《2013年全國(guó)高考數(shù)學(xué) 試題分類(lèi)匯編14 導(dǎo)數(shù)與積分》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013年全國(guó)高考數(shù)學(xué) 試題分類(lèi)匯編14 導(dǎo)數(shù)與積分（25頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2013年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編14：導(dǎo)數(shù)與積分
一、選擇題
．（2013年高考湖北卷（理））已知為常數(shù),函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則 （ ?。?
A． B．
C． D．
【答案】D
．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））已知函數(shù),下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 （ ）
A．R, B．函數(shù)的圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形
C．若是的極小值點(diǎn),則在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．若是的極值點(diǎn),則
【答案】C
．（2013年高考江西卷（理））若則的大小關(guān)系為 （ ?。?
A． B．
C． D．
【答案】B
．（2013年普通
2、高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））設(shè)函數(shù) （ ）
A．有極大值,無(wú)極小值 B．有極小值,無(wú)極大值
C．既有極大值又有極小值 D．既無(wú)極大值也無(wú)極小值
【答案】D
．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,是的極大值點(diǎn),以下結(jié)論一定正確的是 （ ?。?
A． B．是的極小值點(diǎn)
C．是的極小值點(diǎn) D．是的極小值點(diǎn)
【答案】D
．（2013年高考北京卷（理））直線l過(guò)拋物線C: x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直,則l與C所圍成的圖形的面積等于 （ ）
A． B．2 C． D．
3、
【答案】C
．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù),則 （ ?。?
A．當(dāng)時(shí),在處取得極小值 B．當(dāng)時(shí),在處取得極大值
C．當(dāng)時(shí),在處取得極小值 D．當(dāng)時(shí),在處取得極大值
【答案】C
二、填空題
．（2013年高考江西卷（理））設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且,則______________
【答案】2
．（2013年高考湖南卷（理））若_________.
【答案】3
．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,則__
4、____.
【答案】
三、解答題
．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））已知函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)是的極值點(diǎn),求,并討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明.
【答案】
．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））已知函數(shù)
(I)求證:
(II)若恒成立,求實(shí)數(shù)取值范圍.
請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)下方的方框涂黑.
【答案】
．（2013年普通高等學(xué)校招生
5、全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題））本小題滿分16分.
設(shè)函數(shù),,其中為實(shí)數(shù).
(1)若在上是單調(diào)減函數(shù),且在上有最小值,求的取值范圍;
(2)若在上是單調(diào)增函數(shù),試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.
卷Ⅱ 附加題部分答案word版
[選做題]第21題,本題包括A、B、C、D四小題,請(qǐng)選定其中兩題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答,若多做,則按作答的前兩題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
【答案】解:(1)由即對(duì)恒成立,∴
而由知<1 ∴
由令則
當(dāng)<時(shí)<0,當(dāng)>時(shí)>0,
∵在上有最小值
∴>1 ∴>
綜上所述:的
6、取值范圍為
(2)證明:∵在上是單調(diào)增函數(shù)
∴即對(duì)恒成立,
∴
而當(dāng)時(shí),> ∴
分三種情況:
(Ⅰ)當(dāng)時(shí), >0 ∴f(x)在上為單調(diào)增函數(shù)
∵ ∴f(x)存在唯一零點(diǎn)
(Ⅱ)當(dāng)<0時(shí),>0 ∴f(x)在上為單調(diào)增函數(shù)
∵<0且>0
∴f(x)存在唯一零點(diǎn)
(Ⅲ)當(dāng)0<時(shí),,令得
∵當(dāng)0<<時(shí),>0;>時(shí),<0
∴為最大值點(diǎn),最大值為
①當(dāng)時(shí),,,有唯一零點(diǎn)
②當(dāng)>0時(shí),0<,有兩個(gè)零點(diǎn)
實(shí)際上,對(duì)于0<,由于<0,>0
且函數(shù)在上的圖像不間斷 ∴函數(shù)在上有存在零點(diǎn)
另外,當(dāng),>0,故在上單
7、調(diào)增,∴在只有一個(gè)零點(diǎn)
下面考慮在的情況,先證<0
為此我們要證明:當(dāng)>時(shí),>,設(shè) ,則,再設(shè)
∴
當(dāng)>1時(shí),>-2>0,在上是單調(diào)增函數(shù)
故當(dāng)>2時(shí),>>0
從而在上是單調(diào)增函數(shù),進(jìn)而當(dāng)>時(shí),>>0
即當(dāng)>時(shí),>,
當(dāng)0<<時(shí),即>e時(shí),<0
又>0 且函數(shù)在上的圖像不間斷,
∴函數(shù)在上有存在零點(diǎn),又當(dāng)>時(shí),<0故在上是單調(diào)減函數(shù)∴函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)
綜合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:當(dāng)時(shí),的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1;當(dāng)0<<時(shí),的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2
．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））設(shè)函數(shù)(其中).
(Ⅰ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的
8、單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.
【答案】(Ⅰ) 當(dāng)時(shí), ,
令,得,
當(dāng)變化時(shí),的變化如下表:
極大值
極小值
右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.
(Ⅱ) ,令,得,,
令,則,所以在上遞增,
所以,從而,所以
所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
所以
令,則,令,則
所以在上遞減,而
所以存在使得,且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?,所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“”.
綜上,函數(shù)在上的最大值.
．（2013年高
9、考江西卷（理））已知函數(shù),為常數(shù)且.
(1) 證明:函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng);
(2) 若滿足,但,則稱(chēng)為函數(shù)的二階周期點(diǎn),如果有兩個(gè)二階周期點(diǎn)試確定的取值范圍;
(3) 對(duì)于(2)中的和, 設(shè)x3為函數(shù)f(f(x))的最大值點(diǎn),A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),記△ABC的面積為S(a),討論S(a)的單調(diào)性.
【答案】(1)證明:因?yàn)?有,
所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).
(2)解:當(dāng)時(shí),有
所以只有一個(gè)解,又,故0不是二階周期點(diǎn).
當(dāng)時(shí),有
所以有解集,又當(dāng)時(shí),,故中的所有點(diǎn)都不是二階周期點(diǎn).
當(dāng)時(shí),有
10、
所以有四個(gè)解,又,
,故只有是的二階周期點(diǎn).綜上所述,所求 的取值范圍為.
(3)由(2)得,
因?yàn)闉楹瘮?shù)的最大值點(diǎn),所以或.
當(dāng)時(shí),.求導(dǎo)得:,
所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,求導(dǎo)得:,
因,從而有,
所以當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增.
．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））設(shè),其中,曲線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn).
(1)確定的值; (2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
【答案】
．（2013年高考四川卷（理））已知函數(shù),其中是實(shí)數(shù).設(shè),為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),且.
(Ⅰ)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
11、
(Ⅱ)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直,且,求的最小值;
(Ⅲ)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合,求的取值范圍.
【答案】解:函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,點(diǎn)A處的切線斜率為,點(diǎn)B處的切線斜率為,故當(dāng)點(diǎn)A處的切線與點(diǎn)B處的切垂直時(shí),有.
當(dāng)時(shí),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得.
因?yàn)?所以,
所以.
因此
當(dāng)且僅當(dāng)==1,即時(shí)等號(hào)成立.
所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直時(shí),的最小值為1
當(dāng)或時(shí),,故.
當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為
,即
當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為
,即.
兩切線重合的充要條件是
由
12、①及知,.
由①②得,.
設(shè),
則.
所以是減函數(shù).
則,
所以.
又當(dāng)且趨近于時(shí),無(wú)限增大,所以的取值范圍是.
故當(dāng)函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線重合時(shí),的取值范圍是
．（2013年高考湖南卷（理））已知,函數(shù).
(I)記求的表達(dá)式;
(II)是否存在,使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點(diǎn),在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】解:
(Ⅰ)
(II)由前知,y=f(x)的圖像是由兩段反比例函數(shù)的圖像組成的.因此,若在圖像上存在兩點(diǎn)滿足題目要求,則P,Q分別在兩個(gè)圖像上,且.
13、
不妨設(shè)
所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點(diǎn),在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直.
．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求函數(shù)的極值.
【答案】解:函數(shù)的定義域?yàn)?.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,,
,
在點(diǎn)處的切線方程為,
即.
(Ⅱ)由可知:
①當(dāng)時(shí),,函數(shù)為上的增函數(shù),函數(shù)無(wú)極值;
②當(dāng)時(shí),由,解得;
時(shí),,時(shí),
在處取得極小值,且極小值為,無(wú)極大值.
綜上:當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)極值
當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極小值,無(wú)極大值.
．（2013年高考新課標(biāo)
14、1（理））(本小題滿分共12分)已知函數(shù)=,=,若曲線和曲線都過(guò)點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線
(Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)若≥-2時(shí),≤,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)由已知得,
而=,=,∴=4,=2,=2,=2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,
設(shè)函數(shù)==(),
==,
有題設(shè)可得≥0,即,
令=0得,=,=-2,
(1)若,則-2<≤0,∴當(dāng)時(shí),<0,當(dāng)時(shí),>0,即在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在=取最小值,而==≥0,
∴當(dāng)≥-2時(shí),≥0,即≤恒成立,
(2)若,則=,
∴當(dāng)≥-2時(shí),≥0,∴在(-2,+∞)單調(diào)遞增,而=0,
∴當(dāng)≥-2時(shí)
15、,≥0,即≤恒成立,
(3)若,則==<0,
∴當(dāng)≥-2時(shí),≤不可能恒成立,
綜上所述,的取值范圍為[1,].
．（2013年高考湖北卷（理））設(shè)是正整數(shù),為正有理數(shù).
(I)求函數(shù)的最小值;
(II)證明:;
(III)設(shè),記為不小于的最小整數(shù),例如,,.令,求的值.
(參考數(shù)據(jù):,,,)
【答案】證明:(I)
在上單減,在上單增.
(II)由(I)知:當(dāng)時(shí),(就是伯努利不等式了)
所證不等式即為:
若,則
①
,
,故①式成立.
若,顯然成立.
②
,
,故②式成立.
綜上可得原不等式成立.
(III
16、)由(II)可知:當(dāng)時(shí),
．（2013年高考陜西卷（理））已知函數(shù).
(Ⅰ) 若直線y=kx+1與f (x)的反函數(shù)的圖像相切, 求實(shí)數(shù)k的值;
(Ⅱ) 設(shè)x>0, 討論曲線y=f (x) 與曲線 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).
(Ⅲ) 設(shè)a 0,m > 0 時(shí), 曲線y=f (x) 與曲線 的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程 根的個(gè)數(shù).
由,
則 h(x)在
h(x).
所以對(duì)曲線y=f (x) 與曲線 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),
17、討論如下:
當(dāng)m 時(shí),有0個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m= ,有1個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m 有2個(gè)公共點(diǎn);
(Ⅲ) 設(shè)
令.
,且
.
所以
．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））設(shè)函數(shù)(=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間、最大值; (Ⅱ)討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù).
【答案】解:(Ⅰ),
由,解得,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減
所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,
最大值為
(Ⅱ)令
(1)當(dāng)時(shí),,則,
所以,
因?yàn)? 所以
因此在上單調(diào)遞增.
(2)
18、當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,則,
所以,
因?yàn)?,又
所以 所以
因此在上單調(diào)遞減.
綜合(1)(2)可知 當(dāng)時(shí),,
當(dāng),即時(shí),沒(méi)有零點(diǎn),
故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為0;
當(dāng),即時(shí),只有一個(gè)零點(diǎn),
故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為1;
當(dāng),即時(shí),
①當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)知
要使,只需使,即;
②當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)知
;
要使,只需使,即;
所以當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為2;
綜上所述:
當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為0;
當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為1;
當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為2.
．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江
19、數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知,函數(shù)
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)當(dāng)時(shí),求的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得:,且,所以所求切線方程為:,即為:;
(Ⅱ)由已知得到:,其中,當(dāng)時(shí),,
(1)當(dāng)時(shí),,所以在上遞減,所以,因?yàn)?
(2)當(dāng),即時(shí),恒成立,所以在上遞增,所以,因?yàn)?
;
(3)當(dāng),即時(shí),
,且,即
2
+
0
-
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
所以,且
所以,
所以;
由,所以
(ⅰ)當(dāng)時(shí),,所以時(shí),遞增,時(shí),遞減,所以,因?yàn)?
20、,又因?yàn)?所以,所以,所以
(ⅱ)當(dāng)時(shí),,所以,因?yàn)?此時(shí),當(dāng)時(shí),是大于零還是小于零不確定,所以
① 當(dāng)時(shí),,所以,所以此時(shí);
② 當(dāng)時(shí),,所以,所以此時(shí)
綜上所述:.
．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））已知函數(shù)
(I)若時(shí),,求的最小值;
(II)設(shè)數(shù)列
【答案】
．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知函數(shù).
(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 證明: 對(duì)任意的t>0, 存在唯一的s, 使.
(Ⅲ) 設(shè)(Ⅱ)中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為, 證明:
21、 當(dāng)時(shí), 有.
【答案】
．（2013年高考北京卷（理））設(shè)L為曲線C:在點(diǎn)(1,0)處的切線.
(I)求L的方程;
(II)證明:除切點(diǎn)(1,0)之外,曲線C在直線L的下方.
【答案】解: (I)設(shè),則.所以.所以L的方程為.
(II)令,則除切點(diǎn)之外,曲線C在直線的下方等價(jià)于. 滿足,且.
當(dāng)時(shí),,,所以,故單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,,所以,故單調(diào)遞增.
所以,().
所以除切點(diǎn)之外,曲線C在直線L的下方.
又解:即變形為,記,則,
所以當(dāng)時(shí),,在(0,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
所以.)
2013年全國(guó)高考數(shù)學(xué) 試題分類(lèi)匯編14 導(dǎo)數(shù)與積分
