2019高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)2 四種命題 四種命題間的相互關(guān)系 新人教A版選修2-1

課時(shí)分層作業(yè)(二) 四種命題 四種命題間的相互關(guān)系 (建議用時(shí)：40 分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．命題“若 x，y 都是偶數(shù)，則 x＋y 也是偶數(shù)”的逆否命題是( ) A．若 x＋y 是偶數(shù)，則 x 與 y 不都是偶數(shù) B．若 x＋y 是偶數(shù)，則 x 與 y 都不是偶數(shù) C．若 x＋y 不是偶數(shù)，則 x 與 y 不都是偶數(shù) D．若 x＋y 不是偶數(shù)，則 x 與 y 都不是偶數(shù) C [若命題為“若 p，則 q”，命題的逆否命題為“若非 q，則非 p”，所以原命題的逆 否命題是“若 x＋y 不是偶數(shù)，則 x 與 y 不都是偶數(shù)”．故選 C．] 2．命題“已知 a，b 都是實(shí)數(shù)，若 a＋b＞0，則 a，b 不全為 0”的逆命題、否命題與逆 否命題中，假命題的個(gè)數(shù)是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 C [逆命題“已知 a，b 都是實(shí)數(shù)，若 a，b 不全為 0，則 a＋b＞0”為假命題，其否命 題與逆命題等價(jià)，所以否命題為假命題．逆否命題“已知 a，b 都是實(shí)數(shù)，若 a，b 全為 0， 則 a＋b≤0”為真命題，故選 C．] 3．已知命題“若 ab≤0，則 a≤0 或 b≤0”，則下列結(jié)論正確的是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342012】 A．原命題為真命題，否命題：“若 ab＞0，則 a＞0 或 b＞0” B．原命題為真命題，否命題：“若 ab＞0，則 a＞0 且 b＞0” C．原命題為假命題，否命題：“若 ab＞0，則 a＞0 或 b＞0” D．原命題為假命題，否命題：“若 ab＞0，則 a＞0 且 b＞0” B [逆否命題“若 a＞0 且 b＞0，則 ab＞0”，顯然為真命題，又原命題與逆否命題等 價(jià)，故原命題為真命題．否命題為“若 ab＞0，則 a＞0 且 b＞0”，故選 B.] 4．命題“若函數(shù) f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則 loga2＜0”的逆 否命題是( ) A．若 loga2≥0，則函數(shù) f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù) B．若 loga2＜0，則函數(shù) f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù) C．若 loga2≥0，則函數(shù) f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定義域內(nèi)是增函數(shù) D．若 loga2＜0，則函數(shù) f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定義域內(nèi)是增函數(shù) A [命題“若 p，則 q”的逆否命題為“若﹁q，則﹁p”．“f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)” 的否定是“ f(x)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)”，不能誤認(rèn)為是“ f(x)在其定義域內(nèi)是增函 數(shù)”．] 1 5．某食品的廣告詞為“幸福的人們都擁有”，這句話(huà)的等價(jià)命題是( ) A．不擁有的人們會(huì)幸福 B．幸福的人們不都擁有 C．擁有的人們不幸福 D．不擁有的人們不幸福 D [“幸福的人們都擁有”我們可將其化為：如果人是幸福的，則這個(gè)人擁有某種食品， 它的逆否命題為：如果這個(gè)人沒(méi)有擁有某種食品，則這個(gè)人是不幸福的，即“不擁有的人們 就不幸福”，故選 D.] 二、填空題 6．命題“若 x2<4，則－2<x<2”的逆否命題為_(kāi)_______． 若 x≤－2 或 x≥2，則 x2≥4 [命題“若 x2<4，則－2<x<2 的逆否命題為“若 x≤－2， 或 x≥2，則 x2≥4”．] 7．已知命題“若 m－1<x<m＋1，則 1<x<2”的逆命題為真命題，則 m 的取值范圍是 ________． [1,2] [逆命題為“若 1<x<2，則 m－1<x<m＋1”， ìïm－1≤1 則í î ïm＋1≥2  ，解得 1≤m≤2.] 8．命題“若 x≠1，則 x2－1≠0 是________命題(填“真、假”). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342013】 假命題 [命題的條件和結(jié)論都是否定形式，可以化為判斷其逆否命題的真假，其逆否 命題為“若 x2－1＝0，則 x＝1”，因?yàn)?#160;x2－1＝0 時(shí)，x＝±1，所以該命題為假命題，從而 原命題是假命題．] 三、解答題 9．寫(xiě)出命題“若 x2－3x＋2≠0，則 x≠1 且 x≠2”的逆命題、否命題、逆否命題，并 判斷它們的真假． [解] ∵原命題是“若 x2－3x＋2≠0，則 x≠1 且 x≠2”， ∴它的逆命題是：若 x≠1 且 x≠2，則 x2－3x＋2≠0，是真命題； 否命題是：若 x2－3x＋2＝0，則 x＝1 或 x＝2，是真命題； 逆否命題是：若 x＝1 或 x＝2，則 x2－3x＋2＝0，是真命題． 10．證明：若 a2－b2＋2a－4b－3≠0，則 a－b≠1. [證明] 若 a－b＝1，則 a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝(a－b) －1＝0 成立， ∴根據(jù)逆否命題的等價(jià)性可知： 若 a2－b2＋2a－4b－3≠0，則 a－b≠1 成立． 2 [能力提升練] 1．對(duì)于原命題“單調(diào)函數(shù)不是周期函數(shù)”，下列陳述正確的是( ) A．逆命題為“周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)” B．否命題為“單調(diào)函數(shù)是周期函數(shù)” C．逆否命題為“周期函數(shù)是單調(diào)函數(shù)” D．以上三者都不正確 D [原命題的逆命題是“非周期函數(shù)是單調(diào)函數(shù)”，故 A 不正確；原命題的否命題是 “非單調(diào)函數(shù)是周期函數(shù)”，故 B 不正確；原命題的逆否命題是“周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)”， 故 C 不正確．] 2．若命題“若 x<m－1 或 x>m＋1，則 x2－2x－3>0”的逆命題為真、逆否命題為假，則 實(shí)數(shù) m 的取值范圍是( ) A．(－1,2) C．[－1,1) D [由已知，易得{x|x2－2x－ B．(0,2] D．[0,2] x|x<m－1 或 x>m＋1}．又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x< ìï－1≤m－1 －1 或 x>3}，∴í î ïm＋1<3 ìï－1<m－1 或í î ïm＋1≤3  ，∴0≤m≤2.] 3．已知原命題“菱形的對(duì)角線互相垂直”，則它的逆命題、否命題和逆否命題中真命 題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 1 [易判斷原命題為真命題，故其逆否命題也是真命題．逆命題：若一個(gè)四邊形對(duì)角線 互相垂直，則該四邊形為菱形，為假命題．故原命題的否命題也是假命題．] 4．下列命題中為假命題的是________(填序號(hào))． ①“若 k>0，則關(guān)于 x 的方程 x2＋2x＋k＝0 有實(shí)根”的否命題； ②“若向量 a，b 滿(mǎn)足 a·b＝0，則 a＝0 或 b＝0”的逆命題； ③“梯形不是平行四邊形”的逆否命題． ① [對(duì)于①，“若 k>0，則關(guān)于 x 的方程 x2＋2x＋k＝0 有實(shí)根”的否命題為“若 k≤0， 則關(guān)于 x 的方程 x2＋2x＋k＝0 無(wú)實(shí)根”，當(dāng) k≤0 時(shí)，Δ＝4－4k>0.所以方程有實(shí)根，所以 ①為假命題．對(duì)于②，“若向量a，b 滿(mǎn)足 a·b＝0，則 a＝0 或 b＝0”的逆命題是“若 a＝ 0 或 b＝0，則 a·b＝0”，所以②是真命題．對(duì)于③，“梯形不是平行四邊形”是真命題， 所以其逆否命題也為真命題，所以③為真命題．] 5．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，命題 p：若 a1<a2<a3，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，請(qǐng)寫(xiě)出命 題 p 的逆命題、否命題與逆否命題，并判斷它們的真假. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342014】 [解] 命題 p 的逆命題：已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則 a1<a2<a3； 命題 p 的否命題：已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若 a1≥a2 或 a2≥a3，則數(shù)列{an}不是遞增 3 數(shù)列； 命題 p 的逆否命題：已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列，則 a1≥a2 或 a2≥a3. 設(shè)數(shù)列{an}的公比為 q，若 a1<a2<a3，則有 a1<a1q<a1q2. 當(dāng) a1>0 時(shí)，解得 q>1，此時(shí)數(shù)列{an}是遞增數(shù)列； 當(dāng) a1<0 時(shí)，解得 0<q<1，此時(shí)數(shù)列{an}也是遞增數(shù)列． 反之，若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，顯然有 a1<a2<a3， 所以命題 p 及其逆命題都是真命題． 由于命題 p 的逆否命題與命題 p 是等價(jià)命題，命題 p 的否命題與命題 p 的逆命題也是等 價(jià)命題， 所以命題 p 的逆命題、否命題與逆否命題都是真命題.1.2 充分條件與必要條件 4