《三角函數(shù)的概念》示范公開課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)人教版】

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1、D O 正弦，余弦，正切分別是什么？ 《三角函數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì) ◆ 教材分析 本課是《任意角的三角函數(shù)》這一章的概念課，具有核心地位、統(tǒng)領(lǐng)全局的作用． 在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，弧度制，對(duì)三角函數(shù)（正弦，余弦，正切） 有一定的了解，了解了銳角三角函數(shù)在解三角形中的作用．為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了知識(shí)準(zhǔn)備． 本節(jié)將學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的概念、表示及關(guān)系．借用單位圓直觀的表示三角函數(shù)的對(duì) 應(yīng)值． ◆ 教學(xué)目標(biāo) 1．了解任意角三角函數(shù)概念的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生抽象問(wèn)題的能力； 2．掌握任意角三角函數(shù)的代數(shù)表示，理解任意角三角函數(shù)的正弦，余弦，

2、正切概念， 體會(huì)用單位圓進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的一般過(guò)程． ◆ 教學(xué)重難點(diǎn) ◆ 教學(xué)重點(diǎn)：本節(jié)的重點(diǎn)是利用單位圓模型理解任意角三角函數(shù)概念的形成過(guò)程． ◆ 課前準(zhǔn)備 ◆ 1．教學(xué)問(wèn)題： （1）學(xué)生在理解用終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)是可能會(huì)出現(xiàn)障礙，由 于學(xué)生在此之前學(xué)習(xí)了直角三角形中的銳角三角函數(shù)，并習(xí)慣了直觀地用有關(guān)邊長(zhǎng)的比來(lái)表 示銳角三角函數(shù)，要克服這一點(diǎn)，關(guān)鍵是幫助學(xué)生建立終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的比值與直角三角形 有關(guān)邊長(zhǎng)的比值的聯(lián)系； （2）學(xué)生在理解將終邊上任意一點(diǎn)去在終邊與單位圓的交點(diǎn)這一特殊位置上時(shí)，又可 能會(huì)形成障礙． （3）學(xué)生在將用單位

3、圓定義銳角三角函數(shù)推廣到定義任意角的三角函數(shù)時(shí)，可能會(huì)受 初中銳角三角函數(shù)定義的影響，仍然局限在直角三角形中思考問(wèn)題． 2．教學(xué)支持條件：計(jì)算機(jī)，幾何畫板，科大訊飛問(wèn)答系統(tǒng)． ◆ 教學(xué)過(guò)程 【問(wèn)題 1】在初中，我們學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)，如圖 1，在直角三角形 OMP 中，DM 那么根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義， 的 1 / 6  是直角， 【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生回顧初中學(xué)過(guò)的銳角三角函數(shù)的定義． 【預(yù)設(shè)師生活動(dòng)】教師提出問(wèn)題，學(xué)生回答． 【問(wèn)題 2】在上節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在說(shuō)說(shuō)的角可以是 任意大小的正角，負(fù)角和零角

4、．那么任意角的三角函數(shù)又該怎么定義呢？ 【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)． 【預(yù)設(shè)師生活動(dòng)】老師引導(dǎo)學(xué)生： （1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？ （2）將銳角推廣到任意角時(shí)，我們是把角放在哪里進(jìn)行研究的？ （3）如圖 2：在平面直角坐標(biāo)系中如何定義任意角a  的三角函數(shù)？ （4）終邊是 OP 的角一定是銳角嗎？如果不是，能用直角三角形的邊長(zhǎng) 來(lái)定義嗎？當(dāng)  a  的終邊不在第一象限該怎么辦？ （5）我們知道，借助平面直角坐標(biāo)系，就可以把幾何問(wèn)題代數(shù)化，大家能不能用平面直角

5、 坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示定義式中的一條邊長(zhǎng)呢？（滲透數(shù)形結(jié)合的思想） （6）利用平面直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義有什么好處？ 【問(wèn)題 3】大家有沒(méi)有辦法讓所得到的定義式變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)？ 【設(shè)計(jì)意圖】為引入單位圓做鋪墊． 【預(yù)設(shè)師生活動(dòng)】教師提出問(wèn)題后，課組織學(xué)生展開討論，在學(xué)生不能回到正確時(shí)，可啟發(fā) 他們思考： （1）我們?cè)诙x 1 弧度的角時(shí)，利用了一個(gè)什么圖形？所用的圓與半徑大小有關(guān)嗎？用半 徑多大的圓定義起來(lái)更簡(jiǎn)單易懂？ （2）對(duì)于一個(gè)三角函數(shù)，比如 y =sin  a  ．它的函數(shù)值是由什么決定的？那么當(dāng)一個(gè)角的終

6、 邊位置確定后，能不能取終邊任意一點(diǎn)來(lái)定義三角函數(shù)？取哪一點(diǎn)可以使得我們的定義式變 得簡(jiǎn)單易懂些？怎樣取？（加強(qiáng)與幾何的聯(lián)系）） 【問(wèn)題 4】大家現(xiàn)在能不能給出任意角三角函數(shù)的定義了？ 【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生在用單位圓定義銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出任意角三角函數(shù) 的定義． 【預(yù)設(shè)師生活動(dòng)】由學(xué)生給出任意角三角函數(shù)的定義，教師進(jìn)行整理 【問(wèn)題 5】根據(jù)任意三角函數(shù)的定義，要求角  a  的三個(gè)三角函數(shù)值其實(shí)就是求什么？ 2 / 6 q 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生從中體會(huì)，用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)不僅簡(jiǎn)化了定義式，還更

7、能突出三角函數(shù)概念的本質(zhì)． 【預(yù)設(shè)師生活動(dòng)】 在學(xué)生回答問(wèn)題的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生利用定義求三角函數(shù)值 例1 已知角 a的終邊過(guò)點(diǎn) P（  1 3 ， - 2 2  ），求角 a的正弦、余弦和正切值． 【設(shè)計(jì)意圖】從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，然后通過(guò)變式，讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何利用定義求不同情況下 函數(shù)值的問(wèn)題，進(jìn)而加深對(duì)定義的理解，加強(qiáng)定義應(yīng)用中與幾何的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思 想． 【預(yù)設(shè)師生活動(dòng)】在完成本題的基礎(chǔ)上，可通過(guò)下列變式引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的概念作進(jìn)一 步的認(rèn)識(shí)． 變式 1： 求 5p 3  的正弦、余弦和正切值．

8、 變式 2： 已知角 a  的終邊過(guò)點(diǎn) P（－3，－4），求角 a  的正弦、余弦和正切值． 【問(wèn)題 6】你們能否給出正弦、余弦和正切函數(shù)在弧度制下的定義域？ 【設(shè)計(jì)意圖】研究一個(gè)函數(shù)，就是要研究其三要素，而三要素中最本質(zhì)的是對(duì)應(yīng)法則和定義 域，三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則已經(jīng)有定義式給出，所以在給出定義之后就要研究其定義域，通過(guò) 利用定義求定義域，即完善了三角函數(shù)概念的內(nèi)涵，同時(shí)又可幫助學(xué)生進(jìn)一步理解三角函數(shù) 的概念． 【預(yù)設(shè)師生活動(dòng)】學(xué)生求出定義域，教師進(jìn)行整理 【問(wèn)題 7】上述三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)會(huì)怎么樣？ 【設(shè)計(jì)意圖】通

9、過(guò)定義的應(yīng)用，讓學(xué)生了解三種函數(shù)值在各象限的符號(hào)的變化規(guī)律，并從中 進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想． 【預(yù)設(shè)師生活動(dòng)】 學(xué)生回答，教師進(jìn)行整理． ì 例2. 求證：（1）當(dāng)不等式組 í ?  sin tan  q<0 q>0  成立時(shí)，角q為第三象限角； ì （2） 當(dāng)角 為第三象限角時(shí)，不等式組 í ? 3 / 6  sin q<0 tan q>0  成立． sin a cosa tan a tan 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題的解決，熟悉和記憶函數(shù)值在各象限的符號(hào)的變化規(guī)律，并進(jìn)一步 理

10、解三角函數(shù)的概念． 【預(yù)設(shè)師生活動(dòng)】在完成本題的基礎(chǔ)上，可視情況改變題目的條件或結(jié)論，作變式訓(xùn)練； 【問(wèn)題 8】三角函數(shù)的函數(shù)值是由角的終邊的位置決定的，那么角的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周， 它的大小將會(huì)怎樣變化？它所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值又將怎樣變化？ 【設(shè)計(jì)意圖】引出公式一，突出函數(shù)周期變化的特點(diǎn)，以及數(shù)形結(jié)合的思想． 【預(yù)設(shè)師生活動(dòng)】 在教師的引導(dǎo)下，由學(xué)生討論完成． 例3 先確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)，然后再求出它們的值； (1) sin 9p 11p ; (2) cos 3p; (3) tan( - ); (4) cos( -672 4 6 

11、 0  )  ． 【設(shè)計(jì)意圖】將確定函數(shù)值的符號(hào)與求函數(shù)值這兩個(gè)問(wèn)題結(jié)合在一起，通過(guò)應(yīng)用公式一解決 問(wèn)題，讓學(xué)生熟悉和記憶公式一，并進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念． 【預(yù)設(shè)師生活動(dòng)】先完成題（1），再通過(guò)改變函數(shù)名稱和角，逐步完成其他各題． 練習(xí) （1）填表． 角  a  0  0  30  0  45  0  60  0  90  0  180  0  270  0  360  0 角  a  的弧度制 sin a a

12、 cos a tan （2 ）設(shè)  a  是三角形的一個(gè)內(nèi)角，在 ， ， ，  a 2  中，有可能取負(fù)值的 是  ． （3）選擇“>”，“<”，“=”填空： sin( - 4p 3  ) _____ 0; tan 556 0 _____ 0;  cos(-4500 ) _____ 0; 17p tan( - ) _____ 0; 8 （4）選擇  (1) sin  a >0; (2) sin  a <0; (3) cos  a >0; (4) tan

13、  a >0; (5) tan  a <0  中適當(dāng)?shù)年P(guān) 系式的序號(hào)填空： 4 / 6 a a a a 6 q （1）當(dāng)角 為第一象限角時(shí)， ，反之也成立； （2）當(dāng)角 為第二象限角時(shí)， ，反之也成立； （3）當(dāng)角 為第三象限角時(shí)， ，反之也成立； （4）當(dāng)角 為第四象限角時(shí)， ，反之也成立； 7p （5）求 的正弦，余弦和正切值．  P （6）已知角 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) P （-12，5），求角 的正弦，余弦和正切值． （7）求下列三角函數(shù)值：  O  A cos1

14、109  0  ; tan 19p 31p ;sin( -1050 0 ); tan( - ); 3 4  圖 1 例 4（備選） 如圖 1 是一個(gè)摩天輪，假設(shè)它的中心離地面的高度為 h0，它的直徑為 2R，逆 時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要 360 秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置OA 出發(fā)（如 圖 1 所示），過(guò)了 30 秒后，你離地面的高度為多少？過(guò)了 t0 秒呢？ 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)應(yīng)用三角函數(shù)定義，熟悉和記憶特殊角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)值的符號(hào)， 公式一，以及求三角函數(shù)值，加強(qiáng)對(duì)三角函數(shù)概念的理解． 【預(yù)設(shè)師生活動(dòng)】根據(jù)教學(xué)的實(shí)際情

15、況，對(duì)練習(xí)題的數(shù)量和內(nèi)容做具體調(diào)整． 5. 小結(jié) 【問(wèn)題 9】從銳角三角函數(shù)的定義推廣到任意角的三角函數(shù)的定義，你能回顧一下我們是 如何借助單位圓給出任意角的三角函數(shù)的定義的嗎？ 銳角三角函數(shù)與解直角三角形相關(guān)，在初中我們是利用直角三角形邊的比值來(lái)表示銳角 的三角函數(shù)．通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但 它與解三角形已經(jīng)沒(méi)有什么關(guān)系了，我們是利用單位圓來(lái)定義任意角的三角函數(shù)．借助平面 直角坐標(biāo)系中的單位圓，我們建立了角的變化與單位圓上點(diǎn)的變化之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而利 用單位圓點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值來(lái)表示圓心角的三角函數(shù)． 【設(shè)計(jì)意圖】回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容． 【預(yù)設(shè)師生活動(dòng)】 在學(xué)生給出定義后，教師進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)用單位圓定義三角函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)． 【問(wèn)題 10】今天我們不僅學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的定義，還接觸了定義的一些應(yīng)用，能不 能歸納一下，今天我們利用定義解決了那些問(wèn)題？ 【設(shè)計(jì)意圖】回顧和總結(jié)三角函數(shù)在本節(jié)課中的應(yīng)用． 5 / 6 【預(yù)設(shè)師生活動(dòng)】 在學(xué)生回顧與總結(jié)的基礎(chǔ)上，教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生定義應(yīng)用過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合的思 想． 6 / 6