2012年高考數(shù)學(xué) 考前金題100例

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1、 金題100例 1．若復(fù)數(shù)（，i是虛數(shù)單位），且是純虛數(shù)，則=（C） A． B． C． D．40 2．給出30個(gè)數(shù)：1,2,4,7,……其規(guī)律是（D） 第1個(gè)數(shù)是1； 第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大1； 第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大2； 第4個(gè)數(shù)比第3個(gè)數(shù)大3；…… 以此類推，要計(jì)算這30個(gè)數(shù)的和，現(xiàn)已給出了該問題的程序框圖如圖所示，那么框圖中判斷框①處和執(zhí)行框②處應(yīng)分別填入（D） A．； B．； C．； D．； 3．已知函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)取極大值，在內(nèi)取極小值，則的取值范圍是（B） A． B． C． D． 4．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，尺寸如圖所示，（單位：

2、cm），則這個(gè)幾何體的體積是（C） A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 5．從數(shù)字0,1,2,3,4,5中任取三個(gè)不同的數(shù)作為二次函數(shù)的系數(shù)，則與軸有公共點(diǎn)的二次函數(shù)的概率是（A） A． B． C． D． 6．已知向量，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（A） A． B． C． D． 7．設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面. 給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則其中正確命題的序號是（D） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 8．由雙曲線上的一點(diǎn)P，與左右兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成，則的內(nèi)

3、切圓與軸切點(diǎn)N的坐標(biāo)為（A） A．或 B． C． D．或 9．關(guān)于的函數(shù)有以下命題： ①；②；③都不是偶函數(shù)；④，使是奇函數(shù)，其中假命題的序號是（A） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 10．已知，則之間的大小關(guān)系為（C） A． B． C． D． 11．若圓與圓關(guān)于直線對稱，過點(diǎn)的圓P與軸相切，則圓心P的軌跡方程為（C） A． B． C． D． 12．已知和都是定義在上的函數(shù)，對任意的，存在常數(shù)，使得，且，則在上的最大值為（C） A． B． C．5 D． 13．已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)

4、數(shù)的值為（A） A． B．－2 C．或－2 D．或 14．若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可以是（C） A． B． C． D． 15．已知命題“”，若該命題為真，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A） A． B． C． D． 16．函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（C） A．方程=0在區(qū)間(1,4)上有實(shí)數(shù)根 B． C． D． 17．如果命題“（或）”是假命題，則下列命題中正確的是（B） A．均為真命題 B．中至少有一個(gè)為真命題 C．均為假命題 D．中至多有一個(gè)為真命題 18．橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為則點(diǎn)（A）

5、 A．必在圓內(nèi) B．必在圓上 C．必在圓外 D．以上三種情況都有可能 19．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，且每一項(xiàng)都是正數(shù)，若是的兩個(gè)根，則的值為（B） A． B． C． D． 20．將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等比數(shù)列的概率為（C） A． B． C． D． 21．若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（C） A． B． C． D． 22．如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動員每場比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是（C） A．62 B．63 C．64 D．65 23．在中，已知，且，若的面積為，則的對邊等于（

6、D） A． B． C． D． 24．根據(jù)下面的列聯(lián)表 嗜酒 不嗜酒 總計(jì) 患肝病 7775 42 7817 未患肝病 2099 49 2148 總計(jì) 9874 91 9965 得到如下幾個(gè)判斷：①有99.9%的把握認(rèn)為患肝病與嗜酒有關(guān)；②有99%的把握認(rèn)為患肝病與嗜酒有關(guān)；③認(rèn)為患肝病與嗜酒有關(guān)的可能為1%；④認(rèn)為患肝病與嗜酒有關(guān)出錯(cuò)的可能為10%，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（C） A．0 B．1 C．2 D．3 25．已知點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則

7、該雙曲線的離心率的取值范圍是（B） A． B．(1,2) C． D． 26．自圓外一點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則（C） A． B． C． D． 27．已知，猜想的表達(dá)式為（B） A． B． C． D． 28．在如圖所示的程序框圖中，當(dāng)輸出的的值最大時(shí)，的值等于（C） A．6 B．7 C．6或7 D．8 29．如圖，三棱錐P—ABC的高PO=8，AC=BC=3，分別在BC和PO上，且，則下面四個(gè)圖象中大致描繪了三棱錐N—AMC的體積V與變化關(guān)系的是（A） 30．如果點(diǎn)P到點(diǎn)及到直線的距離都相等，那么滿足該條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是

8、（B） A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè) 31．曲線在處的切線方程是. 32．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為. 33．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的一些性質(zhì)： ①各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的兩條棱的夾角相等；②各下面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成二面角相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任何兩條棱夾角相等，你認(rèn)為比較合適的是③. 34．已知是實(shí)數(shù)且滿足，則=0. 35．在R上的可導(dǎo)函數(shù)滿足：，則①；②不可能是奇函數(shù)；③函數(shù)在R上為增函數(shù)；④存在區(qū)間，對任意，都有成立. 其中正確命題的序號為（

9、將所有正確命題的序號都填上）②③. 36．設(shè)分別是方程和的根，若，則的值等于0. 37．在中，G是的重心，且，其中分別是、、的對邊，則. 38．觀察下列等式： ;…，根據(jù)這些等式反映的結(jié)果，可以得到一個(gè)關(guān)于自然數(shù)的等式，這個(gè)等式可以表示為. 39．在斜坐標(biāo)系中，分別是軸，軸的單位向量，對于坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，如果，則叫做點(diǎn)的斜坐標(biāo). （1）已知點(diǎn)的斜坐標(biāo)為，則. （2）在此坐標(biāo)平面內(nèi)，以O(shè)為原點(diǎn)，半徑為1的圓的方程是. 40．一個(gè)長方形的各頂點(diǎn)均在同一球的表面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長為2,2,3，則此球的表面積為. 41．給出下列命題：①函數(shù)與函數(shù)的定義域相同；②函數(shù)與函數(shù)的值

10、域相同；③使函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)的取值范圍是. 其中錯(cuò)誤命題的序號是②③. 42．已知向量，若，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為. 43．在Rt中，兩直角邊分別為，設(shè)為斜邊長的高，則，由此類比：三棱錐中的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，且長度分別為，設(shè)棱錐底面ABC上的高為則. 44．下列三個(gè)命題， ①“”是“函數(shù)的最小正周期為”的充要條件； ②“”是“直線與直線相互垂直”的充要條件； ③函數(shù)的最小值為2. 其中假命題的為①②③.（將你認(rèn)為是假命題的序號都填上） 45．已知函數(shù)，其中為常數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求的值； （2）當(dāng)使恒成立時(shí)的最小值. 解析：（1）∵，∴由得，即此時(shí) （

11、2）已知函數(shù)化為 在上，恒成立，即恒成立. 而，所以只需，即恒成立. 故只需成立即可. 所以使在上恒成立時(shí)的最小值為2. 46．中，分別是角A，B，C的對邊，向量 （1）求解B的大??； （2）若，求的值. 解析：（1）∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，∴或 （2）∵，∴此時(shí)， 由余弦定理得： ∴， ∴或 47．在中，設(shè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，向量，若 （1）求角的大小； （2）若且，求的面積. 解析：（1） ∴，∴ ∵A為三角形的內(nèi)角，∴ （2）由余弦定理知：即 ，解得， ∴，∴ 48．已知向量，令，且的周期. （1）求的值；

12、（2）寫出在上的單調(diào)遞增區(qū)間. 解析：（1） ∵的周期為，∴，∴， ∴ （2）， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， 即而， 故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為 49．已知集合 （1）函數(shù)的最小值為3，求的值； （2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解析：（1）因?yàn)? 由，可得 所以，則有，因?yàn)楹瘮?shù) 的最小值為3， 所以，解得 （2）因?yàn)樵谏虾愠闪⒂梢阎傻?，得，故的取值范圍? 50．向量，函數(shù)，若圖象上相鄰兩個(gè)對稱軸間的距離為，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為0. （1）求函數(shù)的表達(dá)式； （2）在中，若，且，求的值. 解析：（1） 依題意，的周期，且，∴，∴. ∵ ∴

13、，∴，∴ ∴的最小值為，即，∴ ∴ （2）∵，∴， 又∵，∴，在中， ∵， ∴ 解得 又∵，∴ 51．如圖，已知在三棱錐A—BPC中，為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，且為正三角形. （1）求證：DM//平面APC； （2）求證：平面平面APC； （3）若BC=4，AB=20，求三棱錐D—BCM的體積. 解析：證明：（1）∵為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，∴ 又∵平面APC，平面APC，∴平面APC。 （2）∵為正三角形，D為PB中點(diǎn)，∴， ∵，∴又∵， ∴平面PBC，∵平面，∴， 又∵平面ABC，∴平面平面APC。 （3）∵平面PBC，∴為三棱錐的高。 ∵，∴平面

14、， ∴為三棱錐的高， ∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，∴， ∴，∵， ∴ ∵ ∴， ∴，∴ 即 52．已知關(guān)于的一元二次函數(shù) 設(shè)集合和，分別從集合P和Q中任取一個(gè)數(shù)作為和，求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率. 解析：函數(shù)的圖象對稱軸為，要使函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)為增函數(shù)，若，則；若，則；若，則；若，則；若，則； ∴事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是， ∴所求事件的概率為 53．（1）在區(qū)間上隨機(jī)取出兩個(gè)整數(shù)，求關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率； （2）在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，求關(guān)于的一元二次方程的實(shí)數(shù)根的概率. 解析：∵方程有實(shí)數(shù)根，∴ （1）由于且是整數(shù)，因此

15、，的可能取值共有25組. 又滿足的分別為共6組，因此有實(shí)數(shù)根的概率為 （2）如圖由于對應(yīng)的區(qū)域面積為16， 而不等式組表示為陰影部分區(qū)域，面積為2. 因此有實(shí)數(shù)根的概率為 54．已知集合 ，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)，試計(jì)算： （1）點(diǎn)A正好在第三象限的概率； （2）點(diǎn)A不在軸上的概率； （3）點(diǎn)A正好落在區(qū)域上的概率. 解析：由集合可得，由可得，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)，，所以滿足條件的A點(diǎn)共有個(gè)， （1）正好在第三象限點(diǎn)有，故點(diǎn)A正好在第三象限的概率 （2）在軸上的點(diǎn)有，故點(diǎn)A不在軸上的概率 （3）正好落在上的點(diǎn)有故A落在上的概率為 55．A是滿足不等式組的區(qū)域，B是滿足

16、不等式組的區(qū)域，區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （1）當(dāng)時(shí)，求的概率； （2）當(dāng)時(shí)，求的概率. 解析：畫出不等式組表示的可行域如圖所示，其中.區(qū)域B為圖中陰影部分. （1）當(dāng)時(shí)，事件“”的概率為 （2）當(dāng)時(shí)，A中含整點(diǎn)個(gè)數(shù)中含整點(diǎn)個(gè)數(shù)從而事件“”的概率為，即：當(dāng)時(shí)，的概率為；當(dāng)時(shí)，的概率為 56．有朋自遠(yuǎn)方來，他乘飛機(jī)、火車、汽車、輪船來的概率分別為0.4,0.3,0.2,0.1. （1）求他乘飛機(jī)或火車來的概率； （2）求他不乘汽車來的概率. 解析：記“他乘飛機(jī)來”為事件A，“他乘火車來”為事件B，“他乘汽車來”為事件C，“他乘輪船來”為事件D. 由于事件A、B、C、D不可能兩兩同

17、時(shí)發(fā)生，因此它們彼此互斥. 依題意，有 （1）記“他乘飛機(jī)或火車來”為事件E，則 由于事件A與事件B互斥，所以即他乘飛機(jī)或火車來的概率為0.7. （2）記“他不乘汽車來”為事件F，則事件C與事件F是對立事件，所以 即他不乘汽車來的概率為0.8. 57．如圖，面，E、F分別是AC、AD上的動點(diǎn)，且 （1）求證：面面； （2）當(dāng)為何值時(shí)，面 解析：（1）證明：∵面BCD，∴，又，且，得面ABC，由得∴面ABC， 又面BEF，故面面ABC. （2）由面ABC可得∴ 若面面ACD，則面ACD，∴ 由，且，得， 又得：， 在中，，由 此時(shí)故當(dāng)時(shí)，面面ACD. 58．如圖

18、，已知直四棱柱的底面是菱形，分別是棱與上的點(diǎn)，且為AE的中點(diǎn). （1）求證：平面ABCD； （2）求證：平面平面 證明：（1）如圖，連結(jié)BD交AC于O，連接GO，因?yàn)镚為AE中點(diǎn)，所以O(shè)GEC. 因?yàn)锽F=2EC，所以BFEC，所以O(shè)GBF，所以MOBF是平行四邊形，所以GF//OB；因?yàn)镺B平面ABCD，GF平面ABCD，所以GF//平面ABCD； （2）在直四棱柱中，，又因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以，得平面AA1CC1，因?yàn)镚F//OB，所以平面AA1CC1， 又平面AEF，所以AEF平面AA1CC1. 59．如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，是線段E

19、F的中點(diǎn). （1）求證：AM//平面BDE； （2）求證：AM平面BDF. 解析：（1）連結(jié)BD,AC,BDAC=O，連結(jié)EO， ∵O ,M為中點(diǎn)，且四邊形ACEF為矩形，所以EM//OA，EM=OA， ∴四邊形EOAM為平行四邊形，∴AM//EO. ∵平面BDE，平面BDE，∴AM//平面BDE. （2）連結(jié)OF,AC=2,,AO=AF=1，四邊形OAFM為正方形,, ① 又，面面ACEF，則平面ACEF，平面ACEF，，② 由①②知平面BDF. 60．如圖四邊形ABCD為矩形，平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且平面ACE. （1）求證：； （2）求

20、三棱錐D—AEC的體積； （3）設(shè)M在線段AB上，且滿足AM=2MB，試在線段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN//平面DAE. 解析：（1）∵，， ∴，則. 又，則， ∴，又，∴ （2）； （3）在三角形ABE中過M點(diǎn)作MG∥AE交BE于G點(diǎn),在三角形BEC中過G點(diǎn)作GN∥BC交EC于N點(diǎn),連MN,則由比例關(guān)系易得CN＝. MG∥AE，MG平面ADE, AE平面ADE, MG∥平面ADE 同理, GN∥平面ADE. 平面MGN∥平面ADE 又MN平面MGN， MN∥平面ADE N點(diǎn)為線段CE上

21、靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn). 61．如圖，已知在棱柱的底面是菱形，且面ABCD，為棱的中點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn). （1）求證：面ABCD； （2）試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （3）求三棱錐的體積. 解析：（1）連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)O，再連結(jié)MO， ∴且， 又∵， ∴OM//AF且OM=AF，∴四邊形MOAF是平行四邊形， ∴MF//OA. 又∵面ABCD，∴MF//面ABCD. （2）平面BDD1B1，∵底面ABCD是菱形，∴ 又∵面ABCD，平面，∵M(jìn)F//AC，∴平面 （3）過點(diǎn)B作于H，∵平面ABCD，BH平面ABCD，∴，∴平面 在R t中，∴

22、 . 62．在數(shù)列中，（為常數(shù)，），且成公比不為1的等比數(shù)列. （1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）求的值； （3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為 解析：（1）∵，且，顯然 ∴，又為常數(shù)，∴數(shù)列是等差數(shù)列。 （2）由（1）知，，∴， ，又∵成等比數(shù)列， ∴，解得 當(dāng)時(shí)，，不合題意， ∴ （3）由（2）知，∴， ∵ ∴ 63．?dāng)?shù)列中，，且成等比數(shù)列. （1）求的值； （2）求的通項(xiàng)公式. 解析：（1），因?yàn)槌傻缺葦?shù)列， 所以，解得或， ∵，∴ （2）當(dāng)時(shí)，由 得， 各式相加成， 又，故 當(dāng)時(shí)，上式也成立， 所以 64．已知數(shù)列中，，前項(xiàng)的和為，對任意自

23、然數(shù)是與的等差中項(xiàng). （1）求通項(xiàng)； （2）求 解析：（1）由已知得，當(dāng)時(shí)，，① 又，②得， 上兩式相減得，∴， ∴成等比數(shù)列，其中，即 ∴當(dāng)時(shí)，， 即 （2）由（1）知時(shí)，，即 當(dāng)時(shí)， 又時(shí)，亦適合上式. ∴ 65．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng). （1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)數(shù)列對任意的均有成立，求數(shù)列的前項(xiàng)和 解析：（1）由題意得：， 解得或（舍去）. ∵，∴ ∵是等比數(shù)列，且， ，∴公比，∴故 （2）∵， ∴當(dāng)時(shí)，兩式相減得： ，∴ 又當(dāng)時(shí)，不適合上式， ∴ .當(dāng)時(shí)，

24、 又當(dāng)時(shí)，適合上式. ∴ 66．已知函數(shù)滿足且對定義域中任意都成立. （1）求函數(shù)的解析式； （2）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足求證：數(shù)列是等差數(shù)列. 解析：（1）由，得，若，則，不合題意，故，∴ 由，得，① 由對定義域中任意都成立，得，由此解得，② 把②代入①，可得， ∴ （2）證明：∵ ∴，∴； 當(dāng)時(shí)，， ∴，得， ∴， ∴，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列. 67．已知之間滿足 （1）方程表示的曲線經(jīng)過一點(diǎn)，求的值； （2）在（1）的條件下，以此軌跡的上頂點(diǎn)B為頂點(diǎn)作其內(nèi)接等腰直角三角形ABC，存在嗎？若存在，有幾個(gè)；若不存在，請說明理由. 解析：（1），∴

25、 （2）由（1）知，軌跡為橢圓；假設(shè)存在滿足題設(shè)的等腰直角三角形ABC，且.根據(jù)題意，直角邊BA、BC不可能垂直或平行于軸，故可設(shè)BA所在直線為，則BC所在的直線方程為， 由得 ； 類比，用代替，得；由于，使；因?yàn)椋凰裕?，故存在三個(gè)滿足題意的等腰直角三角形. 68．在平面直角坐標(biāo)系中，若，且 （1）求動點(diǎn)的軌跡的方程； （2）過點(diǎn)(0,3)作直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線，使得四邊形OAPB為矩形？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由. 解析：（1）因?yàn)?，? 所以動點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為3. 所以軌跡C是，為焦點(diǎn)的橢圓，方程為 （2）因?yàn)橹本€

26、過點(diǎn)(0,3)，若直線是軸，則A、B是橢圓的頂點(diǎn). ，所以O(shè)與P重合，與四邊形是矩形矛盾. 若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 由 由于恒成立. 所以 因?yàn)?，所以O(shè)APB是平行四邊形. 若存在直線使得四邊形OAPB為矩形，則，即， 所以 所以 即， 故存在直線，使得四邊形OAPB為矩形. 69．已知橢圓，離心率，右焦點(diǎn)F到上頂點(diǎn)距離為，點(diǎn)是線段OF上的一個(gè)動點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）是否存在過點(diǎn)F且與軸不垂直的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得，并說明理由. 解析：（1）由題意知 解得， ∴橢圓的方程為 （2）由（1）得，所以，假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)的

27、方程為代入，得 設(shè)，則，① ∴ ∴ ∵，而的方向向量為， ∴； ∴當(dāng)時(shí)，，即存在這樣的直線； 當(dāng)時(shí)，不存在，即不存在這樣的直線. 70．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過兩點(diǎn)，若圓的圓心C與橢圓的右焦點(diǎn)重合，圓的半徑恰等于橢圓的短半軸長，已知點(diǎn)為圓C上一點(diǎn). （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍. 解析：（1）設(shè)橢圓的方程，依題意可得 ，由①與②可得 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 所以橢圓的右焦點(diǎn)為，短半軸長為1. 所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （2）由（1）得圓心，所以，而，則， 而，則 所以， 而，則，即，即， 因此，從而的取值范圍

28、為 71．已知橢圓的離心率為，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，過F點(diǎn)作直線交橢圓于MN兩點(diǎn)，且定點(diǎn) （1）求證：當(dāng)時(shí)，有； （2）若時(shí)，有，求橢圓的方程； （3）在（2）確定的橢圓C上，當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，求直線MN方程. 解析：（1）設(shè)， 則 當(dāng)時(shí)，，∴ ∵兩點(diǎn)在橢圓上，∴ ∴，∴，由題意得， ∴，∴，∴ （2）當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)， ∴，又， ∴，∴ ∴，∴， ∴或（舍）。 ∴橢圓的方程為 （3）由 設(shè)。由，得。 ∴， ∴，， ∴，。 當(dāng)軸時(shí)，（舍） 綜上，直線MN的方程為 即或 72．橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，離心率，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為，直線與軸交于點(diǎn)與橢圓C

29、交于相異兩點(diǎn)A、B，且 （1）求橢圓方程； （2）若，求的取值范圍. 22．解析：（1）設(shè)，設(shè)0， 由條件知，，∴， 故的方程為： （2）由得 ，∴，設(shè)與橢圓交點(diǎn)為 得 . ∵，∴， ∴消去得， ∴整理得， 顯然時(shí)，不成立。 所以，因?yàn)?，∴，∴? ∴或。 容易驗(yàn)證成立，所以成立。即所求的取值范圍為 73．某商店投入81萬元經(jīng)銷某種北京奧運(yùn)會特許紀(jì)念品，經(jīng)銷時(shí)間共60天，市場調(diào)研表明，該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第幾天的利潤 （單位：萬元，）為了獲得更多的利潤，商店將每天獲得利潤投入到次日的經(jīng)營中，記第天的利潤，例如： （1）求的值； （2）求第幾天的利潤率；

30、 （3）該商店的經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，哪一天的利潤最大？并求該日的利潤率. 解析：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， （2）當(dāng)時(shí)， ∴ 當(dāng)時(shí)， ∴第天的利潤率 （3）當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列，此時(shí)的最大值為； 當(dāng)時(shí)，， （當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“=”成立） 又∵ ∴當(dāng)時(shí)， ∴該商店經(jīng)銷此記念品期間，第40天的利潤率最大，且該日利潤為 74．已知函數(shù) （1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值； （2）求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在的圖象的下方. 解析：（1）因?yàn)閱握{(diào)遞增， 所以 （2）設(shè)， 即證明在上恒成立。 ∴在上，∴在單調(diào)遞減， ，∴在恒成立。 75．已知三次函數(shù)在處

31、得極大值，且是奇函數(shù). （1）若函數(shù)的圖象過原點(diǎn)的切線與直線垂直，求的解析式； （2）當(dāng)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解析：（1）∵是奇函數(shù)，∴， ∵，∴ ∴，∵，∴，，∴， ∴，∵在處取得極大值. ∴， ∴又∵直線的斜率為，的圖象過原點(diǎn)的切線與直線垂直. ∴，∴，∴，∴， ∵當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，∴在處取得極大值，符合題意. ∴ （2）由（1）知，令，得或，∵在處得極大值. ∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴ 當(dāng)時(shí)不等式恒成立等價(jià)于，∵在上是減函數(shù)，∴的最小值為，∴，∴，∴綜上所述的取值范圍是 76．設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值. （1）求的值，并判斷是函數(shù)的極大值還是極小值； （2）當(dāng)時(shí)

32、，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍. 解析：（1）由題意，∵當(dāng)時(shí)，取得極值，所以， ∴，∴. 此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 則是函數(shù)的極小值. （2）設(shè)，則， 設(shè)， ，令 解得或 列表如下： ∴函數(shù)在和(3,4)上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，有極大值； 當(dāng)時(shí)，有極小值. ∵函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)， ∴函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn). ∴或， ∴ 77．設(shè)的極小值為－8，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),如圖所示. （1）的解析式； （2）若對都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解析：（1），且的圖象過點(diǎn)， ∴為的兩根，代入得 ∴， 由圖象可知，在區(qū)間時(shí)，恒成立，

33、∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，同理可知，在區(qū)間和上單調(diào)遞減， ∴在時(shí)，取得極小值，即， ∴ 解得，∴ （2）要使對，都有恒成立，只需即可由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且， ∴，則，即， 解得 78．已知函數(shù)的圖象與直線相切于點(diǎn)，且函數(shù)在處取得極值. （1）求的解析式； （2）求的極值； （3）當(dāng)時(shí)，求的最大值. 解析：（1），∵的圖象與直線相切于點(diǎn)， ∴① 又在處取得極值，∴，② 由①、②解得 （2），令得 列表如下： 從而當(dāng)時(shí)，的極大值為2；當(dāng)時(shí)，的極小值為－30. （3）由（2）知是極大值，在內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增，并且可驗(yàn)證，根據(jù)已知條件

34、知，∴當(dāng)時(shí)，的最大值是，當(dāng)時(shí)，的最大值是 79．如圖，三棱柱的三視圖中，正（主）視圖和側(cè)（左）視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，已知點(diǎn)M是的中點(diǎn). （1）求證：平面； （2）求證：面面 證明：（1）法一：由三視圖可知三棱柱為直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且 連結(jié)，設(shè)，連結(jié)MO， ∵，∴，又∵面， 面，∴面 法二：由三視圖可知三棱柱為直三棱柱，側(cè)棱長為2，底面為等腰直角三角形，AC=BC=1. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 ∵M(jìn)為A1B1的中點(diǎn)， ∴ ∵， ∴∴平面， 又∵面，∴平面AC1M. （2）∵，M為A1B1中點(diǎn)，∴， 又∵面

35、面，面面， ∴面，又∵面， ∴面面 80．如圖，為正三角形，平面ABC，BD//CE， 且CE=CA=2BD，M是EA的中點(diǎn)，求證： （1）DE=DA； （2）平面平面ECA； （3）平面平面ECA. 解：（1）如圖，取EC的中點(diǎn)F，連結(jié)DF， ∵，易知，∴ 在和中， ∵， ∴，∴ （2）取CA的中點(diǎn)N，連結(jié)MN、BN，則 ∴，∴N點(diǎn)在平面BDM內(nèi)， ∵平面，∴，又， ∴平面ECA。 ∵在平面PDMN內(nèi)，∴平面BDMN平面 （3）∵平面ECA。 ∴DM平面ECA，又平面DEA。 ∴平面平面 81．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，已知 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2

36、）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求. 解：（1）當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 時(shí)也適合，∴ （2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， = ； 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則淡偶數(shù)， 而， ∴ ∴ 82．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和滿足 （1）證明是等比數(shù)列； （2）若的公比為，數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式； （3）定義數(shù)列為，求的前項(xiàng)和 證明：（1）由，得， 相減得，故，所以是等比數(shù)列。 解：（2）， 所以， 則 （3）， 所以 83．已知某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為13萬元/輛，年銷售量為5000輛. 本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔案，適當(dāng)增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為

37、，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為，年銷售量也相應(yīng)增加.[年利潤=（每輛車的出廠價(jià)－每輛車的投入成本）×年銷售量] （1）若年銷售量增加的比例為，為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ （2）若年銷售量關(guān)于的函數(shù)為，則當(dāng)為何值時(shí)，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？ 解：（1）由題意得上年度的利潤為萬元， 本年度每輛車的投入成本為， 本年度每輛車的出廠價(jià)為， 本年度年銷售量為， 因此本年度的利潤為： 由， 解得 所以當(dāng)時(shí)，本年度的年利潤比上年度有所增加。 （2）本年度的利潤為： ， 則 由，解得 當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)

38、； 當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)。 所以當(dāng)時(shí)，取極大值萬元。 因?yàn)樯现挥幸粋€(gè)極大值，所以它是最大值。 則當(dāng)為時(shí)，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元。 84．已知橢圓與直線相交于P、Q兩點(diǎn)，且（O為原點(diǎn)）. （1）求的值； （2）若橢圓離心率在上變化時(shí)，求橢圓半長軸的取值范圍. 解：（1）聯(lián)立方程 得. ① 由得 設(shè)P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)為。 因?yàn)椋? 所以 又因?yàn)椋? 所以 ② 由①得 代入②得， 整理得所以 （2）因?yàn)?，所以? 則 ③ 由（1）知， 將③代入得， 因?yàn)椋裕? 所以 因?yàn)? 所以 因?yàn)椋? 所以 85．設(shè)A、B分別是直線和上的兩個(gè)

39、動點(diǎn)，并且，動點(diǎn)P滿足，記動點(diǎn)P的軌跡為C. （1）求軌跡C的方程； （2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為，M，N是曲線C上的兩個(gè)動點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：（1）設(shè)，因?yàn)锳，B分別為直線和上的點(diǎn)， 故可設(shè)A為，B為 因?yàn)椋? 所以 即 又因?yàn)椋? 則 即曲線的軌跡方程為 （2）設(shè)，則由， 可得 故 因?yàn)樵谇€C上，所以 消去得 由題意知，且，解得 又因?yàn)?，所? 解得 故實(shí)數(shù)的取值范圍是 86．在2008年奧運(yùn)會射擊比賽中，某射手射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別為0.81，0.12，0.05，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中： （1）射中10環(huán)或8環(huán)的概率； （2）不夠

40、8環(huán)的概率. 解：（1）設(shè)“射中10環(huán)”為事件A，“射中8環(huán)”為事件B。由于在一次射擊中，A與B不可能同時(shí)發(fā)生，故A與B是互斥事件，于是“射中10環(huán)或8環(huán)”的事件為 故 ∴射中10環(huán)或8環(huán)的概率為0.86. （2）設(shè)“不夠8環(huán)”為事件E，則事件為“射中8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”。 ∴， 從而 ∴不夠8環(huán)的概率為0.02。 87．下表為某班英語及數(shù)學(xué)的成績分布，全班共有學(xué)生50人，成績分為1—5個(gè)檔次，例如，表中所示英語成績?yōu)?分、數(shù)學(xué)成績?yōu)?分的學(xué)生共5人，設(shè)分別表示英語成績和數(shù)學(xué)成績. （1）的概率是多少？且的概率是多少？的概率是多少？在的基礎(chǔ)上，同時(shí)成立的概率是多少？ （

41、2）的概率是多少？的值是多少？ 解：（1）； ； ； （2）； 故，即. 88．已知橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為是此橢圓上的一點(diǎn)，且 （1）求橢圓M的方程. （2）點(diǎn)A是橢圓M短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)大于零，B，C是橢圓M上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn). 若的重心是橢圓M的右焦點(diǎn)，求直線BC的方程. 解：（1）由題意知， 即 ① 而在Rt中， ， ② 由①②得， 所以 因此，所求橢圓M的方程為 （2）由題意，直線BC的斜率存在，設(shè)直線BC的方程為，代入橢圓方程， 可得 若設(shè)， 則由根與系數(shù)的關(guān)系得 ① 因?yàn)榈闹匦臑闄E圓M的右焦點(diǎn)，所以，即

42、 . ② 同理，，即 ③ 由①②③聯(lián)立得 所以直線BC的方程為 89．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且是的等差中項(xiàng). （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若，求使成立的正整數(shù)的最小值. 解：（1）∵， ∴， ∵數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)， ∴，∴， 即，所以數(shù)列是以2為公比的等差數(shù)列. ∵是的等差中項(xiàng)， ∴， ∴，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式. （2）由（1）及， 得， ∵， ∴， ① ∴， ② ②－①得， 要使成立，只需成立， 即. ∴使成立的正整數(shù)的最小值為5. 90．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為是與的等比中項(xiàng). （1）求證：數(shù)列是等差中

43、項(xiàng)； （2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求. 證明：（1）由是與的等比中項(xiàng). 得. 當(dāng)時(shí)，， ∴；當(dāng)時(shí)，， ∴， 即， ∵，∴， 即，∴數(shù)列是等差數(shù)項(xiàng). （2）解：數(shù)列首項(xiàng)，公差，通項(xiàng)公式為：， 則，從而， ① 同邊同乘以，得， ② ①－②得， ∴ 解得 91．某人在塔的正東沿著南偏西的方向前進(jìn)40m后，望見塔在東北，若沿途測得塔的最大仰角為，求塔高（精確到0.1m）. 解：作出示意圖如圖所示，設(shè)B為塔正東方一點(diǎn)，AE為塔，沿南偏西行40m后到C處，即， 且. 在中，， 即， 解得 由點(diǎn)A向BC作垂線AG，此時(shí)仰角最大等于. 在中， 由等面積

44、∴ ∴在中，塔高 故塔高約為4.2m. 92．已知函數(shù)的最小正周期為 （1）求的值； （2）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍. 解：（1） ∵函數(shù)的最小正周期為，且，∴，解得 （2）由（1）得 ∵，∴ ∴ 即在區(qū)間上的取值范圍是 93．已知不共線，，要使能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，則實(shí)數(shù)的取值范圍是. 94．已知向量與為共線向量，且 （1）求的值； （2）求的值. 解：（1）∵與為共線向量，∴， 即. （2）∵， ∴ ∵， ∴ 又∵，∴. 因此， 95．已知實(shí)數(shù)數(shù)列中，，把數(shù)列的各項(xiàng)排成如圖的三角形狀，記為第行從左起第個(gè)數(shù)，則=.

45、 96．已知實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，其中一根在內(nèi)，另一根在(0,1)內(nèi)，則的取值范圍是（A） A． B． C． D． 97．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)B在橢圓上，則. 98．已知圓，是否存在斜率為1的直線，使以圓C被截得的弦AB為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由. 解：將圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程：， 假設(shè)存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標(biāo)為， 由于，∴， ∴，即，得 ① 直線的方程為，即， ∴，∵以AB為直徑的圓M過原點(diǎn)， ∴， ∴， ② 把①代入②得，∴或， 當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線的方程為； 當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線的方程為 故存在這樣的直線，方程為或 99．如圖，已知D、E、F分別是三棱錐S—ABC側(cè)棱SA、SB、SC上的點(diǎn)，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平面DEF截三棱錐S—ABC所得上下兩部分體積的比為（C） A．4：31 B．6：23 C．4：23 D．2：25 100．函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖. 則函數(shù)的圖象可能是 ①. - 37 - 用心 愛心 專心