AB的方程。 本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力。 （II）設(shè)直線AB的方程為 代入整理得 直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根， 記中點(diǎn)則 線段AB的中點(diǎn)N在直線上， ，或 當(dāng)直線AB與軸垂直時(shí)，線段AB的中點(diǎn)F不在直線上。 直線AB的方程是或 43．（湖北卷）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。 （Ⅰ）、求橢圓的方程； （Ⅱ）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力。 將代入，化簡(jiǎn)得·＝（2－x0）. ∵2－x0>0，∴·>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角， 故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。 44．（湖南卷）已知橢圓C1:,拋物線C2:,且C1、C2的公共弦AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn). (Ⅰ)當(dāng)AB⊥軸時(shí),求、的值，并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上； (Ⅱ)是否存在、的值，使拋物線C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的、的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以m＝0，直線AB的方程為： x =1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，－）. 因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上.所以，即.此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上. （II）解法一： 假設(shè)存在、的值使的焦點(diǎn)恰在直線AB上，由（I）知直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為． A y B O x 由消去得…① 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）, 則x1,x2是方程①的兩根，x1＋x2＝. 　　由　消去y得. ………………② 因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，所以. 　或． 由上知，滿足條件的、存在，且或，． 解法二： 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為，． 因?yàn)锳B既過(guò)C1的右焦點(diǎn)，又過(guò)C2的焦點(diǎn)， 所以. 即. 　 ……① 由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率， ……② 且直線AB的方程是, 所以. ……③ 又因?yàn)?，所? ……④ 45．（湖南卷）已知橢圓C1：，拋物線C2：，且C1、C2的公共弦AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn). （Ⅰ）當(dāng)軸時(shí)，求p、m的值，并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上； ?。á颍┤羟覓佄锞€C2的焦點(diǎn)在直線AB上，求m的值及直線AB的方程. 解?。á瘢┊?dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以m＝0，直線AB的方程為 x=1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，－）. 因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以，即. 此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上. （Ⅱ）解法一　當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為. 由消去y得. ……① 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）, 則x1,x2是方程①的兩根，x1＋x2＝. 解法二　當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程 為. 由消去y得. 　　　　　　　 ……① 因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上， 所以，即.代入①有. 即. ……② 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）, 則x1,x2是方程②的兩根，x1＋x2＝. 由消去y得. 　　……③ 解法三　設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）, 因?yàn)锳B既過(guò)C1的右焦點(diǎn)，又是過(guò)C2的焦點(diǎn)， 所以. 即. ……① 由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率，　　 ……② 且直線AB的方程是, 所以. ……③ 又因?yàn)?，所? ……④ 將①、②、③代入④得，即. 當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為； 當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為. 46．（江蘇卷）已知三點(diǎn)P（5，2）、（－6，0）、（6，0）. （Ⅰ）求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P、、關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)分別為、、，求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力。 O P A F B D x y 47．（江西卷）如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的一動(dòng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于 兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)． （1）求點(diǎn)的軌跡的方程； （2）若在的方程中，令， ．設(shè)軌跡的最高點(diǎn)和最 低點(diǎn)分別為和．當(dāng)為何值時(shí)，為一個(gè)正三角形？ 解：如圖，（1）設(shè)橢圓Q：（a>b>0） 上的點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則 1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x11x2， 由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0 \b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3） 2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（3） 故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b2x2＋a2y2－b2cx＝0 48．（遼寧卷）已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為 (I) 證明線段是圓的直徑; (II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí)，求P的值。 【解析】(I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則 即 整理得: 故線段是圓的直徑 證明3: 整理得: ……(1) 以線段AB為直徑的圓的方程為 展開(kāi)并將(1)代入得: 故線段是圓的直徑 (II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則 又因 所以圓心的軌跡方程為 設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 . 設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則 因?yàn)閤-2y+2=0與無(wú)公共點(diǎn),所以當(dāng)x-2y-2=0與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為 將(2)代入(3)得 解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則 圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 又因 49．（遼寧卷）已知點(diǎn)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足，設(shè)圓的方程為． （1）證明線段是圓的直徑； （2）當(dāng)圓的圓心到直線的距離的最小值為時(shí)，求的值． 解析：本小題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，圓與拋物線的方程，點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力。 （I）證法一： 即 整理得......................12分 設(shè)點(diǎn)M（x,y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則 即 展開(kāi)上式并將①代入得 故線段是圓的直徑。 證法二： 即， 整理得①……3分 若點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，則 去分母得 點(diǎn)滿足上方程，展開(kāi)并將①代入得 所以線段是圓的直徑. （Ⅱ）解法一：設(shè)圓的圓心為，則 ， 又 所以圓心的軌跡方程為： 設(shè)圓心到直線的距離為，則 當(dāng)時(shí)，有最小值，由題設(shè)得\……14分 因?yàn)榕c無(wú)公共點(diǎn). 所以當(dāng)與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)到的距離最小，最小值為 將②代入③，有…………14分 解法三：設(shè)圓的圓心為，則 若圓心到直線的距離為，那么 又 當(dāng)時(shí)，有最小值時(shí)，由題設(shè)得 50．（全國(guó)卷I）在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量。求： （Ⅰ）點(diǎn)M的軌跡方程； （Ⅱ）的最小值。 51．（全國(guó)卷I）設(shè)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值。 解: 依題意可設(shè)P(0,1),Q(x,y),則 |PQ|=,又因?yàn)镼在橢圓上, 所以,x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2 =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 . 因?yàn)閨y|≤1,a>1, 若a≥, 則||≤1, 當(dāng)y=時(shí), |PQ|取最大值; 若10) （2）直線ME的方程為 由得 同理可得 設(shè)重心G（x, y），則有 O A B P F 　 消去參數(shù)得 2．（江西卷）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn). （1）求△APB的重心G的軌跡方程. （2）證明∠PFA=∠PFB. 解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為， ∴切線AP的方程為： 切線BP的方程為： 解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為： 所以△APB的重心G的坐標(biāo)為 ， 所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為： 方法2：①當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為： 即 所以P點(diǎn)到直線BF的距離為： 所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB. ②當(dāng)時(shí)，直線AF的方程： 直線BF的方程： 所以P點(diǎn)到直線AF的距離為： 同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 3. (重慶卷) 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為。 (1) 求雙曲線C的方程； (2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍。 而 于是 ② 由①、②得 故k的取值范圍為 4. (重慶卷) 已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)。 (1) 求雙曲線C2的方程； (2) 若直線l：與橢圓C1及雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍。 解此不等式得 ③ 由①、②、③得 故k的取值范圍為 5. (浙江) 17．如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)若直線l1：x＝m(|m|＞1)，P為l1上的動(dòng)點(diǎn)，使∠F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用m表示)． （II）設(shè)P( 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí), 只需求的最大值即可。 直線的斜率，直線的斜率 當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，最大， 6. （天津卷）拋物線C的方程為，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(diǎn)(P,A,B三點(diǎn)互不相同)，且滿足. （Ⅰ）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； （Ⅱ）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上； （Ⅲ）當(dāng)=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍. 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，則． 將③式和⑥式代入上式得，即． ∴線段的中點(diǎn)在軸上． （Ⅲ）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，拋物線方程為． 由③式知，代入得． 將代入⑥式得，代入得． 因此，直線、分別與拋物線的交點(diǎn)、的坐標(biāo)為 ，． 于是，， ． 因?yàn)殁g角且、、三點(diǎn)互不相同，故必有． 求得的取值范圍是或．又點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．即 7. （上海）本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分. 已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4、且位于x軸上方的點(diǎn),A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過(guò)A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M. (1)求拋物線方程; (2)過(guò)M作MN⊥FA, 垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo); (3)以M為圓心,MB為半徑作圓M.當(dāng)K(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí),丫討論直線AK與圓M的位置關(guān)系. 由題意得, ,圓M.的圓心是點(diǎn)(0,2), 半徑為2, 當(dāng)m=4時(shí), 直線AK的方程為x=4,此時(shí),直線AK與圓M相離. 當(dāng)m≠4時(shí), 直線AK的方程為y=(x-m),即為4x-(4-m)y-4m=0, 圓心M(0,2)到直線AK的距離d=,令d>2,解得m>1 ∴當(dāng)m>1時(shí), AK與圓M相離; 當(dāng)m=1時(shí), AK與圓M相切; 當(dāng)m<1時(shí), AK與圓M相交. 8. （上海）點(diǎn)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，。 （1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值。 (2) 直線AP的方程是－+6=0. 設(shè)點(diǎn)M(,0),則M到直線AP的距離是. 于是=,又－6≤≤6,解得=2. 橢圓上的點(diǎn)(,)到點(diǎn)M的距離有 , 由于－6≤≤6, ∴當(dāng)=時(shí),d取得最小值 9. （山東卷）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，其中. （I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程； （II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). （1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以，所以由①知：所以因此直線的方程可表示為，即所以直線恒過(guò)定點(diǎn) （2）當(dāng)時(shí)，由，得== 將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，所以， 此時(shí)，直線的方程可表示為即 所以直線恒過(guò)定點(diǎn) 所以由（1）（2）知，當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn). 10. (全國(guó)卷Ⅰ)）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線。 （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值。 （II）證明：（1）知，所以橢圓可化為 設(shè)，由已知得 11. (全國(guó)卷Ⅰ) 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線. （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值. 解：設(shè)橢圓方程為 則直線AB的方程為 化簡(jiǎn)得. 令則 共線，得 又 ∴ ∴即，∴ ∴ 故離心率為 Q P N M F O 12. (全國(guó)卷II)、、、四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)．已知與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最小值和最大值． 解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F(0,1)，且PQ⊥MN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為K，又PQ過(guò)點(diǎn)F(0,1)，故PQ的方程為=+1 將此式代入橢圓方程得(2+)+2－1=0 設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則 從而 亦即 ②當(dāng)=0時(shí)，MN為橢圓長(zhǎng)軸，|MN|=2，|PQ|=?！郤=|PQ||MN|=2 綜合①②知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為。 13．(全國(guó)卷III) 設(shè)兩點(diǎn)在拋物線上，是AB的垂直平分線， （Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程. 解：（Ⅰ）∵拋物線，即， ∴焦點(diǎn)為………………………………………………………1分 （1）直線的斜率不存在時(shí)，顯然有………………………………3分 （2）直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，截距為b 即直線：y=kx+b 由已知得： ……………5分 ……………7分 即的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)……………………………………8分 所以當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F…………………………9分 14、(全國(guó)卷III) 設(shè)，兩點(diǎn)在拋物線上，是的垂直平分線。 （Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)？證明你的結(jié)論； （Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為2時(shí)，求在軸上截距的取值范圍。 21．解：（Ⅰ）兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等， ∵拋物線的準(zhǔn)線是軸的平行線，，依題意不同時(shí)為0 ∴上述條件等價(jià)于 ∵ ∴上述條件等價(jià)于 即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)。 15.（遼寧卷）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足 （Ⅰ）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明； （Ⅱ）求點(diǎn)T的軌跡C的方程； （Ⅲ）試問(wèn)：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M， 使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2 的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （Ⅰ）證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 由P在橢圓上，得 由，所以 ………………………3分 證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記 則 由 解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上. 當(dāng)|時(shí)，由，得. 又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則 因此 ① 由得 ② 將①代入②，可得 綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是……………………7分 解法二：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是 ③ ④ 由④得 上式代入③得 于是，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=； 當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.………………………11分 當(dāng)時(shí)，記， 由知，所以…………14分 16．（湖南卷）已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e. 直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)＝λ. （Ⅰ）證明：λ＝1－e2； （Ⅱ）若，△PF1F2的周長(zhǎng)為6；寫出橢圓C的方程； （Ⅲ）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形. 證法二：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是 所以 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以 即 解得 （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，所以 由△MF1F2的周長(zhǎng)為6，得 所以 橢圓方程為 （Ⅲ）解法一：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由 得 所以 即當(dāng)△PF1F2為等腰三角形. 17．（湖南卷）已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e. 直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)＝λ. （Ⅰ）證明：λ＝1－e2； （Ⅱ）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形. （Ⅰ）證法一：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是. 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）. 由 即 （Ⅱ）解法一：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由 得 所以 即當(dāng)△PF1F2為等腰三角形. 解法二：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是， 則 由|PF1|=|F1F2|得 兩邊同時(shí)除以4a2，化簡(jiǎn)得 從而 于是. 即當(dāng)時(shí)，△PF1F2為等腰三角形. 18.．（湖北卷）設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程； （Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由. 解法2：設(shè) 依題意， （II）解法1：代入橢圓方程，整理得 ③ ③的兩根， 于是由弦長(zhǎng)公式可得 ④ 故當(dāng)時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心，為半徑的圓上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得： A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角 ⑧ 由⑥式知，⑧式左邊= 由④和⑦知，⑧式右邊= ∴⑧式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓 19. （福建卷）已知方向向量為的直線l過(guò)點(diǎn)（）和橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上. （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)E（－2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足cot ∠MON≠0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （I）解法一：直線， ① 過(guò)原點(diǎn)垂直的直線方程為， ② 解①②得 ∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上， ∵直線過(guò)橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）. 故橢圓C的方程為 ③ （II）解法一：設(shè)M（），N（）. 當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線代入③，整理得 點(diǎn)O到直線MN的距離 即 即 整理得 當(dāng)直線m垂直x軸時(shí)，也滿足. 故直線m的方程為 或或 經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足. 所以所求直線方程為 或或 解法二：設(shè)M（），N（）. 當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線代入③，整理得 ∵E（－2，0）是橢圓C的左焦點(diǎn)， ∴|MN|=|ME|+|NE| = 以下與解法一相同. ∴=，整理得 解得或 故直線m的方程為或或 經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足 所以所求直線方程為或或 20.（北京卷）如圖，直線 l1：y＝kx（k>0）與直線l2：y＝－kx之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為W，其左半部分記為W1，右半部分記為W2． （I）分別用不等式組表示W(wǎng)1和W2； （II）若區(qū)域W中的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到l1，l2的距離之積等于d2，求點(diǎn)P的軌跡C的方程； （III）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與（II）中的曲線C相交于M1，M2兩點(diǎn)，且與l1，l2分別交于M3，M4兩點(diǎn)．求證△OM1