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1、22.2等差數列的性質,學習目標,1.進一步鞏固等差數列的概念和通項公式 2掌握等差數列的性質,,,,,,,,,,課堂互動講練,知能優(yōu)化訓練,2. 2.2等差數列的性質,,課前自主學案,課前自主學案,1數列an為等差數列_____________________________ 2等差數列的通項公式an__________________ 3A是a、b的等差中項_____________,an1and(常數)(nN*),a1(n1)d，nN*.,1等差數列的項與序號的關系,(nm)d,aman,思考感悟,在等差數列an中，若amanapaq，則mnpq(m、n、p、qN*)成立嗎？ 提示：不一
2、定，若an3，則a1a2a3a4，但1234.,2等差數列的性質 (1)若an是公差為d的等差數列，則： can(c為任一常數)是公差為__的等差數列； can(c為任一常數)是公差為____的等差數列 (2)若an、bn分別是公差為d1、d2的等差數列，則數列panqbn(p、q是常數)是公差為_______的等差數列,d,cd,pd1qd2,課堂互動講練,等差數列的性質在數列問題的研究中經常用到，而且它具有很強的靈活性，常用的等差數列的性質如下： (1)等差數列an中，若公差d0，則數列為遞增數列；若d<0，則數列為遞減數列；若d0，則數列為常數列 (2)等差數列an中，若mnpq，則am
3、anapaq.特例：若mn2p，則aman2ap.,(1)(2010年高考大綱全國卷)如果等差數列an中，a3a4a512，那么a1a2a7() A14B21 C28 D35 (2)已知等差數列an，若a1126，a5154，則a14________.,【思路點撥】利用等差數列的性質求解，或整體考慮問題(1)利用2a4a3a5，(2)利用anam(nm)d.,【答案】(1)C(2)20,變式訓練1(1)數列an中，a3、a10是方程x23x50的兩根，若an是等差數列，則a5a8________； (2)在等差數列an中，已知a1a4a8a12a152，則a3a13_____
4、___. 解析：(1)由根與系數的關系知a3a103， 故a5a8a3a103. (2)由a1a15a4a12， 得a82，a3a132a84. 答案：(1)3(2)4,(1)若有三個數成等差數列，則一般設為ad，a，ad； (2)若有四個數成等差數列，則一般設為a3d，ad，ad，a3d； (3)若有五個數成等差數列，則一般設為a2d，ad，a，ad，a2d.,(1)三個數成等差數列，和為6，積為24，求這三個數； (2)四個數成遞增等差數列，中間兩數的和為2，首、末兩項的積為8，求這四個數 【思路點撥】解答本題也可以設出等差數列的首項與公差，建立基本量的方程組求解 【解】(1)設等差數列的
5、等差中項為a，公差為d，則這三個數依次為ad，a，ad， 依題意，3a6，且a(ad)(ad)24， 所以a2，代入a(ad)(ad)24，,化簡得d216，于是d4， 故這三個數依次為2,2,6或6,2，2. (2)設這四個數依次為a3d，ad，ad，a3d(公差為2d)， 依題意，2a2，且(a3d)(a3d)8， 即a1，a29d28， d21，d1或d1. 又四個數成遞增等差數列， d0，d1， 故所求的四個數依次為2,0,2,4.,某公司經銷一種數碼產品，第1年可獲利200萬元從第2年起，由于市場競爭等方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果公司不開發(fā)新產品，也
6、不調整經營策略，從哪一年起，該公司經銷這一產品將虧損？,【解】由題設可知第1年獲利200萬元，第2年獲利180萬元，第3年獲利160萬元，. 設從第1年起，第n年的利潤為an，則anan120，n2，nN*.所以每年的利潤可構成一個等差數列an，且首項a1200，公差d20.,所以ana1(n1)d22020n. 若an11， 即從第12年起，該公司經銷此產品將虧損 【名師點評】“虧損”“利潤小于零”由于公差d0，所以利潤構成的數列是一個遞減數列，即隨著n的增大，an的值越來越小，an0時(此處暗含an10成立)公司將出現虧損,變式訓練2夏季高山上的溫度從山腳起，每升高100 m，平均降低0.7 ，已知山頂處的溫度是14.8 ，山腳處的溫度為26 ，問此山相對于山腳的高度是多少？ 解：每升高100 m溫度降低0.7 ， 該處溫度的變化是一個等差數列問題 山腳溫度為首項a126，山頂溫度為末項an14.8， 26(n1)(0.7)14.8，解得n17， 此山的高度為(171)1001600(m),(4)若an是有窮等差數列，則與首、末兩項等距離的兩項之和都相等，且等于首、末兩項之和，即a1ana2an1ai1ani. (5)數列anb(、b是常數)是公差為d的等差數列,
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