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1、
大題沖關集訓(三)
1.(2014哈爾濱一模)數(shù)列{an}滿足an+1-an=2,a1=2,等比數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b4=a8.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)設cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
解:(1)an+1-an=2,a1=2,
所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列,
則an=2+(n-1)×2=2n,
b1=a1=2,b4=a8=16,
所以q3==8,q=2,
則bn=2n.
(2)cn=anbn=n·2n+1,
則Tn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,
2Tn=1×23+2×24+3×25+…+n·2n+
2、2,
兩式相減得-Tn=1×22+23+24+…+2n+1-n·2n+2,
整理得Tn=(n-1)2n+2+4.
2.(2013高考福建卷)已知等差數(shù)列{an}的公差d=1,前n項和為Sn.
(1)若1,a1,a3成等比數(shù)列,求a1;
(2)若S5>a1a9,求a1的取值范圍.
解:(1)因為數(shù)列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比數(shù)列,
所以=1×(a1+2),
即-a1-2=0,
解得a1=-1或a1=2.
(2)因為數(shù)列{an}的公差d=1,且S5>a1a9,
所以5a1+10>+8a1,
即+3a1-10<0,
解得-5
3、在正項數(shù)列{an}中,a1=2,點An(,)在雙曲線y2-x2=1上,數(shù)列{bn}中,點(bn,Tn)在直線y=-x+1上,其中Tn是數(shù)列{bn}的前n項和.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.
(1)解:由題an+1-an=1,
即{an}是以2為首項,公差為1的等差數(shù)列.
an=2+n-1=n+1.
(2)證明:由(bn,Tn)在y=-x+1上,
則Tn=-bn+1,
Tn-1=-bn-1+1,n≥2,
bn=-bn+bn-1,n≥2,
bn=bn-1,n≥2.
又b1=-b1+1,
得b1=,
則{bn}是以為首項,公比為的等
4、比數(shù)列.
4.(2014高考新課標全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù).
(1)證明:an+2-an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由.
(1)證明:由題設,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1.
兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1.
由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)解:存在滿足題意的λ,
由題設,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.
由(1)知,a3=λ+1,
令2a2=a1+a3,解得λ=4.
故an+2-an
5、=4,由此可得
{a2n-1}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3;
{a2n}是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.
所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
5.(2014洛陽模擬)已知函數(shù)f(x)=(x≠-1,x∈R),數(shù)列{an}滿足a1=a(a≠-1,a∈R),an+1=f(an)(n∈N*).
(1)若數(shù)列{an}是常數(shù)列,求a的值;
(2)當a1=4時,記bn=(n∈N*),證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出通項公式an.
解:(1)因為f(x)=,
a1=a,an+1=f(an)(n∈N
6、*),
數(shù)列{an}是常數(shù)列,
所以an+1=an=a,
即a=,
解得a=2或a=1.
所以所求實數(shù)a的值是1或2.
(2)因為a1=4,bn=(n∈N*),
所以b1=,
bn+1===,
即bn+1=bn(n∈N*).
所以數(shù)列{bn}是以b1=為首項,q=為公比的等比數(shù)列,
于是bn=（）n-1=（）n(n∈N*),
由bn=,
即=（）n,
解得an=(n∈N*),
所以所求的通項公式an=(n∈N*).
6.已知等差數(shù)列{an}的首項a1=3,且公差d≠0,其前n項和為Sn,且a1,a4,a13分別是等比數(shù)列{bn}的b2,b3,b4.
(1)求數(shù)
7、列{an}與{bn}的通項公式;
(2)證明:≤++…+<.
(1)解:設等比數(shù)列{bn}的公比為q,
∵a1,a4,a13分別是等比數(shù)列{bn}的b2,b3,b4,
∴(a1+3d)2=a1(a1+12d).
又a1=3,
∴d2-2d=0,
∴d=2或d=0(舍去).
∴an=3+2(n-1)=2n+1.
等比數(shù)列{bn}的公比為q===3,b1==1.
∴bn=3n-1.
(2)證明:由(1)知Sn=n2+2n,
∴==（-）,
∴++…+
=
=（1+--）
=-（+）<.
∵+≤+=,
∴-(+)≥,
∴≤++…+<.
7.(2015上饒六校月
8、考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a2=2,S5=15,數(shù)列{bn}滿足b1=,bn+1=bn.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)記Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,f(n)=,試問f(n)是否存在最大值,若存在,求出最大值;若不存在,請說明理由.
解:(1)設等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,
則
解得a1=1,d=1,
∴an=n,
由題意知=,
∴=()n-1,
∴bn=.
(2)由(1),得Tn=+++…+,
Tn=+++…+,
所以Tn=2-,
又Sn=,
所以f(n)==,
f(n+1)-f(n)=-=,
當n≥3,n∈
9、N*時,f(n+1)-f(n)<0,
當n<3,n∈N*時,f(n+1)-f(n)≥0,
又f(1)=1,f(2)=,f(3)=,
∴f(n)存在最大值,為.
8.某企業(yè)的資金每一年都比上一年分紅后的資金增加一倍,并且每年年底固定給股東們分紅500萬元.該企業(yè)2010年年底分紅后的資金為1000萬元.
(1)求該企業(yè)2014年年底分紅后的資金;
(2)求該企業(yè)從哪一年開始年底分紅后的資金超過32500萬元.
解:設an(單位:萬元)為(2010+n)年年底分紅后的資金,其中n∈N*,
則a1=2×1000-500=1500,
a2=2×1500-500=2500,…,an=2an-1-500(n≥2).
∴an-500=2(an-1-500)(n≥2),
即數(shù)列{an-500}是以a1-500=1000為首項,
公比為2的等比數(shù)列,
∴an-500=1000×2n-1,
∴an=1000×2n-1+500.
(1)a4=1000×24-1+500=8500,
∴該企業(yè)2014年年底分紅后的資金為8500萬元.
(2)由an>32500,即2n-1>32,得n>6,
∴該企業(yè)從2017年開始年底分紅后的資金超過32500萬元.
7
【導與練】（新課標）2016屆高三數(shù)學一輪復習 大題沖關集訓（三）理
