《平方差公式》教案 (公開課獲獎(jiǎng))教案 2022青島版

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1、 平方差公式 一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 1、教學(xué)內(nèi)容 乘法公式的第一課時(shí)，兩數(shù)的和乘以這兩數(shù)的差，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。（即平方差公 式）。把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式相乘的式子及其結(jié)果寫成公式的形式，就是乘法公式。 本節(jié)學(xué)習(xí)平方差公式。是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。 2、內(nèi)容解析 從多項(xiàng)式乘法到乘法公式是一個(gè)一般到特殊的認(rèn)識過程，從一些特殊形式的多項(xiàng)式乘法 到乘法公式，又是特殊到一般的過程，對平方差公式的學(xué)習(xí)和研究，既為符合公式特征的整 式乘法運(yùn)算帶來簡便；又為后續(xù)學(xué)習(xí)利用公式法分解因式奠定基礎(chǔ)；同時(shí)，平方差公式在“正 與逆”兩方面的靈活運(yùn)用有助于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。為此，它在初中代數(shù)教學(xué)中占有

2、重要 地位。 二、目標(biāo)和目標(biāo)解析 1、目標(biāo) 知識與技能目標(biāo)： （1）掌握平方差公式及其結(jié)構(gòu)特征； （2）理解公式中字母的廣泛含義； （2）會(huì)運(yùn)用此公式進(jìn)行運(yùn)算。 過程與方法目標(biāo)： （1）學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的過程，歸納出平方差公式，從中體會(huì)歸納的思想； （2）通過變式練習(xí)，理解公式中字母的含義，領(lǐng)會(huì)代數(shù)思想，提高觀察、分析和總結(jié)能 力； 情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)： 通過自主學(xué)習(xí)、合作探究、展示交流等環(huán)節(jié)，積累成功的心理體驗(yàn)。 2、目標(biāo)解析 平方差公式的結(jié)構(gòu)，呈現(xiàn)出一種對稱美，其特點(diǎn)還可以通過面積圖得到解釋。 公式中的字母既可以代表一個(gè)數(shù)或字母，又可以代表一個(gè)復(fù)雜的代數(shù)式。

3、并且，這種代 表（實(shí)際是一種代數(shù)思想），還要靠適當(dāng)?shù)淖冃尾拍芸闯鰜?，變式練?xí)在這方面，恰恰能發(fā) 揮積極地作用，因此，設(shè)計(jì)合理的變式練習(xí)，就顯得非常重要。于是，理解公式中字母的廣 泛含義，掌握平方差公式及其結(jié)構(gòu)特征且會(huì)運(yùn)用此公式進(jìn)行計(jì)算是本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)。 在教學(xué)過程中，主要引導(dǎo)學(xué)生開展“獨(dú)立探究與合作性學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合”。堅(jiān)持以“學(xué)生 發(fā)展為本”，引導(dǎo)、學(xué)生鼓勵(lì)學(xué)生對同一個(gè)問題積極尋求不同的思路、依靠他們自己的活動(dòng) 去探索數(shù)學(xué)，以便培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識。 三、教學(xué)問題診斷 “平方差公式”的得出過程，是一個(gè)由特殊到一般的歸納過程，在這個(gè)過程中，學(xué)生對 公式的理解和掌握往往停留在簡單的數(shù)字

4、和字母上，對公式的變形以及靈活應(yīng)用會(huì)有困難或 錯(cuò)誤，所以在重視學(xué)生對過程歸納的同時(shí)也要重視用文字語言正確的表述以及對公式中字母 廣泛含義的理解。使學(xué)生能在理解的基礎(chǔ)上加以記憶，在鞏固的基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用。例如：對 于 （a+b+c）(a+b-c); (a+b-c)(a-b-c); (a+b+c)(a-b-c)的計(jì)算學(xué)生就往往難于領(lǐng)會(huì)到它 的思想和方法。 一般情況，對于平方差公式幾何意義的了解有部分學(xué)生也會(huì)感到困難。 揭示公式的特征和公式的靈活運(yùn)用是本節(jié)的難點(diǎn)。 四、教學(xué)支持條件 學(xué)生有前面多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)知識，所以對于平方差公式的推導(dǎo)以及這個(gè)知識的發(fā)生過 程比較清晰明確，為此

5、可以在學(xué)生自己得出公式之后，層層遞進(jìn)。 對于平方差幾何意義的了解以及問題的提出和學(xué)生各種解答可以借助于多媒體。 五、課堂教學(xué)模式 以小組為核心的任務(wù)型課堂教學(xué)模式 六、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 第一次循環(huán) （一）創(chuàng)設(shè)情境，明確任務(wù) 師：從前有一個(gè)狡猾的地主，他把一塊長為 x 米的正方形的土地租給張老漢種植，有一 天，他對張老漢說：“我把這塊的一邊減少5 米，另一邊增加 5 米，繼續(xù)租給你，你也沒有 吃虧，你看如何？”張老漢一聽覺得沒有吃虧，就答應(yīng)了，回到家中，他把這件事對鄰居講 了，鄰居一聽，說：“張老漢你吃虧了！”，張老漢非常吃驚。同學(xué)們，你能告訴張老漢這 是為什么嗎？ 如圖，張老漢原

6、來的土地面積和現(xiàn)在的土地面積各是多 少？他為什么吃虧了？（借助多媒體演示） 5米  (X+5)米 x  米  (X-5)  米 5米 任務(wù) 1、計(jì)算下列各題,看誰做的又快又準(zhǔn)確: (1)(a+b)(a-b) (2)(x+y)(x-y) (3)(2a+b)(2a-b) (4)(2m+3)(2m-3) 任務(wù) 2、觀察、分析其特征結(jié)構(gòu). ①等式左邊的兩個(gè)多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)？ ②等式右邊的多項(xiàng)式有什么規(guī)律？ 任務(wù) 3、你能用一句話歸納出上述等式的規(guī)律嗎？ 任務(wù) 4、舉兩道例題說明什么情況下可用這一規(guī)律？怎樣用？

7、 （組內(nèi)交叉完成） （設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過自己動(dòng)手，發(fā)現(xiàn)把具有特殊形式的多項(xiàng)式相乘會(huì)有特殊的規(guī)律，同 時(shí)培養(yǎng)他們實(shí)踐、觀察、猜想、歸納、再實(shí)踐的能力。） （二）自主學(xué)習(xí)，合作探究 （活動(dòng)方式：學(xué)生學(xué)習(xí)，教師巡視。在活動(dòng)中教師重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生，能否正確的計(jì)算、分析， 積極的思考討論。對出現(xiàn)的問題讓其展示出來，發(fā)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行評價(jià)，以增強(qiáng)教學(xué)的有效性。） （預(yù)設(shè)的情況：任務(wù) 1 和 2 會(huì)比較快的達(dá)成一致意見，任務(wù) 3 教師需要對一些小組加以引導(dǎo) 和規(guī)范，并要一個(gè)組把其結(jié)果展示在中間黑板上。任務(wù) 4 教師若發(fā)現(xiàn)需要展示的可以用實(shí)物 投影儀。） （三）展示反饋，評價(jià)提升 （任務(wù) 1 和 2 可以

8、讓一個(gè)小組口頭展示，正常情況可以達(dá)成共識，不需再講解。） （教師就學(xué)生展示在黑板上的任務(wù) 3 進(jìn)行總結(jié)。） 師：我們把這個(gè)規(guī)律稱之為“平方差公式”（教師板書課題同時(shí)要求學(xué)生讀出其展示的內(nèi)容） 生：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。 師：能用字母表示嗎？ 生：(a+b)(a-b)=a-b2 2（教師板書在課題下面） 師：在完成任務(wù) 4 的時(shí)候，哪個(gè)組內(nèi)出現(xiàn)了形式不滿足此公式的情況，請實(shí)物展示給大家以 期借鑒。 （設(shè)計(jì)意圖：通過從一般到特殊的認(rèn)識過程，讓學(xué)生自己實(shí)現(xiàn)知識的建構(gòu)，通過歸納得到“平 方差公式”，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法在知識建構(gòu)中的作用，同時(shí)讓學(xué)生大膽猜想，

9、增強(qiáng)學(xué) 生的探究意識。） 第二次循環(huán) （一）應(yīng)用理解，明確任務(wù)（借助投影儀） 任務(wù) 1、按要求填寫下面的表格 算式 (x+y)(x-y) (2x+1)(2x-1)  與平方差公式中 a 與平方差公式中 寫 成 “a2-b2” 的 形 對應(yīng)的項(xiàng) b 對應(yīng)的項(xiàng) 式  計(jì)算結(jié)果 (2a-3b)(2a+3b) 任務(wù) 2、計(jì)算： 1、（2x+y)(2x-y)= 2、(9x+5y)(9x-5y)= 任務(wù) 3、思考:你能計(jì)算嗎？ (1)（-4a-0.1）(-4a+0.1) (2) (2x+y)(y-2x) 上面各式能不能用平方差公

10、式進(jìn)行計(jì)算？如果能的話，每一式可以看作是哪兩式（或數(shù)） 的和與差的積？ 任務(wù) 4、應(yīng)用探究 給（a+b)乘上一個(gè)什么樣的多項(xiàng)式能構(gòu)成一個(gè)平方差公式的形式任務(wù) 5、計(jì)算下列各題：（選 做） (1)1002×998 (轉(zhuǎn)化思想) (2) (x+y)(x-y)(x2+y2) (靈活運(yùn)用) (3) (a+b)2-(a-b)2 (逆向思維訓(xùn)練) （設(shè)計(jì)意圖：由于學(xué)生的能力有一個(gè)發(fā)展過程，理解公式的特征與字母的廣泛含義以及對于 公式的靈活應(yīng)用這個(gè)難點(diǎn)的突破都需要由易到難逐步安排，不能操之過急。所以任務(wù) 5 的三 種類型題的設(shè)置，只供學(xué)有余力的學(xué)生選做。） （二）自主學(xué)習(xí)，合作探究 （活動(dòng)方

11、式：1 到 3 組的 C 類學(xué)生把任務(wù) 1 完成在黑板上，2 到 6 組的 C 類學(xué)生把任務(wù) 2 完 成在黑板上，7 到 9 組的 B 類學(xué)生把任務(wù) 3 完成在黑板上，10 到 12 組的 B 類學(xué)生把任務(wù) 4 完成在黑板上，下面的學(xué)生在把 4 個(gè)任務(wù)完成之后要關(guān)注自己組上面展示的代表是否需要幫 助，可以即時(shí)給以指正。同時(shí)四個(gè)任務(wù)都解決了或都思考過之后可以交流討論，有能力的學(xué) 生爭取完成任務(wù) 5。） （操作意圖：下要包底，上不封頂。） （三）展示反饋，評價(jià)提升 （活動(dòng)方式：競爭組的 A 類學(xué)生去評價(jià)對方已經(jīng)展示在黑板上的內(nèi)容，其他組可以補(bǔ)充，必 要時(shí)教師要做出評判與提升。時(shí)間許可時(shí)可以讓

12、學(xué)生用實(shí)物投影展示任務(wù) 5。） 七、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì) 1、計(jì)算： （1）(m+n)(n-m)= （2）(-2y+3)(2y+3)= 2、判斷正誤：如果錯(cuò)誤，應(yīng)怎樣改正？ ( 1 ) (-a-b)(a-b)=-a2+b2 ( 2 ) (-a+b)(-a-b)=-a2-b2 ( 3 ) (2x+3)(2x-3)=2x-9 ( 4 ) (3x-1)(-3x-1)=9x2-1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3、根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)，編 4 個(gè)能利用平方差公式計(jì)算的題目。 有理數(shù)的乘法和除法 教學(xué)目標(biāo)： 1、了解有理數(shù)除法的意義，理解有理數(shù)的除法法則，

13、會(huì)進(jìn)行有理數(shù)的除法運(yùn)算，會(huì)求有理 數(shù)的倒數(shù)。 2、通過實(shí)例，探究出有理數(shù)除法法則。會(huì)把有理數(shù)除法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法，培養(yǎng)學(xué)生的化 歸思想。 重點(diǎn)：有理數(shù)除法法則的運(yùn)用及倒數(shù)的概念 難點(diǎn)：怎樣根據(jù)不同的情況來選取適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笊蹋? 不能作除數(shù)以及 0 沒有倒數(shù)的理解。 教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課 1、有理數(shù)乘法法則 兩數(shù)相乘，同號得正,異號得負(fù)，并把絕對值相乘. 幾個(gè)數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定.當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶 數(shù)個(gè)時(shí)，積為正。有一個(gè)因數(shù)是 0，積就為 0. 2、有理數(shù)乘法運(yùn)算律： a×b = b×a (a ×b)× c =

14、a ×(b ×c). a×(b+c)=a × b + a×c 3、計(jì)算（分組練習(xí)，然后交流）（見 ppt） 二、合作交流，解讀探究 1、（1）6 個(gè)同樣大小的蘋果平均分給 3 個(gè)小孩，每個(gè)小孩分到幾個(gè)蘋果？ （2）怎樣計(jì)算下列各式？（－6）÷3 6÷（－3） （－6）÷（－3） 學(xué)生：獨(dú)立思考后，再將結(jié)果與同桌交流。 教師：引導(dǎo)學(xué)生回顧小學(xué)知識，根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算完成上例，要求 6÷3 即要求 3×？ ＝6，由 3×2＝6 可知 6÷3＝2。 同理（－6）÷3＝－2，6÷（－3）＝－2，（－6）÷（－3）＝2。 根據(jù)以上運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？對于兩個(gè)有理數(shù) a,b，其中

15、b≠0，如果有一個(gè)有理數(shù) c 使得 c×b=a，那么我們規(guī)定 a÷b=c，稱 c 叫做 a 除以 b 的商。 2、從有理數(shù)的除法是通過乘法來規(guī)定，引導(dǎo)學(xué)生對比乘法法則，自己總結(jié)有理數(shù)除法法則， 經(jīng)討論后，板書有理數(shù)除法法則。 同號兩數(shù)相除得正數(shù)，異號兩數(shù)相除得負(fù)數(shù)，并且把它們的絕對值相除。 0 除以以何一個(gè)為等于 0 的數(shù)都得 0 教師指出：為了使商存在且唯一，要求除數(shù)不等于 0，即 0 不能作除數(shù)。 三、應(yīng)用遷移，鞏固提高 例 1 計(jì)算 （1） （－24）÷4 （2）（－18）÷（－9） （3） 10÷（－5） 引導(dǎo)學(xué)生按照有理數(shù)除法法則進(jìn)行計(jì)算，既先確定商的符號，再計(jì)算絕對

16、值。請四位同學(xué)到 黑板做，完成后，師生共同訂正。 四、合作交流，解讀探究 1、小學(xué)里學(xué)過有關(guān)倒數(shù)的概念是什么？怎么求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)？（用 1 除以這個(gè)數(shù)） 4 和+ 2 3 的倒數(shù)是多少？0 有倒數(shù)嗎？為什么沒有？ 1 2、小學(xué)里學(xué)過的除法與乘法有何關(guān)系？例如 10÷0.5=10×2；0÷5=0×（ ），你能總結(jié)總 5 結(jié)出一句話嗎？（除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)） 我們已經(jīng)知道 10÷（-5）= -2 ，又 10×（- 1 5  ）=-2 所以就有：10 ÷（-5）=10×（- 1 5  ） 引入倒數(shù)的概念。如

17、果兩個(gè)數(shù)的乘積等于 1，那么把其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，也稱 這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。 這里(-5)×(- 1 1 )=1，我們把- 5 5  叫作-5 的倒數(shù)。 3、5÷0=？，0÷0=？呢？（這些式子無意義）也就是說 0 是沒有倒數(shù)的。 1 2 5 提問：（1）以上兩組數(shù)的計(jì)算結(jié)果怎樣？（2）5 與 ， - 與 - 5 5 2  是一對什么數(shù)？ 由上面的計(jì)算，你能得出什么結(jié)論？除以一個(gè)非零數(shù)等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。 上述結(jié)論稱之為有理數(shù)除法的第二個(gè)法則。 例 2（1）寫出 9， - 2 7 1 ， ，-1，1，-2 的倒數(shù)。 3 8 4 （2）計(jì)算：(1) (-12)÷ 1 3  ； (2) 15÷(- 3 2 2 ) (3) (- )÷(- ) 7 15 3 3、課堂練習(xí)：P36 練習(xí)第 1、2、3 題 四、總結(jié)反思 （1）有理數(shù)的除法法則是什么？ （2）如何運(yùn)用除法法則進(jìn)行有理數(shù)的除法運(yùn)算？ 五、作業(yè)：P41 習(xí)題 1.5A 組第 6、7、8 題