2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)20 平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用舉例

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1、考點(diǎn)20 平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用舉例 一、選擇題 1.（2012·江西高考理科·Ｔ7）在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則＝（ ） A．2 B.4 C.5 D.10 【解題指南】用向量法求解. 【解析】選D .將各邊均賦予向量，則 . 2.（2012·安徽高考理科·Ｔ8）在平面直角坐標(biāo)系中，，將向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） 【解題指南】先寫出向量，在把向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，計(jì)算出向量，既得點(diǎn)的坐標(biāo). 【解析】

2、選.將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得，則. 3.（2012·遼寧高考理科·Ｔ3）已知兩個(gè)非零向量，滿足|+|=||，則下面結(jié)論正確的是（ ） (A) ∥ (B) ⊥ (C) ︱︱=︱︱ (D) += 【解題指南】將所給等式兩邊平方，找到兩個(gè)向量的關(guān)系. 【解析】選B. . 4.（2012·遼寧高考文科·Ｔ1）已知向量，若，則（ ） 【解題指南】按照數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，展開即可解決問題. 【解析】選D.. 5.（2012·福建高考文科·Ｔ3）已知向量，，則的充要條件是（

3、 ） A． B． C． D． 【解題指南】垂直表明數(shù)量積為0，結(jié)合平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行求解 . 【解析】選D .，解得. 6.（2012·廣東高考理科·Ｔ8）對任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義．若平面向量滿足，與的夾角，且和都在集合中，則=( ) A． B.1 C. D. 【解題指南】解決本小題首先搞清的定義，然后根據(jù),再結(jié)合確定是解決本題的關(guān)鍵。 【解析】選C. , ,. 7.（2012·廣東高考文科·Ｔ10）對任意兩個(gè)非零的平面向量，定義. 若兩個(gè)非零的平面向量a，b滿足a與b的夾角，且和都在集合中

4、，則=( ) A． B． C．1 D． 【解題指南】解決本小題首先搞清的定義，然后根據(jù),再結(jié)合確定是解決本題的關(guān)鍵。 【解析】選D. , ,. 8.（2012·陜西高考文科·Ｔ7）設(shè)向量=（1，）與=（，2）垂直，則等于 （ ） (A) (B) (C)0 (D) 【解題指南】由向量垂直關(guān)系，可計(jì)算的值，再由二倍角公式計(jì)算. 【解析】選C. 已知=（1，），=（，2）， ∵，∴，∴，故選C. 9.（2012·天津高考理科·Ｔ7）已知△為等邊三角形，A

5、B=2，設(shè)點(diǎn)P,Q滿足若（ ） (A) (B) (C) (D) 【解題指南】根據(jù)向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算. 【解析】選A. ∵=，=， 又∵，且，， ， ∴， ，又在等邊三角形中： ，所以，解得. 二、填空題 10.（2012·浙江高考文科·Ｔ15）與（2012·浙江高考理科·Ｔ15）相同 在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10，則=________. 【解題指南】考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，要注意把所求向量往已知向量上去化。 【解析】不妨設(shè)△ABC為等腰三角形，則， ． 【答案】-16. 11.（2012

6、·安徽高考理科·Ｔ14）若平面向量滿足：；則的最小值是 【解題指南】將兩邊同時(shí)平方，得，根據(jù)即可求得. 【解析】 【答案】. 12.（2012·北京高考文科·Ｔ13）與（2012·北京高考理科·Ｔ13）相同 己知正方形ABCD的邊長為l，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn).則的值為 ，的最大值為_________. 【解題指南】利用圖形中的直角關(guān)系建系用坐標(biāo)計(jì)算。也可以適當(dāng)選取基向量進(jìn)行計(jì)算. 【解析】方法一：如圖所示，以AB，AD所在直線分別為x,y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，，則，B（1，0），C（1，1），，. . 方法二：選取作為基向

7、量，設(shè)，，則 。 【答案】1，1. 13.（2012·湖南高考文科·Ｔ15）如圖4，在平行四邊形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足為P，且= . 【解題指南】本題考查平面向量加法的幾何運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法.根據(jù)向量的三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行線性運(yùn)算，向量垂直時(shí)數(shù)量級為零。向量的平方等于模的平方。 【解析】設(shè)，則，= . 【答案】18. 14.（2012·江蘇高考·Ｔ9A B C D E F ）如圖，在矩形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是 【解題指南】先建立坐標(biāo)系。再恰當(dāng)?shù)?/p>

8、表示向量，最后用數(shù)量積公式. 【解析】以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為 y軸建立直角坐標(biāo)系xOy,則設(shè)， 所以. 【答案】. 15. （2012·安徽高考文科·Ｔ1） 設(shè)向量⊥,則||=____________ 【解題指南】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出，由，得，從而求出. 【解析】 . 【答案】. 16.（2012·江西高考文科·Ｔ12）設(shè)單位向量 =（x，y），=（2，-1）。若，則=_______________ 【解題指南】由已知條件聯(lián)立方程組求得向量的坐標(biāo)，然后求. 【解析】由可得，又因?yàn)闉閱挝幌蛄克?，?lián)立解得或，故=. 【答案】. 17.（

9、2012·新課標(biāo)全國高考文科·Ｔ15）與（2012·新課標(biāo)全國高考理科·Ｔ13）相同 已知向量夾角為45。 ，且,則 【解題指南】將|2a－b|平方展開，將|a|、代入展開式，將展開式看作關(guān)于|b|的方程，解得|b|. 【解析】的夾角為，，， ，. 【答案】. 三、解答題 18. （2012·山東高考理科·Ｔ17） 已知向量，函數(shù)的最大值為6.（Ⅰ）求； （Ⅱ）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.求在上的值域. 【解題指南】（1）先利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，再利用和差倍角公式化為的形式；（2）先利用圖象變換法求出的解析式，再利用整體代入法求值域. 【解析】(1) 所以的最大值為A，函數(shù)的最大值為6 所以A=6. (2) 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象. 所以在上的值域?yàn)?