4.4 第4課時(shí) 黃金分割

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4.4探索三角形相似的條件 第4課時(shí) 黃金分割 教學(xué)目標(biāo) 【知識(shí)與能力】 1.知道黃金分割的定義. 2.會(huì)找一條線段的黃金分割點(diǎn). 3.會(huì)判斷某一點(diǎn)是否為一條線段的黃金分割點(diǎn). 【過(guò)程與方法】 通過(guò)找一條線段的黃金分割點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的理解與動(dòng)手能力. 【情感態(tài)度價(jià)值觀】 理解黃金分割的意義，并能動(dòng)手找到和制作黃金分割點(diǎn)和圖形，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系對(duì)人類歷史發(fā)展的作用. 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 了解黃金分割的意義，并能運(yùn)用. 【教學(xué)難點(diǎn)】 找黃金分割點(diǎn)和畫黃金矩形. 課前準(zhǔn)備 課件. 教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課 ［師］生活中我們見到過(guò)許許多多的圖形，形態(tài)各異，美觀大方.那么這些漂亮的圖形你能畫出來(lái)嗎？比如，右圖是一個(gè)五角星圖案，如何找點(diǎn)C把AB分成兩段AC和BC，使得畫出的圖形勻稱美觀呢？本節(jié)課就研究這個(gè)問(wèn)題. Ⅱ.講授新課 ［師］在五角星圖案中，大家用刻度尺分別度量線段AC、BC的長(zhǎng)度，然后計(jì)算、,它們的值相等嗎？ ［生］相等. ［師］所以. 1.黃金分割的定義 一般地，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果,那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割（golden section）,點(diǎn)C叫作線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫作黃金比.其中≈0.618. 2. 計(jì)算黃金比. 解：由= ，得∴AC2=AB·BC. 設(shè)AB=1,AC=x,則BC=1- x. ∴x2=1×（1－x） ∴x2+ x －1=0 解這個(gè)方程，得 x1=或x2=（不合題意，舍去）， 所以，黃金比=≈0.618。 3.作一條線段的黃金分割點(diǎn). 如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖： （1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）連接DA，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn). ［師］你知道為什么嗎？ 若點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，則點(diǎn)C分線段AB所成的兩條線段AC、BC間須滿足.下面請(qǐng)大家進(jìn)行驗(yàn)證.自己有困難時(shí)可以互相交流.為了計(jì)算方便，可設(shè)AB=1. 證明：∵AB=1,AC=x,BD=AB= ∴AD=x+ 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 （x+）2=12+（）2 ∴x2+x+=1+ ∴x2=1－x ∴x2=1·（1－x） ∴AC2=AB·BC 即： 即點(diǎn)C是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)， 在x2=1－x中 整理，得x2+x－1=0 ∴x= ∵AC為線段長(zhǎng)，只能取正 ∴AC=≈0.618 ∴≈0.618 ∴黃金比約為0.618. 3.想一想 古希臘時(shí)期的巴臺(tái)農(nóng)神廟（Parthenom Temple）.把它的正面放在一個(gè)矩形ABCD中，以矩形ABCD的寬AD為邊在其內(nèi)部作正方形AEFD，那么我們可以驚奇地發(fā)現(xiàn)，,點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)嗎？矩形ABCD的寬與長(zhǎng)的比是黃金比嗎？ ［師］請(qǐng)大家互相交流. ［生］因?yàn)樗倪呅蜛EFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因?yàn)?所以,即,因此點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)，矩形ABCD寬與長(zhǎng)的比是黃金比. ［師］在上面這個(gè)矩形中，寬與長(zhǎng)的比是黃金比，這個(gè)矩形叫作黃金矩形.你學(xué)會(huì)作了嗎？ Ⅲ.課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了：1.黃金分割點(diǎn)的定義及黃金比. 2.如何找一條線段的黃金分割點(diǎn)，以及會(huì)畫黃金矩形. 3.能根據(jù)定義判斷某一點(diǎn)是否為一條線段的黃金分割點(diǎn). Ⅳ.課后作業(yè) 習(xí)題4.8 Ⅴ.活動(dòng)與探究 要配制一種新農(nóng)藥，需要兌水稀釋，兌多少才好呢？太濃太稀都不行.什么比例最合適，要通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定.如果知道稀釋的倍數(shù)在1000和2000之間，那么，可以把1000和2000看作線段的兩個(gè)端點(diǎn)，選擇AB的黃金分割點(diǎn)C作為第一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，C點(diǎn)的數(shù)值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.試驗(yàn)的結(jié)果，如果按1618倍，水兌得過(guò)多，稀釋效果不理想，可以進(jìn)行第二次試驗(yàn).這次的試驗(yàn)點(diǎn)應(yīng)該選AC的黃金分割點(diǎn)D，D的位置是1000+（1618－1000）×0.618，約等于1382，如果D點(diǎn)還不理想，可以按黃金分割的方法繼續(xù)試驗(yàn)下去.如果太濃，可以選DC之間的黃金分割點(diǎn)；如果太稀，可以選AD之間的黃金分割點(diǎn)，用這樣的方法，可以較快地找到合適的濃度數(shù)據(jù). 這種方法叫作“黃金分割法”.用這樣的方法進(jìn)行科學(xué)試驗(yàn)，可以用最少的試驗(yàn)次數(shù)找到最佳的數(shù)據(jù)，既節(jié)省了時(shí)間，也節(jié)約了原材料. ●板書設(shè)計(jì) - 4 -