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1、第2講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用,高考定位數(shù)列求和主要考查通過分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消等方法求數(shù)列的和，難度中檔偏下；數(shù)列的綜合問題是高考考查的熱點，主要考查數(shù)列與其他知識的交匯問題.,(2018浙江卷)已知等比數(shù)列an的公比q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中項.數(shù)列bn滿足b11，數(shù)列(bn1bn)an的前n項和為2n2n.(1)求q的值；(2)求數(shù)列bn的通項公式.,解(1)由a42是a3，a5的等差中項得a3a52a44，所以a3a4a53a4428，解得a48.,真題感悟,因為q1，所以q2.,(2)設(shè)cn(bn1bn)an，數(shù)列cn前n項和為Sn.,bnb1(bnbn1
2、)(bn1bn2)(b3b2)(b2b1),1.數(shù)列求和常用方法,(1)分組轉(zhuǎn)化求和：把數(shù)列的每一項拆成兩項(或多項)，再重新組合成兩個(或多個)簡單的數(shù)列，最后分別求和.(2)錯位相減法：適用于各項由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積組成的數(shù)列.把Sna1a2an兩邊同乘以相應(yīng)等比數(shù)列的公比q，得到qSna1qa2qanq，兩式錯位相減即可求出Sn.,考點整合,2.數(shù)列中的不等式問題主要有證明數(shù)列不等式、比較大小或恒成立問題，解決方法如下：(1)利用數(shù)列(或函數(shù))的單調(diào)性；(2)放縮法：先求和后放縮；先放縮后求和，包括放縮后成等差(或等比)數(shù)列再求和，或者放縮后成等差比數(shù)列再求和，或者放
3、縮后裂項相消法求和；(3)數(shù)學歸納法.3.數(shù)列與不等式的綜合問題主要題型為：證明不等式，或不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為最值問題是其主要思路，而求最值常用方法為：作差比較，利用數(shù)列單調(diào)性求最值；放縮法求最值.,熱點一數(shù)列的求和問題考法1分組轉(zhuǎn)化求和【例11】(2018天津卷)設(shè)an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn(nN*)；bn是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Tn(nN*).已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整數(shù)n的值.,解(1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q(q0).由b11，b3b22，可得q2q20.因為q0，可得q
4、2，故bn2n1.,設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由b4a3a5，可得a13d4.由b5a42a6，可得3a113d16，從而a11，d1，故ann.,(2)由(1)，有,整理得n23n40，解得n1(舍)，或n4.所以，n的值為4.,探究提高1.在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意運用轉(zhuǎn)化思想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求和.在利用分組求和法求和時，常常需要對項數(shù)n進行討論，最后再驗證是否可以合并為一個表達式.2.分組求和的策略：(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組；(2)根據(jù)正號、負號分組.,又an為正數(shù)，所以a12.,(Sn3)(Snn2n)0，則Snn2n或Sn3，又數(shù)列an的各項均
5、為正數(shù)，所以Snn2n，Sn1(n1)2(n1)，所以當n2時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.又a1221，所以an2n.,考法3錯位相減法求和【例13】(2018杭州調(diào)研)已知等差數(shù)列an滿足：an1an(nN*)，a11，該數(shù)列的前三項分別加上1，1，3后成等比數(shù)列，且an2log2bn1.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項和Tn.,解(1)設(shè)d為等差數(shù)列an的公差，且d0，由a11，a21d，a312d，分別加上1，1，3成等比數(shù)列，得(2d)22(42d)，因為d0，所以d2，所以an1(n1)22n1，又因為an12log2bn，,探究提高(
6、1)所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減.要注意的是相減后得到的部分，在求等比數(shù)列的和時，一定要查清其項數(shù).(2)為保證結(jié)果正確，可對得到的和取n1，2進行驗證.,【訓練11】(2018北京卷)設(shè)an是等差數(shù)列，且a1ln2，a2a35ln2.,(1)求an的通項公式；(2)求ea1ea2ean.解(1)設(shè)an的公差為d.因為a2a35ln2，所以2a13d5ln2.又a1ln2，所以dln2.所以ana1(n1)dnln2.,所以ean是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.,【訓練12】已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn(nN*)，bn是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a
7、1，S1111b4.,(1)求an和bn的通項公式；(2)求數(shù)列a2nbn的前n項和(nN*).解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q(q0)，由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60，又因為q0，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18，由S1111b4，可得a15d16，聯(lián)立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以an的通項公式為an3n2，bn的通項公式為bn2n.,(2)設(shè)數(shù)列a2nbn的前n項和為Tn，由a2n6n2，bn2n，有Tn4210221623(6n2)2n，2Tn42210231624(6n8)2n(6n2)
8、2n1，上述兩式相減，得Tn4262262362n(6n2)2n1，,所以Tn(3n4)2n216.所以數(shù)列a2nbn的前n項和為(3n4)2n216.,又由a12，得公比q2(q2舍去)，所以數(shù)列an的通項為an2n(nN*).,故數(shù)列bn的通項為bnn(n1)(nN*).,因為c10，c20，c30，c40；,所以，當n5時，cn<0.綜上，對任意nN*，恒有S4Sn，故k4.,探究提高以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題，多與數(shù)列求和相聯(lián)系，最后利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.,【訓練2】已知xn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1x23，x3x22.,(1)求數(shù)列xn的通項公式；(2)如圖，
9、在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1，1)，P2(x2，2)，，Pn1(xn1，n1)得到折線P1P2Pn1，求由該折線與直線y0，xx1，xxn1所圍成的區(qū)域的面積Tn.,解(1)設(shè)數(shù)列xn的公比為q，,所以3q25q20，由已知q0，所以q2，x11.因此數(shù)列xn的通項公式為xn2n1.,(2)過P1，P2，，Pn1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn，,所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1.得Tn321(2222n1)(2n1)2n1,1.錯位相減法的關(guān)注點,(1)適用題型：等差數(shù)列an乘以等比數(shù)列bn對應(yīng)項得到的數(shù)列anbn的求和.(2)步驟：求和時先乘以數(shù)列bn的公比.把兩個和的形式錯位相減.整理結(jié)果形式.,3.數(shù)列與不等式綜合問題,(1)如果是證明不等式，常轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的最值問題，同時要注意比較法、放縮法、基本不等式的應(yīng)用；(2)如果是解不等式，注意因式分解的應(yīng)用.,
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