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第九章 圓錐曲線中的存在性問題 解析幾何
圓錐曲線中的存在性問題
一、基礎(chǔ)知識
1、在處理圓錐曲線中的存在性問題時,通常先假定所求的要素(點,線,圖形或是參數(shù))存在,并用代數(shù)形式進行表示。再結(jié)合題目條件進行分析,若能求出相應(yīng)的要素,則假設(shè)成立;否則即判定不存在
2、存在性問題常見要素的代數(shù)形式:未知要素用字母代替
(1)點:坐標(biāo)
(2)直線:斜截式或點斜式(通常以斜率為未知量)
(3)曲線:含有未知參數(shù)的曲線標(biāo)準(zhǔn)方程
3、解決存在性問題的一些技巧:
(1)特殊值(點)法:對于一些復(fù)雜的題目,可通過其中的特殊情況,解得所求要素的必要條件,然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立。
(2)核心變量的選取:因為解決存在性問題的核心在于求出未知要素,所以通常以該要素作為核心變量,其余變量作為輔助變量,必要的時候消去。
(3)核心變量的求法:
①直接法:利用條件與輔助變量直接表示出所求要素,并進行求解
②間接法:若無法直接求出要素,則可將核心變量參與到條件中,列出關(guān)于該變量與輔助變量的方程(組),運用方程思想求解。
二、典型例題:
例1:已知橢圓的離心率為,過右焦點的直線與相交于兩點,當(dāng)?shù)男甭蕿闀r,坐標(biāo)原點到的距離為。
(1)求的值
(2)上是否存在點,使得當(dāng)繞旋轉(zhuǎn)到某一位置時,有成立?若存在,求出所有的的坐標(biāo)和的方程,若不存在,說明理由
解:(1)
則,依題意可得:,當(dāng)?shù)男甭蕿闀r
解得:
橢圓方程為:
(2)設(shè),
當(dāng)斜率存在時,設(shè)
聯(lián)立直線與橢圓方程: 消去可得:,整理可得:
因為在橢圓上
當(dāng)時,,
當(dāng)時,,
當(dāng)斜率不存在時,可知 ,,則不在橢圓上
綜上所述:,或,
例2:過橢圓的右焦點的直線交橢圓于兩點,為其左焦點,已知的周長為8,橢圓的離心率為
(1)求橢圓的方程
(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點,且?若存在,求出該圓的方程;若不存在,請說明理由
解:(1)由的周長可得:
橢圓
(2)假設(shè)滿足條件的圓為,依題意,若切線與橢圓相交,則圓應(yīng)含在橢圓內(nèi)
若直線斜率存在,設(shè),
與圓相切
即
聯(lián)立方程:
對任意的均成立
將代入可得:
存在符合條件的圓,其方程為:
當(dāng)斜率不存在時,可知切線為
若,則
符合題意
若,同理可得也符合條件
綜上所述,圓的方程為:
例3:已知橢圓經(jīng)過點,離心率為,左,右焦點分別為和
(1)求橢圓的方程
(2)設(shè)橢圓與軸負(fù)半軸交點為,過點作斜率為的直線,交橢圓于兩點(在之間),為中點,并設(shè)直線的斜率為
① 證明:為定值
② 是否存在實數(shù),使得?如果存在,求直線的方程;如果不存在,請說明理由
解:(1)依題意可知:可得:
橢圓方程為:,代入可得:
橢圓方程為:
(2)① 證明:設(shè),線段的中點
設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立方程:
化為:
由解得: 且
② 假設(shè)存在實數(shù),使得,則
即
因為在橢圓上,所以,矛盾
所以不存在符合條件的直線
例4:設(shè)為橢圓的右焦點,點在橢圓上,直線與以原點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切
(1)求橢圓的方程
(2)過點的直線與橢圓相交于兩點,過點且平行于的直線與橢圓交于另一點,問是否存在直線,使得四邊形的對角線互相平分?若存在,求出的方程;若不存在,說明理由
解:(1)與圓相切
將代入橢圓方程可得:
橢圓方程為:
(2)由橢圓方程可得:
設(shè)直線,則
聯(lián)立直線與橢圓方程:
消去可得:
同理:
聯(lián)立直線與橢圓方程:
消去可得:
因為四邊形的對角線互相平分
四邊形為平行四邊形
解得:
存在直線時,四邊形的對角線互相平分
例5:橢圓的左右焦點分別為,右頂點為,為橢圓上任意一點,且的最大值的取值范圍是,其中
(1)求橢圓的離心率的取值范圍
(2)設(shè)雙曲線以橢圓的焦點為頂點,頂點為焦點,是雙曲線在第一象限上任意一點,當(dāng)取得最小值時,試問是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由
解:(1)設(shè)
由可得:代入可得:
(2)當(dāng)時,可得:
雙曲線方程為,,設(shè),
當(dāng)軸時,
因為
所以,下面證明對任意點均使得成立
考慮
由雙曲線方程,可得:
結(jié)論得證
時,恒成立
例6:如圖,橢圓的離心率是,過點的動直線與橢圓相交于兩點,當(dāng)直線平行于軸時,直線被橢圓截得的線段長為
(1)求橢圓的方程
(2)在平面直角坐標(biāo)系中,是否存在與點不同的定點,使得對于任意直線,恒成立?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由
解:(1)
橢圓方程為
由直線被橢圓截得的線段長為及橢圓的對稱性可得:
點在橢圓上
橢圓方程為
(2)當(dāng)與軸平行時,由對稱性可得:
即
在的中垂線上,即位于軸上,設(shè)
當(dāng)與軸垂直時,則
可解得或
不重合
下面判斷能否對任意直線均成立
若直線的斜率存在,設(shè),
聯(lián)立方程可得:
由可想到角平分線公式,即只需證明平分
只需證明
①
因為在直線上,代入①可得:
聯(lián)立方程可得:
成立
平分 由角平分線公式可得:
例7:橢圓的上頂點為,是上的一點,以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點
(1)求橢圓的方程
(2)動直線與橢圓有且只有一個公共點,問:在軸上是否存在兩個定點,它們到直線的距離之積等于1?若存在,求出這兩個定點的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由
解:由橢圓可知:
為直徑的圓經(jīng)過
由在橢圓上,代入橢圓方程可得:
橢圓方程為
(2)假設(shè)存在軸上兩定點,
設(shè)直線
所以依題意:
①
因為直線與橢圓相切,聯(lián)立方程:
由直線與橢圓相切可知
化簡可得:,代入①可得:
,依題意可得:無論為何值,等式均成立
所以存在兩定點:
例8:已知橢圓的左右焦點分別為,點是上任意一點,是坐標(biāo)原點,,設(shè)點的軌跡為
(1)求點的軌跡的方程
(2)若點滿足:,其中是上的點,且直線的斜率之積等于,是否存在兩定點,使得為定值?若存在,求出定點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由
(1)設(shè)點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,則
由橢圓方程可得:
且
代入到可得:
(2)設(shè)點,
設(shè)直線的斜率分別為,由已知可得:
考慮
是上的點
即的軌跡方程為,由定義可知,到橢圓焦點的距離和為定值
為橢圓的焦點
所以存在定點
例9:橢圓的焦點到直線的距離為,離心率為,拋物線的焦點與橢圓的焦點重合,斜率為的直線過的焦點與交于,與交于
(1)求橢圓及拋物線的方程
(2)是否存在常數(shù),使得為常數(shù)?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由
解:(1)設(shè)的公共焦點為
(2)設(shè)直線,
與橢圓聯(lián)立方程:
直線與拋物線聯(lián)立方程:
是焦點弦
若為常數(shù),則
例10:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,直線與軸交于點,與橢圓交于兩點,當(dāng)直線垂直于軸且點為橢圓的右焦點時,弦的長為
(1)求橢圓的方程
(2)是否存在點,使得為定值?若存在,請求出點的坐標(biāo),并求出該定值;若不存在,請說明理由
解:(1)依題意可得:
當(dāng)與軸垂直且為右焦點時,為通徑
(2)思路:本題若直接用用字母表示坐標(biāo)并表示,則所求式子較為復(fù)雜,不易于計算定值與的坐標(biāo)。因為要滿足所有直線,所以考慮先利用特殊情況求出點及定值,再取判定(或證明)該點在其它直線中能否使得為定值。
解:(2)假設(shè)存在點,設(shè)
若直線與軸重合,則
若直線與軸垂直,則關(guān)于軸對稱
設(shè),其中,代入橢圓方程可得:
,可解得:
若存在點,則。若,設(shè)
設(shè),與橢圓聯(lián)立方程可得:,消去可得:
,同理:
代入可得:
所以為定值,定值為
若,同理可得為定值
綜上所述:存在點,使得為定值
三、歷年好題精選
1、已知中心在原點,焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓過點,離心率為,過直線上一點引橢圓的兩條切線,切點分別是
(1)求橢圓的方程
(2)若在橢圓上的任一點處的切線方程是,求證:直線恒過定點,并求出定點的坐標(biāo)
(3)是否存在實數(shù),使得恒成立?(點為直線恒過的定點),若存在,求出的值;若不存在,請說明理由
2、已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合,是橢圓上的一點
(1)求橢圓的方程
(2)設(shè)分別是橢圓的左右頂點,是橢圓上異于的兩個動點,直線的斜率之積為,設(shè)與的面積分別為,請問:是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由
3、已知橢圓經(jīng)過點,離心率為,左,右焦點分別為和
(1)求橢圓的方程
(2)設(shè)橢圓與軸負(fù)半軸交點為,過點作斜率為的直線,交橢圓于兩點(在之間),為中點,并設(shè)直線的斜率為
① 證明:為定值
② 是否存在實數(shù),使得?如果存在,求直線的方程;如果不存在,請說明理由
4、已知圓,定點,點為圓上的動點,點在上,點在上,且滿足
(1)求點的軌跡的方程
(2)過點作直線,與曲線交于兩點,是坐標(biāo)原點,設(shè),是否存在這樣的直線,使得四邊形的對角線相等(即)?若存在,求出直線的方程;若不存在,試說明理由
5、(2014,福建)已知雙曲線的兩條漸近線分別為,
(1)求雙曲線的離心率
(2)如圖,為坐標(biāo)原點,動直線分別交直線于兩點(分別在第一、四象限),且的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線?若存在,求出雙曲線的方程;若不存在請說明理由
習(xí)題答案:
1、解析:(1)
橢圓過點
,再由可解得:
橢圓方程為:
(2)設(shè)切點坐標(biāo)為,直線上一點,依題意可得:
兩條切線方程為:
,由切線均過可得:
均在直線上
因為兩點唯一確定一條直線
,即過定點,即點的坐標(biāo)為
(3)
聯(lián)立方程:
,不妨設(shè)
,使得恒成立
2、解析:(1)拋物線的焦點為
依題意可知:
橢圓方程為:
(2)由(1)可得:,若直線斜率存在
設(shè),
到直線的距離 到直線的距離
聯(lián)立方程:
(*)
,代入到(*)可得:
或
當(dāng)時,,交點與重合,不符題意
,代入到可得:
,即
3、解:(1)依題意可知:可得:
橢圓方程為:,代入可得:
橢圓方程為:
(2)① 證明:設(shè),線段的中點
設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立方程:
化為:
由解得: 且
② 假設(shè)存在實數(shù),使得,則
即
因為在橢圓上,所以,矛盾
所以不存在符合條件的直線
4、解析:(1)由可得為的中點,且
為的中垂線
點的軌跡是以為焦點的橢圓,其半長軸長為,半焦距
軌跡方程為:
(2)因為
四邊形為平行四邊形
若,則四邊形為矩形,即
① 若直線的斜率不存在,則
聯(lián)立方程:,即
故不符合要求
② 若直線的斜率存在,設(shè)
由
,解得:
所以存在或,使得四邊形的對角線相等
5、解析:(1)由雙曲線方程可知,漸近線方程為
(2)若直線不與軸垂直,設(shè)
聯(lián)立方程: ,同理可得
設(shè)直線與軸交于
即
由直線與漸近線的交點分別在第一、四象限可知:
由(1)可得雙曲線方程為:
聯(lián)立與雙曲線方程:
因為與雙曲線相切
整理可得:
所以 雙曲線方程為:
存在一個總與相切的雙曲線,其方程為
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