運動學圖像 追及相遇問題.doc
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專題強化一 運動學圖象 追及相遇問題 專題解讀 1.本專題是勻變速直線運動規(guī)律和運動學圖象的綜合應用,為高考必考內(nèi)容,多以選擇題形式命題. 2.學好本專題,可以提高同學們通過畫運動情景示意圖和v-t圖象分析和解決運動學問題的能力. 3.用到的知識有:x-t圖象和v-t圖象的理解,勻變速直線運動的規(guī)律,臨界條件的確定,極值思想等數(shù)學方法. 一、運動學圖象 1.直線運動的x-t圖象 (1)圖象的物理意義 反映了做直線運動的物體的位移隨時間變化的規(guī)律. (2)圖線斜率的意義 ①圖線上某點切線的斜率大小表示物體速度的大小 ②圖線上某點切線的斜率正負表示物體速度的方向. (3)交點 兩圖線交點,表示兩物體相遇. 2.直線運動的v-t圖象 (1)圖象的物理意義 反映了做直線運動的物體的速度隨時間變化的規(guī)律. (2)圖線斜率的意義 ①圖線上某點切線的斜率大小表示物體加速度的大小. ②圖線上某點切線的斜率正負表示加速度的方向. (3)兩種特殊的v-t圖象 ①勻速直線運動的v-t圖象是與橫軸平行的直線. ②勻變速直線運動的v-t圖象是一條傾斜的直線. (4)圖象與時間軸圍成的面積的意義(如圖1) 圖1 ①圖象與時間軸圍成的面積表示位移. ②若此面積在時間軸的上方,表示這段時間內(nèi)的位移方向為正;若此面積在時間軸的下方,表示這段時間內(nèi)的位移方向為負. (5)交點 兩圖線交點表示此時兩物體速度相同. 自測1 甲、乙兩物體從同一點出發(fā)且在同一條直線上運動,它們的位移—時間(x-t)圖象如圖2所示,由圖象可以看出在0~4 s內(nèi)( ) 圖2 A.甲、乙兩物體始終同向運動 B.第4 s末時,甲、乙兩物體間的距離最大 C.甲的平均速度等于乙的平均速度 D.乙物體一直做勻加速直線運動 答案 C 解析 由題圖可知在0~2 s內(nèi),甲、乙同向運動,在2~4 s內(nèi)兩者反向運動,選項A錯誤;第4 s末兩物體相遇,兩物體間的距離不是最大,選項B錯誤;由題圖知在0~4 s內(nèi),甲、乙的位移都是2 m,故平均速度相等,選項C正確;根據(jù)圖線斜率的絕對值等于速度的大小,可知乙物體一直做勻速直線運動,選項D錯誤. 自測2 如圖3所示,為某物體做直線運動的v-t圖象,由此可知( ) 圖3 A.前1 s物體的位移大小為1 m B.前2 s末物體的瞬時速度大小為2 m/s C.前3 s內(nèi)物體的加速度大小為3 m/s D.前3 s物體做勻變速直線運動 答案 A 解析 在v-t圖象中,相應圖線與時間軸所圍的面積表示位移,由題圖知,前1 s內(nèi)物體的位移大小x=×1×2 m=1 m,選項A正確;在1~3 s內(nèi)由題圖得,物體的加速度a===-1 m/s,第2 s末物體的瞬時速度v=v0+at=2 m/s-1 m/s2×1 s=1 m/s,選項B、C錯誤;第1 s內(nèi)物體做勻加速直線運動,1~3 s內(nèi)物體做勻減速直線運動,選項D錯誤. 二、追及與相遇問題 1.概述 當兩個物體在同一條直線上運動時,由于兩物體的運動情況不同,所以兩物體之間的距離會不斷發(fā)生變化,就會涉及追及、相遇或避免碰撞等問題. 2.兩類情況 (1)若后者能追上前者,則追上時,兩者處于同一位置,后者的速度一定不小于前者的速度. (2)若后者追不上前者,則當后者的速度與前者的速度相等時,兩者相距最近. 3.相遇問題的常見情況 (1)同向運動的兩物體追及并相遇:兩物體位移大小之差等于開始時兩物體間的距離. (2)相向運動的兩物體相遇:各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時兩物體間的距離. 自測3 平直公路上的甲車以10 m/s的速度做勻速直線運動,乙車靜止在路面上,當甲車經(jīng)過乙車旁邊時,乙車立即以大小為1 m/s2的加速度沿相同方向做勻加速運動,從乙車加速開始計時,則( ) A.乙車追上甲車所用的時間為10 s B.乙車追上甲車所用的時間為20 s C.乙追上甲時,乙的速度是15 m/s D.乙追上甲時,乙的速度是10 m/s 答案 B 解析 設乙車追上甲車所用的時間為t,則有v甲t=at2,解得t=20 s,選項A錯誤,B正確;由v=at得,乙車追上甲車時,乙車速度v乙=20 m/s,選項C、D錯誤. 命題點一 運動學圖象的理解和應用 1.x-t圖象與v-t圖象的比較 x-t圖象 v-t圖象 圖象 舉例 意義 傾斜直線表示勻速直線運動;曲線表示變速直線運動 傾斜直線表示勻變速直線運動;曲線表示變加速直線運動 特別處 兩條圖線的交點表示相遇 圖線與時間軸所圍面積表示位移 運動 情況 甲做勻速直線運動,乙做速度逐漸減小的直線運動 丙做勻加速直線運動,丁做加速度逐漸減小的變加速直線運動 位移 0~t1時間內(nèi)甲、乙位移相等 0~t2時間內(nèi)丁的位移大于丙的位移 平均 速度 0~t1時間內(nèi)甲、乙平均速度相等 0~t2時間內(nèi)丁的平均速度大于丙的平均速度 2.三點說明 (1)x-t圖象與v-t圖象都只能描述直線運動,且均不表示物體運動的軌跡; (2)分析圖象要充分利用圖象與其所對應的物理量的函數(shù)關系; (3)識圖方法:一軸、二線、三斜率、四面積、五截距、六交點. 例1 (多選)如圖4,直線a和曲線b分別是在平直公路上行駛的汽車a和b的位移—時間(x-t)圖線,由圖可知( ) 圖4 A.在時刻t1,a車追上b車 B.在時刻t2,a、b兩車運動方向相反 C.在t1到t2這段時間內(nèi),b車的速率先減少后增加 D.在t1到t2這段時間內(nèi),b車的速率一直比a車的大 答案 BC 解析 由題圖可知,t1時刻,b車追上a車,故A錯誤;x-t圖象的斜率表示速度,由于t2時刻a、b兩圖象的斜率一正、一負,故兩車運動方向相反,B正確;由b圖線的斜率的變化可以看出t1到t2這段時間b車的速率先減少后反向增加,C正確;如圖所示,在t3時刻b圖線的斜率與a圖線的相等,此時兩車的速率相等,故D錯誤. 例2 (2014·新課標全國Ⅱ·14)甲、乙兩汽車在一平直公路上同向行駛.在t=0到t=t1的時間內(nèi),它們的v—t圖象如圖5所示.在這段時間內(nèi)( ) 圖5 A.汽車甲的平均速度比乙的大 B.汽車乙的平均速度等于 C.甲、乙兩汽車的位移相同 D.汽車甲的加速度大小逐漸減小,汽車乙的加速度大小逐漸增大 答案 A 解析 根據(jù)v—t圖象中圖線與時間軸所圍的面積表示位移,可以看出汽車甲的位移x甲大于汽車乙的位移x乙,選項C錯誤;根據(jù)v=得,汽車甲的平均速度v甲大于汽車乙的平均速度v乙,選項A正確;汽車乙的位移x乙小于初速度為v2、末速度為v1的勻減速直線運動的位移x,即汽車乙的平均速度小于,選項B錯誤;根據(jù)v—t圖象的斜率反映了加速度的大小,因此汽車甲、乙的加速度大小都逐漸減小,選項D錯誤. 變式1 甲、乙兩車在同一條直道上行駛,它們運動的位移x隨時間t變化的關系圖象如圖6所示.已知乙車做勻變速直線運動,其圖線與t軸相切于10 s處.則下列說法正確的是( ) 圖6 A.甲車的初速度為零 B.乙車的初位置在x0=60 m處 C.乙車的加速度大小為1.6 m/s2 D.5 s時兩車相遇,此時甲車速度較大 答案 C 解析 由題圖可知甲車做勻速直線運動,速度v甲== m/s=4 m/s.故A錯;由題圖可知乙車做勻減速直線運動,可看做是反方向的勻加速直線運動,則有x=at2.由題圖可知,當其反向運動5 s時,位移為20 m.則有20=a·52,得加速度大小a=1.6 m/s2.因其共運動了10 s,可得x0=×1.6×102 m=80 m.C對,B錯;t=5 s時,兩車相遇,但甲車速度v甲=4 m/s小于乙車速度v乙=8 m/s,D錯. 變式2 (2018·廣東佛山質(zhì)檢)如圖7所示為甲、乙兩質(zhì)點做直線運動的速度-時間圖象,則下列說法中正確的是( ) 圖7 A.在0~t3時間內(nèi)甲、乙兩質(zhì)點的平均速度相等 B.甲質(zhì)點在0~t1時間內(nèi)的加速度與乙質(zhì)點在t2~t3時間內(nèi)的加速度相同 C.甲質(zhì)點在0~t1時間內(nèi)的平均速度小于乙質(zhì)點在0~t2時間內(nèi)的平均速度 D.在t3時刻,甲、乙兩質(zhì)點都回到了出發(fā)點 答案 A 解析 因在0~t3時間內(nèi)甲、乙兩質(zhì)點的速度圖線與t軸所圍“面積”相等,說明位移相等,則甲、乙兩質(zhì)點的平均速度相等,故A項正確;在0~t1時間內(nèi),甲的圖線斜率為正值,加速度為正方向,在t2~t3時間內(nèi),乙的圖線斜率為負值,加速度為負方向,兩個加速度不相同,故B項錯誤;甲質(zhì)點在0~t1時間內(nèi)的平均速度等于=,乙質(zhì)點在0~t2時間內(nèi)的平均速度等于=,故C項錯誤;由圖可知甲、乙兩質(zhì)點的速度均為正值.則兩質(zhì)點均做單向直線運動,不可能回到出發(fā)點,故D項錯誤. 拓展點1 非常規(guī)圖象 1.三類圖象 (1)a-t圖象:由v=v0+at可知圖象與橫軸所圍面積表示速度變化量Δv,如圖8甲所示; (2)-t圖象:由x=v0t+at2可得=v0+at,圖象的斜率為a,如圖乙所示. 圖8 (3)v2-x圖象:由v2-v02=2ax可知v2=v02+2ax,圖象斜率為2a. 2.解題技巧 圖象反映了兩個變量(物理量)之間的函數(shù)關系,因此要由運動學公式推導出兩個物理量間的函數(shù)關系,來分析圖象的意義. 例3 一質(zhì)點沿直線運動,如圖9所示是從t=0時刻開始的質(zhì)點的-t圖象(x為位移),可以推知( ) 圖9 A.質(zhì)點做勻減速運動 B.加速度的大小是1 m/s2 C.t=2 s時的速度是1 m/s D.t=2 s時位移是3 m 答案 B 解析 由題意可得圖線的函數(shù)表達式為=1+t,即x=t+t2,又因為勻變速直線運動中位移公式為x=v0t+at2,根據(jù)對應關系得v0=1 m/s,a=1 m/s2>0,因此質(zhì)點做勻加速運動,故A項錯誤,B項正確.當t=2 s時,根據(jù)公式v=v0+at,求出速度是3 m/s,故C項錯誤;當t=2 s時,代入表達式x=t+t2,可得位移是4 m,故D項錯誤. 變式3 (2017·江西南昌3月模擬)一輛汽車做直線運動,其v2-x圖象如圖10所示.關于汽車的運動,下列說法錯誤的是( ) 圖10 A.汽車的初速度為4 m/s B.汽車的加速度大小為0.5 m/s2 C.汽車第4 s末的速度為2 m/s D.汽車前10 s內(nèi)的位移為15 m 答案 D 解析 由題圖可知初始時速度的平方為16 m2/s2,則汽車的初速度v0=4 m/s,A項正確.由題圖可知v2與x的關系式為v2-42=-x,再與公式v2-v02=2ax對比可知汽車做勻減速直線運動,加速度a=-0.5 m/s2,B項正確.由v=v0+at,可得汽車第4 s末的速度為v4=4 m/s-0.5×4 m/s=2 m/s,C項正確.因=8 s,則知第8 s末車停止,汽車前10 s內(nèi)位移x==16 m,D項錯誤. 拓展點2 圖象間的相互轉(zhuǎn)化 例4 一物體由靜止開始沿直線運動,其加速度隨時間變化的規(guī)律如圖11所示.取物體開始運動的方向為正方向,則下列關于物體運動的v-t圖象正確的是( ) 圖11 答案 C 命題點二 追及相遇問題 1.分析思路 可概括為“一個臨界條件”“兩個等量關系”. (1)一個臨界條件:速度相等.它往往是物體間能否追上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件,也是分析判斷問題的切入點; (2)兩個等量關系:時間等量關系和位移等量關系,通過畫草圖找出兩物體的時間關系和位移關系是解題的突破口. 2.能否追上的判斷方法 物體B追趕物體A:開始時,兩個物體相距x0,到vA=vB時,若xA+x0<xB,則能追上;若xA+x0=xB,則恰好不相撞;若xA+x0>xB,則不能追上. 3.特別提醒 若被追趕的物體做勻減速直線運動,一定要注意判斷被追上前該物體是否已經(jīng)停止運動. 4.三種方法 (1)臨界法:尋找問題中隱含的臨界條件,例如速度小者加速追趕速度大者,在兩物體速度相等時有最大距離;速度大者減速追趕速度小者,若追不上則在兩物體速度相等時有最小距離. (2)函數(shù)法:設兩物體在t時刻相遇,然后根據(jù)位移關系列出關于t的方程f(t)=0,若方程f(t)=0無正實數(shù)解,則說明這兩個物體不可能相遇;若方程f(t)=0存在正實數(shù)解,說明這兩個物體能相遇. (3)圖象法. ①若用位移圖象求解,分別作出兩個物體的位移圖象,如果兩個物體的位移圖象相交,則說明兩物體相遇. ②若用速度圖象求解,則注意比較速度圖線與時間軸包圍的面積. 例5 甲、乙兩車在同一直線軌道上同向行駛,甲車在前,速度為v1=8 m/s,乙車在后,速度為v2=16 m/s,當兩車相距x0=8 m時,甲車因故開始剎車,加速度大小為a1=2 m/s2,為避免相撞,乙車立即開始剎車,則乙車的加速度至少為多大? 答案 6 m/s2 解析 方法一:臨界法 設兩車速度相同時均為v,所用時間為t,乙車的加速度大小為a2,則v1-a1t=v2-a2t=v,t=t-x0,解得t=2 s,a2=6 m/s2,即t=2 s時,兩車恰好未相撞,顯然此后在停止運動前,甲的速度始終大于乙的速度,故可避免相撞.滿足題意的條件為乙車的加速度至少為6 m/s2. 方法二:函數(shù)法 甲、乙運動的位移:x甲=v1t-a1t2,x乙=v2t-a2t2 避免相撞的條件為x乙-x甲- 配套講稿:
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