安徽省2013年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 綜合檢測卷(二) 文

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1、綜合檢測卷(二) (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為(　　)． A．3 B．6 C．8 D．10 2．命題“若p則q”的逆命題是(　　)． A．若q則p B．若非p則非q C．若非q則非p D．若p則非q 3．設(shè)x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝(　　)． A. B.

2、 C．2 D．10 4．若直線x＋y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)． A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 5．設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列結(jié)論正確的是(　　)． A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，則l∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β 6．把函數(shù)y＝cos 2x＋1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，然后向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，得到的圖象是(　

3、　)． 7．執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入a＝4，那么輸出的n的值為(　　)． A．2 B．3 C．4 D．5 8．若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是(　　)． A. B. C．5 D．6 9．甲、乙二人玩數(shù)字游戲，先由甲任想一數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜出的數(shù)字記為b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，則稱甲、乙“心有靈犀”，現(xiàn)任意找兩個(gè)人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為(　　)． A. B. C. D. 10．設(shè)a＞0，b＞0，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)

4、，下列說法正確的是(　　)． A．若ea＋2a＝eb＋3b，則a＞b B．若ea＋2a＝eb＋3b，則a＜b C．若ea－2a＝eb－3b，則a＞b D．若ea－2a＝eb－3b，則a＜b 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，滿分25分) 11．首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和S4＝__________. 12．函數(shù)f(x)＝的定義域是__________．(用區(qū)間表示) 13．設(shè)P為直線y＝x與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)左支的交點(diǎn)，F(xiàn)1是左焦點(diǎn)，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率e＝__________. 14．設(shè)點(diǎn)P在曲線y＝ex上，點(diǎn)Q在曲線y＝ln(2x

5、)上，則|PQ|的最小值為__________． 15．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列命題正確的是__________．(填序號(hào)) ①若ab＞c2，則C＜； ②若a＋b＞2c，則C＜； ③若a3＋b3＝c3，則C＜； ④若(a＋b)c＜2ab，則C＞. 三、解答題(本大題共6小題，滿分75分．解答時(shí)要寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟) 16．(本小題滿分12分)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acos C＋asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面積為，求b，c. 17．(本小題滿分12分)

6、已知{an}為等差數(shù)列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值． 18.(本小題滿分12分)如圖，幾何體E-ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求證：BE＝DE； (2)若∠BCD＝120°，M為線段AE的中點(diǎn)，求證：DM∥平面BEC. 19．(本小題滿分12分)袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為1,2. (1)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率；

7、 (2)現(xiàn)袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率． 20.(本小題滿分13分)設(shè)f(x)＝ln x＋－1，證明： (1)當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＜(x－1)； (2)當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f(x)＜. 21．(本小題滿分14分)已知橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點(diǎn)分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形． (1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過B1作直線交橢圓于P，Q，PB2⊥QB2，求△PB2Q的面積． 參考答案 一、選擇題 1．D　

8、解析：x＝5，y＝1,2,3,4；x＝4，y＝1,2,3；x＝3，y＝1,2；x＝2，y＝1，共10個(gè)． 2．A　解析：根據(jù)原命題與逆命題的關(guān)系可得． 3．B　解析：a⊥ba·b＝0，則x－2＝0x＝2， |a＋b|＝|(2,1)＋(1，－2)|＝|(3，－1)|＝＝. 4．C　解析：設(shè)圓(x－a)2＋y2＝2的圓心(a,0)到直線x＋y＋1＝0的距離為d， 則d≤r＝，即≤， ∴|a＋1|≤2，∴－3≤a≤1. 5．B　解析：利用排除法可得選項(xiàng)B是正確的． 6．A　解析：由題意，y＝cos 2x＋1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，即解析式為y＝cos x

9、＋1，向左平移一個(gè)單位長度后為y＝cos(x＋1)＋1，向下平移一個(gè)單位長度后為y＝cos(x＋1)，利用特殊點(diǎn)變?yōu)椋xA. 7．B　解析：當(dāng)a＝4時(shí)，第一次P＝40＝1，Q＝3，n＝1；第二次P＝41＝4，Q＝7，n＝2；第三次P＝42＝16，Q＝15，n＝3，此時(shí)P≤Q不滿足，輸出n＝3，選B. 8．C　解析：由x＋3y＝5xy，得＋＝5， (3x＋4y) ＝＋≥×2×＋＝5. 9．D　解析：甲想一數(shù)字有3種結(jié)果，乙猜一數(shù)字有3種結(jié)果，基本事件總數(shù)為3×3＝9，設(shè)“甲、乙心有靈犀”為事件A，則A的對(duì)立事件B為“|a－b|＞1”，即|a－b|＝2，包含2個(gè)基本事件， ∴P(B)＝

10、， ∴P(A)＝1－＝，選D. 10．A　解析：若ea＋2a＝eb＋3b，必有ea＋2a＞eb＋2b. 構(gòu)造函數(shù)：f(x)＝ex＋2x，則f′(x)＝ex＋2＞0恒成立， 故有函數(shù)f(x)＝ex＋2x在x＞0時(shí)單調(diào)遞增，即a＞b成立． 其余選項(xiàng)用同樣方法排除． 二、填空題 11．15　解析：S4＝＝15. 12.　解析：由1－2x＞0，得到x＜. 13.　解析：由得 又PF1垂直于x軸，所以a＝c，則e＝. 14.(1－ln 2)　解析：函數(shù)y＝ex與函數(shù)y＝ln(2x)的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱． 函數(shù)y＝ex上的點(diǎn)P到直線y＝x的距離為d＝. 設(shè)函數(shù)g(x)＝ex－x，

11、∴g′(x)＝ex－1， 令g′(x)＝0，得x＝ln 2. x＜ln 2時(shí)，g′(x)＜0，x＞ln 2時(shí)，g′(x)＞0， 故g(x)＝ex－x在x＝ln 2處取得最小值， 即g(x)min＝1－ln 2，∴dmin＝. 由圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱得：|PQ|的最小值為2dmin＝(1－ln 2)． 15．①②③　解析：①ab＞c2cos C＝＞＝C＜. ②a＋b＞2ccos C＝＞≥C＜. ③當(dāng)C≥時(shí)，c＞a，c＞b，c2≥a2＋b2c3≥a2c＋b2c＞a3＋b3，與a3＋b3＝c3矛盾． ④取a＝b＝2，c＝1，滿足(a＋b)c＜2ab，得C＜. 三、解答題 16．解

12、：(1)acos C＋asin C－b－c＝0， 由正弦定理得：sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C. ∴sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C. ∴sin A－cos A＝1. ∴sin(A－30°)＝. ∴A－30°＝30°或A－30°＝150°(舍去)， ∴A＝60°. (2)∵S＝bcsin A＝，∴bc＝4，① 又∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴b2＋c2＝8.② 由①②解得b＝c＝2. 17．解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 由題意知解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1

13、)＝2n. (2)由(1)可得Sn＝＝＝n(1＋n)． 因?yàn)閍1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列， 所以a2k＝a1Sk＋2，從而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0， 解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6. 18．證明：(1)設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接OC，OE，則由CB＝CD知，CO⊥BD. 又已知CE⊥BD， ∴BD⊥平面OCE. ∴BD⊥OE， 即OE是BD的垂直平分線， ∴BE＝DE. (2)取AB的中點(diǎn)N，連接MN，DN，DM， ∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，∴MN∥BE. ∵△ABD是等邊三角形，∴DN⊥AB. 由∠BCD＝120°知，∠CBD＝

14、30°， ∴∠ABC＝60°＋30°＝90°，即BC⊥AB. ∴ND∥BC，∴平面MND∥平面BEC， 又∵DM平面MND， ∴DM∥平面BEC. 19．解：(1)從五張卡片中任取兩張的所有可能情況有如下10種：紅1紅2，紅1紅3，紅1藍(lán)1，紅1藍(lán)2，紅2紅3，紅2藍(lán)1，紅2藍(lán)2，紅3藍(lán)1，紅3藍(lán)2，藍(lán)1藍(lán)2.其中兩張卡片的顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的有3種情況，故所求的概率為P＝. (2)加入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片后，從六張卡片中任取兩張，除上面的10種情況外，多出5種情況：紅1綠0，紅2綠0，紅3綠0，藍(lán)1綠0，藍(lán)2綠0，即共有15種情況，其中顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的有8種情況

15、，所以概率為P＝. 20．證明：(1)記g(x)＝ln x＋－1－(x－1)， 則當(dāng)x＞1時(shí)，g′(x)＝＋－＜0. 又g(1)＝0，有g(shù)(x)＜0，即f(x)＜(x－1)． (2)記h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)． 則當(dāng)1＜x＜3時(shí)， 由(1)得h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9 ＜(x－1)＋(x＋5)－9 ＝[3x(x－1)＋(x＋5)(2＋)－18x] ＜ ＝(7x2－32x＋25)＜0. ∴y＝h(x)在(1,3)上是減函數(shù)，且h(1)＝0，故h(x)＜0， ∴(x＋5)f(x)－9(x－1)＜0， 即1＜x＜3時(shí)，f(x)＜. 2

16、1．解：(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)， 右焦點(diǎn)為F2(c,0)． 因?yàn)椤鰽B1B2是直角三角形且|AB1|＝|AB2|， 故∠B1AB2為直角， 從而|OA|＝|OB2|，即b＝，結(jié)合c2＝a2－b2，得4b2＝a2－b2， 故a2＝5b2，c2＝4b2， 所以離心率e＝＝. 在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2， 故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2， 由題設(shè)條件S△AB1B2＝4，得b2＝4， 從而a2＝5b2＝20. 因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)，

17、 由題意，直線PQ的傾斜角不為0， 故可設(shè)直線PQ的方程為x＝my－2， 代入橢圓方程得到(m2＋5)y2－4my－16＝0，(*) 顯然Δ＝(－4m)2－4(m2＋5)×(－16)＞0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1，y2是方程(*)的兩根， 因此y1＋y2＝， y1·y2＝. 又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)， 所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2 ＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16 ＝ ＝. 由PB2⊥QB2，知＝0， 即16m2－64＝0，解得m＝±2. 當(dāng)m＝2時(shí)，方程(*)化為： 9y2－8y－16＝0， 故y1＝，y2＝，|y1－y2|＝， △PB2Q的面積S＝|B1B2||y1－y2|＝. 當(dāng)m＝－2時(shí)，同理可得(或由對(duì)稱性可得)△PB2Q的面積S＝. 綜上所述，△PB2Q的面積為.