第二十六章二次函數(shù)及其圖象

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1、 第二十六章 二次函數(shù) 26.1 二次函數(shù)及其圖象 26.1.1 二次函數(shù) [教學課時]1課時 [教學目標] （1）理解二次函數(shù)的概念；能判斷用解析式表示出來的兩個變量之間的關系是不是二次函數(shù)。 （2）對簡單的實際問題，能根據(jù)具體情景中兩個變量之間的依賴關系列出二次函數(shù)解析式。 （3）體會從實際問題出發(fā)，用函數(shù)關系定量地研究變量之間的關系。 [教學重點] 從實際問題出發(fā)，定義變量，建立兩個變量關系，從而引入二次函數(shù)的概念；同時能對二次函數(shù)做出判斷。 [教學方法] 創(chuàng)設情境—合作探究—歸納總結—鞏固提高 [教學過程] 一、復習回顧 師生活動設計： 教師提問：函

2、數(shù)是什么？我們學習過那些函數(shù)？ 師生共同回顧：學習過的一次函數(shù)和反比例函數(shù)。 教師提問：函數(shù)中有幾個變化的量，它們之間有什么樣的關系？ 師生共同回顧：有兩個變量，其中一個變量變化時，另一個變量的值唯一并隨之變化；函數(shù)是描述變化的一種數(shù)學工具。 二、創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生興趣，引出本節(jié)內容 問題 1：正方體的大小變化時，有那些量是變化的？ 學生回答：正方形的棱長，正方體的表面積，正方體的體積等。 師生活動設計：在正方體的大小變化過程中，我們把正方體的棱長設為，表面積設為，與有什么關系？ 學生回答：。① 教師活動設計：顯然對于取定的每一個值，都有唯一的對應值，即是的函數(shù)。

3、問題2： 多邊形的對角線數(shù)與邊數(shù)有什么關系？ 教師活動設計：如果多邊形有條邊，那么它有個頂點。從任意一個頂點出發(fā)，連接與這個點不相鄰的各頂點，可以做條對角線。提問：兩個變量的關系？如圖對角線和是同一條對角線，避免重復。 學生討論：，②。對于的每一個值，都有一個對應值，即是的函數(shù)。 問題3：某工廠一種產品現(xiàn)在的年產量是20件，計劃今后兩年增加產量。如果每年都比上一年的產量增加倍，那么兩年后這種產品的產量將隨計劃所定的的值而確定，與之間的關系應怎樣表示？ 師生活動設計：這種產品的原產量是20件，一年后的產量是件，再經過一年后的產量是件，計算得兩年后的產量為件，即。③

4、 對于的每一個值，都有一個對應值，即是的函數(shù)。 三、新課講解： 教師活動設計：函數(shù)①，②，③有什么共同點？在上面的問題中，函數(shù)都是用自變量的二次式表示的。一般地，形如的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。其中，是自變量，是函數(shù)值，分別是二次函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。 教師活動設計：到現(xiàn)在為止，我們所學習過的函數(shù)有：一次函數(shù)，其中正比例函數(shù)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)。可以發(fā)現(xiàn)，這些函數(shù)都反映了函數(shù)解析式與自變量的關系。 四、概念深化 例1：（口答）下列函數(shù)哪些是二次函數(shù)？ 例2：一個邊長為4厘米的正方形，若它的邊長增加厘

5、米，則面積隨之增加平方厘米，那么與關系怎樣表示？是的函數(shù)嗎？ 例3：用長為20米的籬笆，一面靠墻（墻的長度大于20米）如圖所示，圍成一個矩形花圃?；ㄆ缘拿娣e隨著的長度變化而變化，求的變化范圍？要建造面積為18平方米的花圃，要如何設計？ 五、歸納小結、布置作業(yè) 小結：是二次函數(shù)的一般形式，常數(shù)項和一次項的系數(shù)可以為零，當二次項系數(shù)一定不能為零。 課后作業(yè)： ①閱讀教材P1-P3；　　 ②教材P3練習第1-2題；　　 ③教材P14習題26.1第1、2、7題 26.1.2 二次函數(shù)的圖象 [教學課時]1課時 [教學目標] （1）學會用描點法畫函數(shù)圖象； （2）

6、觀察、分析和歸納二次函數(shù)的圖象特征，了解該圖象為拋物線； [教學重點] 研究特殊形式的二次函數(shù)的圖象，并歸納出圖象特征 [教學方法] 在學習描點法的過程中，體會特殊到一般的關系；學生充分動手，勇于探究。 [教學過程] 一、復習回顧 教師活動設計：一次函數(shù)的圖象是一條直線，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，二次函數(shù)的圖象是什么形狀呢？通常應怎樣畫一個函數(shù)的圖象？ 師生共同回顧：首先，畫出直角坐標系；描點…。 二、新課講解： 問題 1：利用描點法，畫出函數(shù)的圖象。 師生活動設計：自變量取一系列特殊的值，求出相應的函數(shù)值，列表得， … -3 -2 -1 0 1 2

7、 3 … … 9 4 1 0 1 4 9 … 根據(jù)有序實數(shù)對，…在直角坐標系中畫出相應坐標的點，再用平滑的曲線連接各點，就得到了函數(shù)的大致圖象，如圖所示。 師生活動設計： 問：描點法的步驟有哪些？ 答：第一步，列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數(shù)值） 第二步，描點（在直角坐標系內，以自變量的值為橫坐標、相應的函數(shù)值為縱坐標，描出表格中數(shù)值對應的各點） 第三步，連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑的曲線連接起來） 教師活動設計：一般的，描點畫圖所畫出的圖象，都是部分的、近似的。由自變量取值范圍看，只能畫出部分

8、圖象。圖象的精確程度，受到描點的個數(shù)、描點的近似等因素的影響，決定了畫出的圖象是近似的。 我們把的取值限定在-1和1之間，再取些值，描點連線后，就可以把原點附近的圖象畫得再準確些。 師生活動設計：所畫出的圖像有什么特點？ 回答：是條曲線；有對稱軸，是坐標軸；有最低點；… 教師活動設計：可以看出，二次函數(shù)的圖象是一條曲線，它的形狀類似于拋籃球在空中所經歷的路線。今后的課程中，我們還要畫很多的二次函數(shù)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)它們都是拋物線。實際上，每條拋物線都有對稱軸，拋物線與對稱軸的交點叫做拋物線的頂點，可以是最高點、也可以是最低點。 教師活動設計：由于點和它關于軸的對稱點都在拋

9、物線上，所以的圖象關于軸對稱。 三、概念深化 例1：在同一直角坐標系中，畫出的圖象。 解：分別填表，如下 … … … 8 … … … … 8 … 描點連接，如圖所示，其中虛線、藍線、黑線分別表示的是、和的圖象。 師生活動設計： 問：、和的圖象，有什么共同點和不同點？ 答：共同點是開口向上，對稱軸都是軸，頂點都是原點；不同點是開口的大小不同，

10、的系數(shù)越大，拋物線的開口越小。 例2：在同一直角坐標系中，畫出的圖象。 解：分別填表，如下 … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … … … … 8 … … … … 8 … 描點連接，如圖所示，其中虛線、藍線、紅線分別表示的是、和的圖象。 師生活動設計： 問：、和的

11、圖象，有什么共同點和不同點？ 答：共同點是開口向下，對稱軸都是軸，頂點都是原點（最高點）；不同點是開口的大小不同，的系數(shù)越大，拋物線的開口越大。 歸納總結：形如的二次函數(shù)，圖象是拋物線，對稱軸是軸，頂點是原點。當拋物線的開口向上，頂點是拋物線的最低點，越大，開口越??；當時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線的最高點，越大，開口越大。中二次項系數(shù)的絕對值越大，開口越小。 四、歸納小結、布置作業(yè) 小結： （1）描點法的理解 首先，畫出直角坐標系；再令自變量取一個特殊的值，得到對應的函數(shù)值，把這兩個數(shù)按順序排列得到一個有序的實數(shù)對，從而得到直角坐標系內的一個點的坐標，在坐

12、標系內描出坐標對應的點，依次類推，得到多個點后，把這些點連接起來，就得到了函數(shù)的圖象。 （2）圖象特征 課后作業(yè)：課本P14,習題26.1中3,4 26.1.3 二次函數(shù)的圖象 [教學課時]1課時 [教學目標] （1）經歷二次函數(shù)圖象平移的過程；理解函數(shù)圖象平移的意義。 （2）了解，，三類二次函數(shù)圖象之間的關系。 （3）會從圖象的平移變換的角度認識型二次函數(shù)的圖象特征。 [教學重點] 從圖象的平移變換的角度認識型二次函數(shù)的圖象特征。 [教學難點] 對于平移變換的理解和確定，學生較難理解。 [教學過程] 一、知識回顧 二次函數(shù)的圖象和特征： 1、名稱

13、 ；2、頂點坐標 ；3、對稱軸 ； 4、當時，拋物線的開口向 ，頂點是拋物線上的最 點，圖象在x軸的 (除頂點外)；當時，拋物線的開口向 ，頂點是拋物線上的最 點，圖象在x軸的 (除頂點外)。 二、新課講解： 解：先列表： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 9 4 1 0 1 4 9 … … 10 5 2 1 2 5 10 … … 8 3 0 -1 0 3 8 … 然后，描點

14、畫圖，如圖，得到三個函數(shù)的圖象，其中虛線、藍線和紅色代表的圖象。 思考：（1）拋物線，的開口方向、對稱軸、頂點各是什么？ (2) 拋物線，與拋物線是什么關系？ 回答：（1）開口都向上，對稱軸都是軸，頂點分別是； （2）可以發(fā)現(xiàn)，把拋物線向上平移1個單位，就得到拋物線； 把拋物線向下平移1個單位，就得到拋物線。 教師活動設計：把拋物線向上平移5個單位，會得到哪條拋物線？向下平移3個單位呢？ 學生活動設計：。 教師活動設計：在同一個直角坐標系內，畫出下列二次函數(shù)的圖象： 觀察三條拋物線的關系，并分別指出它們

15、的開口方向、對稱軸及頂點。你能說出的開口方向、對稱軸及頂點嗎？它與有什么關系？ 學生討論活動： 解：先列表： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … … … … … 然后，描點畫圖，如圖，得到三個函數(shù)的圖象，其中虛線、藍線和紅色代表，，的圖象。 師生活動設計：可以看出，拋物線的開口向下，對稱軸是經過點（-1,0）且與x軸垂直的直線，我們把它記作，頂點是(-1,0)；可以看出，拋物線的開

16、口向下，對稱軸是經過點（1,0）且與x軸垂直的直線，我們把它記作，頂點是(1,0)。 教師活動設計：拋物線，與拋物線有什么關系？ 學生討論： 教師設計：如何平移拋物線得到拋物線？ 學生討論： 教師歸納設計： 解：描點畫出的圖象，如圖所示，虛線表示拋物線，另一個是拋物線。 拋物線開口向下，對稱軸為，頂點是。 ，或 。 教師活動設計：思考函數(shù)的圖象和函數(shù)圖象之間的關系？ 學生討論：拋物線與拋物線形狀相同、開口方向相同，可以由拋物線通過左右、上下平移得到拋物線； 教師活動設計：函數(shù)的圖象在開口方向、頂點坐標和對稱軸等方面的性質。 學生討論

17、：（1） （2） （3） 師生活動設計：指出下列二次函數(shù)的開口、頂點、對稱軸，并說出如何由拋物線通過平移得到。 三、歸納小結、布置作業(yè) 小結： 作業(yè)：教材P10，練習 （1）（2）（3）（4） 課本P14,習題26.1中5 26.1.4 二次函數(shù)的圖象 [教學課時]1課時 [教學目標] （1）了解二次函數(shù)圖象的特點。 （2）掌握一般二次函數(shù)的圖象與的圖象之間的關系。 （3）會確定圖象的開口方向，會利用公式求頂點坐標和對稱軸。 （4）熟練二次問題中常用的措施配方。 [教學重點] 二次函數(shù)的圖象特征。 [教學過程] 一

18、、知識回顧 1、二次函數(shù)的圖象和的圖象之間的關系 2、函數(shù)的圖象在開口方向、頂點坐標和對稱軸等方面的性質。 （1） （2） （3） 二、新課講解： 教師活動設計：二次函數(shù)開口向上、對稱軸為x=3、頂點坐標為，圖象也可以大致的畫出來。 可化為，如果直接問你二次函數(shù)的頂點？對稱軸？又該如何？ 學生討論：二次函數(shù)都可以通過配方化為形式，即可。 學生討論總結：，當x<6時，y隨著x 的增加而減??；當x>6時, y隨著x 的增加而增大。 ，當x<-2時，y隨著x 的增加而增大；當x>-2時, y隨著x 的增加而減小。

19、 解： =。 由此可見函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的形狀、開口方向均相同，只是位置不同，可以通過平移得到。 （1）二次函數(shù) 的圖象是一條拋物線； （2）對稱軸是直線，頂點坐標是為（，） (3)當a>0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線上的最低點。 當a<0時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線上的最高點。 （4）當a>0時，在時，y隨著x 的增加而減??；當時, y隨著x 的增加而增大。 當a<0時，在時，y隨著x 的增加而增大；當時, y隨著x 的增加而減小。 教師活動設計：二次函數(shù)的兩種給出形式 一般式： 頂點式： 四、歸納小結、布置作業(yè) 小結

20、： 1、 理解對于二次式，無論是一元二次方程還是二次函數(shù)，還是將來的一元二次不等式，都離不開配方，所以除了記住結論外，對于二次式的配方要熟練。 二次函數(shù)的圖象特征有： （1）二次函數(shù) 的圖象是一條拋物線； （2）對稱軸是直線，頂點坐標是為（，） （3）當a>0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線上的最低點，的最小值為。 當a<0時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線上的最高點，的最大值為。 （4）當a>0時，在時，y隨著x 的增加而減??；當時, y隨著x 的增加而增大。 當a<0時，在時，y隨著x 的增加而增大；當時, y隨著x 的增加而減小。 2、 課后作業(yè)：課本P12,習練習(

21、1)(2)(3)(4)； 課本P14,習題26.1中6；課本P15,習題26.1中12。 26.1.5 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 [教學課時]1課時 [教學目標] （1）使學生理解二次函數(shù)的概念，學會列二次函數(shù)表達式和用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。 （2）分別掌握已知三點，頂點，兩根求二次函數(shù)解析式的方法。（ [教學重點] 二次函數(shù)的圖象與性質都是由它的概念所決定的，因此二次函數(shù)的概念是本節(jié)教學中的重點 [教學難點] 待定系數(shù)法和解三元一次方程組是本節(jié)教學中的難點 [教學過程] 一、知識回顧 二、新課講解：

22、 例1：已知函數(shù),指出這個函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標和對稱軸，以及函數(shù)值的變化情況。 例2 ：如果二次函數(shù)的圖象經過（-1，10），（1，4），（2，7）三點，求這個二次函數(shù)的解析式；并指出這個函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標和對稱軸，以及函數(shù)值的變化情況。 練習：如果二次函數(shù)的圖象經過A(-1,3)，B(1,3)，C(2,6)，求這個二次函數(shù)的解析式。 解:設解析式為y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各點代入上式得 例3：二次函數(shù)經過A(-1,0)、B(3,0),函數(shù)有最小值-8，求二次函數(shù)

23、的解析式。 解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得拋物線對稱軸為x=1,所以頂點為(1,-8). 設解析式為y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8. 把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式為y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6. 解法2:設解析式為y=a(x+1)(x-3),確定頂點為(1,-8)同上, 把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2, ∴解析式為y=2x2-4x-6. 解法3:∵圖象過A(-1,0),B(3,0)兩點,可設解析式為

24、:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a. ∵函數(shù)有最小值-8. ∴, 又∵a≠0,∴a=2. ∴解析式為y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6. 例4：二次函數(shù)的圖象頂點坐標是(-1,9),與x軸兩交點AB間的距離是6，求二次函數(shù)的解析式。 解法1:由頂點坐標(-1,9) 可知拋物線對稱軸方程是x=-1, 又因為圖象與x軸兩交點的距離為6,即AB=6. 由拋物線的對稱性可得A、B兩點坐標分別為A(-4,0),B(2,0), 設出兩根式y(tǒng)=a(x-x1)·(x-x2),

25、 將A(-4,0),B(2,0)代入上式y(tǒng)=a(x-2)·(x+4)， 又二次函數(shù)y=a(x-2)·(x+4)過點(-1,9),所以a=-1, 所求的二次函數(shù)解析式為y=-x2-2x+8。 解法2:由頂點坐標(-1,9)， 設所求二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1) 2+9, 又因為圖象與x軸兩交點的距離為6,即AB=6. 由拋物線的對稱性可得A、B兩點坐標分別為A(-4,0),B(2,0), 0=a(2+1) 2+9,解得a=-1, 二次函數(shù)解析式為y= -(x+1) 2+9。 點評:一般地,已知三個條件是拋物線上任意三點(或任意3對x,y的值)可設表達式為y

26、=ax2+bx+c,組成三元一次方程組來求解;如果三個已知條件中有頂點坐標或對稱軸或最值,可選用y=a(x-h)2+k來求解;若三個條件中已知拋物線與x軸兩交點坐標,則一般設解析式為y=a(x-x1)(x-x2)。 練習1：求滿足下列條件的二次函數(shù)的解析式： （1）經過A（-1，0），B（2，0），C（4，-10）三點； （2）頂點坐標為（2，1），且經過點（1，2）； （3）經過點A（0，1），B（1，3）,且沿x軸右移2個單位后經過點（1，1）。 練習2、 已知二次函數(shù)， （1）試判斷此函數(shù)的圖象與x軸有無交點，并加以證明； （2）當函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離為

27、時，求二次函數(shù)的解析式。 四、歸納小結、布置作業(yè) 小結： 利用待定系數(shù)法的前提是已知表達式的大體形式，只有幾個未知的參數(shù)需要待定。在二次函數(shù)利用待定系數(shù)法求解時，一般地,已知三個條件是拋物線上任意三點(或任意3對x,y的值)可設表達式為y=ax2+bx+c,組成三元一次方程組來求解;如果三個已知條件中有頂點坐標或對稱軸或最值,可選用y=a(x-h)2+k來求解;若三個條件中已知拋物線與x軸兩交點坐標,則一般設解析式為y=a(x-x1)(x-x2)。 課后作業(yè)：課本P13，練習1，2 課本P15，第7，第8 課本P15，第9，第10 21