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1、§2.4 導(dǎo)集，閉集，閉包
本節(jié)重點：
熟練掌握凝聚點、導(dǎo)集、閉集、閉包的概念；
區(qū)別一個點屬于導(dǎo)集或閉包的概念上的不同；
掌握一個點屬于導(dǎo)集或閉集或閉包的充要條件；
掌握用“閉集”敘述的連續(xù)映射的充要條件．
如果在一個拓?fù)淇臻g中給定了一個子集，那么拓?fù)淇臻g中的每一個點相對于這個子集而言“處境”各自不同，因此可以對它們進(jìn)行分類處理．
定義2.4.1 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，AX．如果點x∈X的每一個鄰域U中都有A中異于x的點，即U∩（A-{x}）≠，則稱點x是集合A的一個凝聚點或極限點．集合A的所有凝聚點構(gòu)成的集合稱為A的導(dǎo)集，記作d（A）．如果x
2、∈A并且x不是A的凝聚點，即存在x的一個鄰域U使得U∩（A-{x}）＝，則稱x為A的一個孤立點．
即:(牢記)
在上述定義之中，凝聚點、導(dǎo)集、以及孤立點的定義無一例外地都依賴于它所在的拓?fù)淇臻g的那個給定的拓?fù)洌虼?，?dāng)你在討論問題時涉及了多個拓?fù)涠终劦侥硞€凝聚點時，你必須明確你所談的凝聚點是相對于哪個拓?fù)涠?，不容許產(chǎn)生任何混淆．由于我們將要定義的許多概念絕大多數(shù)都是依賴于給定拓?fù)涞?，因此類似于這里談到的問題今后幾乎時時都會發(fā)生，我們不每次都作類似的注釋，而請讀者自己留心．
某些讀者可能已經(jīng)在諸如歐氏空間中接觸過剛剛定義的這些概念，但絕不要以為對歐氏空間有效的性質(zhì)，例如
3、歐氏空間中凝聚點的性質(zhì)，對一般的拓?fù)淇臻g都有效．以下兩個例子可以幫助讀者澄清某些不正確的潛在印象．
例2.4.1 離散空間中集合的凝聚點和導(dǎo)集．
設(shè)X是一個離散空間，A是X中的一個任意子集．由于X中的每一個單點集都是開集，因此如果x∈X，則X有一個鄰域{x}，使得，以上論證說明，集合A沒有任何一個凝聚點，從而A的導(dǎo)集是空集，即d（A）＝．
例2.4.2 平庸空間中集合的凝聚點和導(dǎo)集．
設(shè)X是一個平庸空間，A是X中的一個任意子集．我們分三種情形討論：
第1種情形：A=．這時A顯然沒有任何一個凝聚點，亦即
d（A）=．（可以參見定理2.4.1中第（l）條的證明．
4、）
第2種情形：A是一個單點集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，點x只有惟一的一個鄰域X，這時，所以；因此x是A的一個凝聚點，即x∈d（A）．然而對于的惟一鄰域X有：所以
d（A）=X-A．
第3種情形：A包含點多于一個．請讀者自己證明這時X中的每一個點都是A的凝聚點，即d（A）＝X．
定理2.4.1 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，AX．則
（l）d（）=；
（2）AB蘊(yùn)涵d（A）d（B）；
?。?）d（A∪B）＝d（A）∪d（B）；
?。?）d（d（A））A∪d（A）．
證明?。?）由于對于任何一點x∈X和點x的任何一個鄰域U，
有U∩
?。?）
5、設(shè)AB．如果．
這證明了d（A）d（B）．
?。?）根據(jù)（2），因為A，BA∪B，所以有d（A），d（B）d（A∪B），從而d（A）∪d（B）d（A∪B）．
另一方面，如果
綜上所述，可見（3）成立．(這是證明一個集合包含于另一個集合的另一方法:要證,只要證即可．)
?。?）設(shè)：
即（4）成立．
定義2.4.2 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，AX．如果A的每一個凝聚點都屬于A，即d（A）A，則稱A是拓?fù)淇臻gX中的一個閉集．
例如，根據(jù)例2.4.l和例2.4.2中的討論可見，離散空間中的任何一個子集都是閉集，而平庸空間中的任何一個非空的真子集都不是閉集．
6、
定理2.4.2 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，AX．則A是一個閉集，當(dāng)且僅當(dāng)A的補(bǔ)集是一個開集．
證明 必要性：設(shè)A是一個閉集
充分性：設(shè)：
即A是一個閉集．
例2.4.3 實數(shù)空間R中作為閉集的區(qū)間．
設(shè)a，b∈R，a＜b．閉區(qū)間[a，b]是實數(shù)空間R中的一個閉集，因為[a，b]的補(bǔ)集=（-∞，a）∩（b，∞）是一個開集．
同理，（-∞，a]，[b，∞）都是閉集，（-∞，∞）＝R顯然更是一個閉集．然而開區(qū)間（a，b）卻不是閉集，因為a是（a，b）的一個凝聚點，但a（a，b）．同理區(qū)間（a，b]，[a，b），（-∞，a）和（b，∞）都不是閉集．
7、
定理2.4.3 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g．記F為所有閉集構(gòu)成的族．則：
?。?）X，∈F
?。?）如果A，B∈F，則AUB∈F
?。◤亩绻?
（3）如果≠
在此定理的第（3）條中，我們特別要求≠的原因在于當(dāng)
=時所涉及的交運(yùn)算沒有定義．
證明 根據(jù)定理2.4.2，我們有T={|U∈F}其中，T為X的拓?fù)洌?
（1）∵X，∈T，∴
?。?）若A、B∈F ，則
（3）令：
定理證明完成．
總結(jié)：（1）有限個開集的交是開集，任意個開集的并是開集．其余情形不一定．
（2）有限個閉集的并是閉集，任意個閉集的交是閉集．其余情形不一
8、定．
定義2.4.3 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,AX,集合A與A的導(dǎo)集d(A)的并A∪d(A)稱為集合A的閉包,記作或
容易看出,(注意:與x∈d(A)的區(qū)別)
定理2.4.4 拓?fù)淇臻gX的子集A是閉集的充要條件是A=
證明:定理成立是因為:集合A為閉集當(dāng)且僅當(dāng)d(A)A而這又當(dāng)且僅當(dāng)A=A∪d(A)
定理2.4.5 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,則對于任意A,B∈X,有：
證明（1）成立是由于是閉集．
?。?）成立是根據(jù)閉包的定義．
?。?）成立是因為
（4）成立是因為
＝A∪d（A）∪d（d（A))
＝A∪d
9、（A）=
在第（3）條和第（4）條的證明過程中我們分別用到了定理
2.4.l中的第（3）條和第（4）條．
定理2.4.6 拓?fù)淇臻gX的任何一個子集A的閉包都是閉集．
證明根據(jù)定理2.4.4和定理2.4.5（4）直接推得．
定理2.4.7 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，F(xiàn)是由空間X中所有的閉某構(gòu)成的族，則對于X的每一個子集A，有
即集合A的閉包等于包含A的所有閉集之交．
證明 因為A包含于，而后者是一個閉集，由定理
2.4.5(4)與定理2.4.4
有
另一方面，由于是一個閉集，并且，所以
(“交”包含于形成交的任一個成員)
綜合這
10、兩個包含關(guān)系，即得所求證的等式．
由定理2.4.7可見，X是一個包含著A的閉集，它又包含于任何一個包含A的閉集之中，在這種意義下我們說：一個集合的閉包乃是包含著這個集合的最小的閉集．
在度量空間中，集合的凝聚點，導(dǎo)集和閉包都可以通過度量來刻畫．
定義2.4.5 設(shè)（X，ρ)一個度量空間．X中的點x到X的非空子集A的距離ρ（x，A）定義為
ρ（x，A）＝inf{ρ（x，y）|y∈A}
根據(jù)下確界的性質(zhì)以及鄰域的定義易見：ρ（x，A）＝0當(dāng)且僅當(dāng)對于任意實數(shù)ε＞0，存在y∈A使得ρ（x，y）＜ε，換言之即是：對于任意B（x，ε）有B（x，ε)∩A≠，而這又等價于：對
11、于x的任何一個鄰域U有U∩A≠，應(yīng)用以上討論立即得到．
定理2.4.9 設(shè)A是度量空間（X，ρ）中的一個非空子集．則
（1）x∈d（A）當(dāng)且僅當(dāng)ρ（x，A-{x}）=0；
（2）x∈當(dāng)且僅當(dāng)ρ（x，A）＝0．
以下定理既為連續(xù)映射提供了等價的定義，也為驗證映射的連續(xù)性提供了另外的手段．
定理2.4.10 設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，f:X→Y．則以下條件等價：
?。╨）f是一個連續(xù)映射；
?。?）Y中的任何一個閉集B的原象(B)是一個閉集；
（3）對于X中的任何一個子集A，A的閉包的象包含于A的象的閉包，即
??；
(4)對于Y中的任何一個子
12、集B，B的閉包的原象包含B的原象的閉包，即
?。?
證明?。?）蘊(yùn)涵（2）．設(shè)BY是一個閉集．則 是一個開集，因此根據(jù)（1），是X中的一個開集，因此
(B)是X中的一個閉集．
(2)蘊(yùn)涵（3）設(shè)AX．由于f（A），
根據(jù)（2），成立．
(3)蘊(yùn)涵(4)設(shè)AY集合(B)X應(yīng)用（3）即得
?。?）蘊(yùn)涵（l）．設(shè)U是Y中的一個開集．則是Y中的一個閉集．對此集合應(yīng)用（4）
可見:
．
總結(jié)一下,到目前為止,證明映射連續(xù)的方法有幾種?證明一個子集是開集,閉集的方法有幾種?如何證明一個點是某個子集的凝聚點?
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《點集拓?fù)鋵W(xué)》§2.4 導(dǎo)集,閉集,閉包
