2011年高考數學 考點47隨機事件的概率、古典概型、幾何概型

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1、考點47 隨機事件的概率、古典概型、幾何概型 一、選擇題 1.（2011·廣東高考理科·Ｔ6）甲、乙兩隊進行排球決賽．現在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為 A. B. C. D. 【思路點撥】本題利用獨立重復試驗及對立事件的概率公式可求解. 【精講精析】選D.由題意知，乙隊勝的概率為，由對立事件概率公式得，甲隊獲勝的概率為.故選D. 2．（2011·安徽高考文科·Ｔ9）從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于（?。? （A）

2、 （B） （C） （D） 【思路點撥】基本事件總數是=15，觀察可得構成3個矩形. 【精講精析】選D. 基本事件總數是=15，觀察可得構成3個矩形.所以是矩形的概率為 3.（2011·福建卷理科·Ｔ4）如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內部的概率等于（ ） (A). (B). (C). (D). 【思路點撥】本題屬幾何概型問題，所求概率轉化為△ABE與矩形ABCD的面積之比 【精講精析】選C. 由題意知， 4．（2011·

3、福建卷文科·Ｔ7）如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內部的概率等 于（ ） （A）． （B）. （C）. （D）. 【思路點撥】本題屬幾何概型問題，所求概率轉化為△ABE與矩形ABCD的面積之比. 【精講精析】選C. 由題意知， 5.（2011·新課標全國高考理科·Ｔ4）有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為 A． B. C. D. 【思路點撥

4、】甲、乙兩位同學可以同時參加3個興趣小組中的1個，參加每個小組的可能性均為，可以利用排列組合和獨立事件的概率求法來計算所求概率. 【精講精析】選A. 先從3個興趣小組中選1個，有種方法； 甲、 乙兩位同學都參加這個興趣小組的概率為 故這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為 6.（2011·新課標全國高考文科·Ｔ6）有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為( ) A. B. C. D. 【思路點撥】甲、乙兩位同學可以同時

5、參加3個興趣小組中的1個，參加每個小組的可能性均為，可以利用獨立事件的概率求法來計算所求概率. 【精講精析】選A. 先從3個興趣小組中選1個，有種方法； 乙、 乙兩位同學都參加這個興趣小組的概率為 故這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為 7.（2011·遼寧高考理科·Ｔ5）從1,2,3,4,5中任取2個不同的數，事件A=“取到的2個數之和為偶數”，事件B=“取到的2個數均為偶數”，則P(B︱A)= (A) (B) (C) (D) 【思路點撥】本題主要考查條件概率及其運算． 【精講精析】選B，從.4.5中

6、任取2個不同的數，共有10個基本事件：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）．事件A發(fā)生共有4個基本事件：（1，3），（1，5），（3，5），（2，4）．事件B發(fā)生共有1個基本事件：（3，5）． 事件A，B同時發(fā)生也只有1個基本事件：（3，5）．根據條件概率公式得， 8．（2011·陜西高考理科·T10）甲乙兩人一起去游“2011西安世園會”，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是 （ ） （A） （B） （C）

7、 （D） 【思路點撥】本題抓住主要條件，去掉次要條件（例如參觀時間）可以簡化解題思路，然后把問題簡化為兩人所選的游覽景點路線的排列問題． 【精講精析】選D.甲乙兩人各自獨立任選4個景點的情形共有（種）；最后一小時他們同在一個景點的情形有（種），所以． 9.（2011·浙江高考理科·Ｔ9）有5本不同的書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本。若將其隨機地并擺放到圖書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是 （A） （B） （C） （D） 【思路點撥】古典概型基本問題,可從反面來考慮。 【精講精析】選B. 解法一：基本事件總數為,同一科目中有相鄰情況的

8、有個,故同一科目都不相鄰的概率是. 解法二：由古典概型的概率公式得. 10. （2011·浙江高考文科·Ｔ8）從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是 （A） （B） （C） （D） 【思路點撥】古典概型問題. 【精講精析】選D. 從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球共有個基本事件；所取的3個球中至少有1個白球的反面為“3個球均為紅色”，有1個基本事件，所以所取的3個球中至少有1個白球的概率是. 二、填空題 11.（2011·江西高考理科·Ｔ12）小波通過做游戲的方式來確定周末活

9、動，他隨機地往單位圓內投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書.則小波周末不在家看書的概率為 . 【思路點撥】根據條件先求出小波周末去看電影的概率，再求出他去打籃球的概率，易得周末不在家看書的概率。 【精講精析】答案： 記“看電影”為事件A，“打籃球”為事件B，“不在家看書”為事件C. 12．（2011·湖南高考理科·T15）如圖4，EFGH是以O為圓心、半徑為1的圓的內接正方形.將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內”，則

10、（1）P(A)=______；（2）P（B|A）=______. 【思路點撥】本題主要考查面積型幾何概型. 【精講精析】答案：.關鍵是計算出正方形的面積和扇形的面積. 13.（2011·湖南高考文科T15）已知圓C：直線l：4x+3y=25. （1）圓C的圓心到直線l的距離為_____； （2）圓C上任意一點A到直線的距離小于2的概率為____ 【思路點撥】本題考查點到直線的距離公式和幾何概型. 【精講精析】答案：5，（1）的圓心(0,0)到直線4x+3y=25的距離為：d=.（2）作一條與4x+3y=25平行而且與4x+3y=25的距離為2的直線交圓于A，B兩點，則 . 1

11、4.（2011·福建卷理科·Ｔ13）盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個.若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于_______. 【思路點撥】分別求出 . 【精講精析】 .由題易知，從5個球中隨機取出2個球共有種不同取法，而取出的球顏色不同共有，故所取出的2個球顏色不同的概率為 15.（2011·江蘇高考·Ｔ5）從1，2，3，4這四個數中一次隨機地取兩個數，則其中一個數是另一個的兩倍的概率是______ 【思路點撥】本題考查的是古典概型的概率計算，解題的關鍵是找出總的基本事件個數和其中一個數是另一個的兩倍所包含的事件個數。 【精講精析

12、】從1，2，3，4這四個數中一次隨機取兩個數，共有（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）6個基本事件，其中一個數是另一個的兩倍的有（1,2），（2,4）2個基本事件，所以其中一個數是另一個的兩倍的概率是 【答案】. 三、解答題 16.（2011·福建卷文科·Ｔ19）某日用品按行業(yè)質量標準分成五個等級，等級系數X依次為1,2,3,4,5.現從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級系數進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下： (I)若所抽取的20件日用品中，等級系數為4的恰有3件，等級系數為5的恰有2件，求a,b

13、,c的值； (II)在（1）的條件下，將等級系數為4的3件日用品記為x1,x2,x3，等級系數為5的2件日用品記為y1,y2，現從x1,x2,x3,y1,y2,這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結果，并求這兩件日用品的等級系數恰好相等的概率. 【思路點撥】（Ⅰ）由等級系數為4和5的件數可求得頻率的值，再由頻率和為1求得的值; （Ⅱ）此問屬于求古典概型的概率問題，用列舉法可求. 【精講精析】（Ⅰ）由頻率分布表得，即， 因為抽取的20件日用品中，等級系數為4的恰有3件，所以 等級系數為5的恰有2件，所以 從而，所以 （II）從日用品中任取兩件

14、，所有可能情況為： ，. 設事件A表示“從日用品中任取兩件，其等級系數相等”，則A包含的基本事件為 ，共4個. 又基本事件的總數為10,故所求的概率 17.（2011·新課標全國高考文科·Ｔ19）某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產品為優(yōu)質產品，現用兩種新配方（分別稱為A分配方和B分配方）做試驗，各生產了100件這種產品，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面試驗結果： A配方的頻數分布表 指標值分組 頻數 B配方的頻數分布表 指標值分組 頻數

15、 （Ⅰ）分別估計用A配方，B配方生產的產品的優(yōu)質品率； （II）已知用B配方生成的一件產品的利潤y(單位：元)與其質量指標值t的關系式為 估計用B配方生產的一件產品的利潤大于0的概率，并求用B配方生產的上述100件產品平均一件的利潤. 【思路點撥】第（Ⅰ）問分別用配方、配方生產的產品中優(yōu)質品的頻率來估計概率，第（II）問，用B配方生產的一件產品的利潤大于0時即質量指標時，求時的頻率作為概率，生產的100件產品中平均一件的利潤為. 【精講精析】（Ⅰ）由實驗結果知，用A配方生產的產品中優(yōu)質品的頻率為=0.3所以用A配方生產的產品中優(yōu)質品率的估計值為0.3. 由實驗結果知，用

16、B配方生產的產品中優(yōu)質品的頻率為=0.42， 所以用B配方生產的產品中優(yōu)質品率的估計值為0.42. （II）由條件知，用B配方生產的一件產品的利潤大于0的概率當且僅當t≥94,由試驗結果知， t≥94的頻率為0.96，所以用B配方生產的一件產品的利潤大于0的概率估計值為0.96. 用B配方生產的上述100件產品平均一件的利潤為 =2.68（元）. 18.（2011·山東高考文科·Ｔ18）甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女. （I）若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師性別相同的概率； （II）若從報名的6名教師中

17、任選2名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師來自同一學校的概率. 【思路點撥】（I）本題考查古典概型，要將基本事件都列出，然后找出2名教師性別相同所含的基本事件的個數，由古典概型概率公式求得結果.（II）從報名的6名教師中任選2名，列出基本事件，然后找出2名教師來自同一學校所含的基本事件的個數，由古典概型概率公式求得結果. 【精講精析】(I) 從甲校和乙校報名的教師中各任選1名， 所有可能的結果為(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男)，

18、共9種； 選出的2名教師性別相同的結果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2)，共4種， 所以選出的2名教師性別相同的概率為. （II）從報名的6名教師中任選2名，所有可能的結果為(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、 (甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、 (乙女1, 乙女2)，共15種； 選出的2名教師來自同一學校的所有可

19、能的結果為(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6種， 所以選出的2名教師來自同一學校的概率為. 19．（2011·湖南高考文科T18）某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y（單位：萬千瓦時）與該河上游在六月份的降雨量X（單位：毫米）有關.據統(tǒng)計，當X=70時，Y=460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，220，140，110，160，220，140，160. （Ⅰ）完成如下的頻

20、率分布表： 近20年六月份降雨量頻率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 頻率 （II）假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時）或超過530（萬千瓦時）的概率. 【思路點撥】本題考查頻率分布表的理解和求概率.兼顧考查了一種理解，頻率反映概率，頻率不是概率，概率是通過頻率體現的.頻率和概率最大的特性是和均為1.而第二問必須把發(fā)電量、降雨量和概率的關系聯系起來. 【精講精析】 （I）在所給數據

21、中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米的有3個，故近20年六月份降雨量頻率分布表為 降雨量 70 110 140 160 200 220 頻率 （II） 故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時）或超過530（萬千瓦時）的概率為． 20.（2011·江西高考文科·Ｔ16）某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別，公司準備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料.若該員工3杯都選對，則評為優(yōu)秀；若3杯選對2杯，則評

22、為良好；否則評為合格.假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力. （1）求此人被評為優(yōu)秀的概率； （2）求此人被評為良好及以上的概率. 【思路點撥】首先將所有情況一一列舉出來，共有10種情況，結合題意可得此人被評為優(yōu)秀及被評為良好及以上的概率。 【精講精析】解：將5杯飲料編號為：1,2,3,4,5，編號1,2,3表示A飲料，編號4，5表示B飲料，則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）可見共有10種，令D表示此人被評為優(yōu)秀的事件，E表示此人被評為良好的事件，F表示此人被評為

23、良好及以上的事件，則 （1） P(D)= （2） P(E)=,P(F)=P(D)+P(E)=. 21.（2011·陜西高考文科·T20）如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，現隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調查，調查結果如下： 所用時間（分鐘） 1020 2030 3040 4050 5060 選擇的人數 6 12 18 12 12 選擇的人數 0 4 16 16 4 （Ⅰ）試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率； （Ⅱ）分別求通過路徑和所用時間落在上表中各時間段內的頻率； （Ⅲ）現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡

24、量大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑． 【思路點撥】（Ⅰ）讀懂數表，確定不能趕到火車站的人數所在的區(qū)間，用相應的頻率作為所求概率的估計值；（Ⅱ）根據頻率的計算公式計算；（Ⅲ）計算選擇不同的路徑，在允許的時間內趕往火車站的概率，通過比較概率的大小確定選擇的最佳路徑． 【精講精析】（Ⅰ）由已知共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有12+12+16+4=44人， 用頻率估計相應的概率為0.44. （Ⅱ）選擇的有60人，選擇的有40人， 故由調查結果得頻率為： 所用時間（分鐘） 1020 2030 3040 4050

25、5060 選擇的人數 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 選擇的人數 0 0.1 0.4 0.4 0.1 （Ⅲ）用，分別表示甲選擇和時，在40分鐘內趕到火車站；用，分別表示乙選擇和時，在50分鐘內趕到火車站． 由（Ⅱ）知P(A1)?=0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5， P(A1) P(A2)， 甲應選擇路徑； P(B1)?=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B2）＞P（B1）， ∴ 乙應選擇路徑. 22.（2011·天津高考文科·Ｔ15）編號為的16名籃球運動員在某次

26、訓練比賽中的得分記錄如下： 運動員編號 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 運動員編號 得分 17 26 25 33 22 12 31 38 （Ⅰ）將得分在對應區(qū)間內的人數填入相應的空格； 區(qū)間 人數 （Ⅱ）從得分在區(qū)間內的運動員中隨機抽取2人， （i）用運動員的編號列出所有可能的抽取結果； （ii）求這2人得分之和大于50的概率． 【思路點撥】（Ⅰ），分別按區(qū)間范圍列舉出人數； （Ⅱ），用列舉法、古典概率公式計算概率

27、. 【精講精析】（Ⅰ）【解析】4，6，6 （Ⅱ）（i）【解析】得分在區(qū)間內的運動員編號為從中隨機抽取2人，所有可能的抽取結果有： ， ，共15種. （ii）【解析】“從得分在區(qū)間內的運動員中隨機抽取2人，這2人得分之和大于50”（記為事件B）的所有可能結果有：，共5種.所以 23.（2011·北京高考文科·T16）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數.乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以X表示. 甲組 乙組 9 9 0 X 8 9 1 1 1 0 （Ⅰ）如果X=8，求乙組同學植樹

28、棵數的平均數和方差； （Ⅱ）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數為19的概率. （注：方差，其中為的平均數） 【思路點撥】（Ⅰ）代入平均數、方差公式進行計算；（Ⅱ）先求出基本事件空間包含的基本事件總數，再求出所求事件包含的基本事件數，最后求概率. 【精講精析】Ⅰ當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的棵數是8，8，9，10，所以平均數為； 方差為. （Ⅱ）記甲組四名同學為，他們植樹的棵數依次為9，9，11，11；乙組四名同學為，他們植樹的棵數依次為9，8，9，10.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，所有可能的結果有16個，它們是： 用C表示：“選出的兩名同學的植樹總棵數為19”這一事件，則C中的結果有4個，它們是,故所求概率為.