（廣東專用）2013高考數(shù)學總復習第七章第七節(jié) 課時跟蹤訓練 理

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1、課時知能訓練 一、選擇題 1．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為(　　) A．30°　　　　B．60°　　　　C．120°　　　　D．150° 【解析】　∵cos〈m，n〉＝－， ∴〈m，n〉＝120°. 故直線l與α所成的角θ＝120°－90°＝30°. 【答案】　A 2．(2012·青島模擬)已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實數(shù)x，y，z分別為(　　) A.，－，4 B.，－，4 C.，－2,4 D．4，，－15 【解析】　∵⊥，

2、 ∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4， 又BP⊥平面ABC， ∴⊥，⊥， 則解得 【答案】　B 圖7－7－13 3．如圖7－7－13所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 【解析】　以BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標系． 設AB＝BC＝AA1＝2， 則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)， 則＝(0，－1,1)，＝(2,0,2

3、)． ∴·＝2. ∴cos〈，〉＝＝. ∴EF和BC1所成的角為60°. 【答案】　B 圖7－7－14 4．如圖7－7－14，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成的角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 【解析】　以D點為坐標原點，以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系(圖略)， 則A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)． ∴＝(－2,0,1)，＝(－2,2,0)，且為平面BB1D1D的一個法向量． ∴cos〈，〉

4、＝＝＝. ∴BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為. 【答案】　D 5．二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，則該二面角的大小為(　　) A．150° B．45° C．60° D．120° 【解析】　如圖所示，二面角的大小就是〈，〉． ∵＝＋＋ ∴2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·) ＝2＋2＋2＋2· ∴·＝[(2)2－62－42－82]＝－24. 因此·＝24，cos〈，〉＝＝， ∴〈，〉＝60°，故二面角為60°. 【答案】　C 二、填空題 圖7－7－15

5、 6．如圖7－7－15所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E為PB的中點，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則點E的坐標為________． 【解析】　設PD＝a，則D(0,0,0)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1，)． ∴＝(0,0，a)，＝(－1,1，)． 由cos〈，〉＝， ∴＝a ·， ∴a＝2.∴E的坐標為(1,1,1)． 【答案】　(1,1,1) 7．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為______

6、__． 【解析】　以A為原點建系，設棱長為1，則A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1，0)． ∴＝(0,1，－1)， ＝(1,0，－)， 設平面A1ED的法向量為 n1＝(1，y，z)， 則∴ ∴n1＝(1,2,2)， ∵平面ABCD的一個法向量為n2＝(0,0,1)， ∴cos〈n1，n2〉＝＝. ∴所成的銳二面角的余弦值為. 【答案】　 圖7－7－16 8．如圖7－7－16所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關系是________． 【解析】　分別以

7、C1B1、C1D1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系． ∵A1M＝AN＝a， ∴M(a，a，)，N(a，a，a)， ∴＝(－，0，a)． 又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴＝(0，a,0)． ∴·＝0，∴⊥. ∵是平面BB1C1C的法向量，且MN?平面BB1C1C， ∴MN∥平面BB1C1C. 【答案】　平行 三、解答題 圖7－7－17 9．如圖7－7－17，平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中點． (1)求證：平面AGC⊥平面BGC； (2)求GB與平面AGC所成角

8、的正弦值． 【解】　證明　 如圖建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，F(xiàn)(a,0,0)，G(a，a,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，D(0,0,2a)． (1)＝(a，a,0)，＝(0,2a,2a)，設平面AGC的法向量為n＝(x，y，z)，則⊥n，⊥n，∴·n＝0，·n＝0， 故，∴， ∴n＝(－y，y，－y)； 設平面BGC的法向量m＝(x1，y1，z1)，則·m＝0，·m＝0，又＝(a，－a,0)，＝(0,0,2a)， ∴， ∴m＝(x1，x1,0)． ∴n·m＝－x1y＋x1y＋0＝0，∴n⊥m， 即平面AGC⊥平面BGC. (2)由(1)知

9、＝(a，－a,0)，平面AGC的法向量為n＝(－y，y，－y)， 設與n的夾角為α，則|cos α|＝|| ＝||＝， 即GB與平面AGC所成角的正弦值為. 圖7－7－18 10．如圖7－7－18，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點． (1)求證：AF∥平面BCE； (2)求證：平面BCE⊥平面CDE； (3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值． 【解】　(1)證明　設AD＝DE＝2AB＝2a，建立如圖所示的坐標系，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)

10、． ∵F為CD的中點， ∴F(a，a,0)． ∴＝(a，a,0)，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)， ∴＝(＋)， 又AF?平面BCE， ∴AF∥平面BCE. (2)證明　∵＝(a，a,0)，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)， 又∵·＝0，·＝0， ∴⊥，⊥. ∵CD∩ED＝D， ∴⊥平面CDE， 又∵AF∥平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE. (3)設平面BCE的法向量為n＝(x，y，z)， 由n·＝0，n·＝0. 可得取n＝(1，－，2)． 又＝(a，a，－a)， 設BF和平面BCE所成的角為θ， 則sin θ＝＝＝. ∴直線B

11、F和平面BCE所成角的正弦值為. 圖7－7－19 11．(2012·廣州模擬)如圖7－7－19所示，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC＝90°，RB＝BC＝2.點A、D分別是RB、RC的中點，現(xiàn)將△RAD沿著邊AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，連結PB、PC. (1)求證：BC⊥PB； (2)求二面角A—CD—P的平面角的余弦值． 【解】　(1)證明　點A、D分別是RB、RC的中點， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠PAD＝∠RAD＝∠RBC＝90°， ∴PA⊥AD，∴PA⊥BC， ∵BC⊥AB，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面PAB. ∵PB?平面PAB， ∴BC⊥PB. (2)建立如圖所示的空間直角坐標系A—xyz. 則D(－1,0,0)，C(－2,1,0)，P(0,0,1)． ∴＝(－1,1,0)，＝(1,0,1)， 設平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)， ∴令x＝1，得y＝1，z＝－1. ∴n＝(1,1，－1)． 顯然，是平面ACD的一個法向量，＝(0,0，－1)． ∴cos〈n，〉＝＝＝. ∴二面角A—CD—P的平面角的余弦值是.