高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4.1平面向量的概念及其線性運(yùn)算課件 .ppt

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第四章 平面向量 第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,,【知識(shí)梳理】 1.向量的有關(guān)概念,大小,方向,a,b,c,長(zhǎng)度,2.幾個(gè)特殊向量,0,任意的,1個(gè)單位,相同或相反,相同,相反,3.向量的加法與減法,三角形,平行四邊形,b+a,a+(b+c),相反向量,三角形,4.向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 (1)定義:實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫向量的數(shù) 乘,記作λa,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下: ①|(zhì)λa|=|λ||a|; ②當(dāng)λ0時(shí),λa與a的方向_____;當(dāng)λ0時(shí),λa與a的方向_____; 當(dāng)λ=0時(shí),λa=0. (2)運(yùn)算律:設(shè)λ,μ是兩個(gè)實(shí)數(shù),則 ①________=(λμ)a; ②(λ+μ)a=________; ③λ(a+b)=________.,相同,相反,λ(μa),λa+μa,λa+λb,5.共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使______.,b=λa,【考點(diǎn)自測(cè)】 1.(思考)給出下列命題: ①零向量的模等于0,沒(méi)有方向; ②若兩個(gè)非零向量共線,則其方向相同或相反; ③ ④共線向量定理b=λa中,當(dāng)a=0時(shí),則實(shí)數(shù)λ不唯一. 其中正確的是( ) A.①③ B.②③ C.②④ D.③④,【解析】選B.①錯(cuò)誤.零向量的方向是任意的; ②正確.因?yàn)閮蓚€(gè)向量都是非零向量,所以當(dāng)其共線時(shí),其方向相同或相反; ③正確. ④錯(cuò)誤.當(dāng)a=0且b=0時(shí),則實(shí)數(shù)λ可為任意實(shí)數(shù),故不唯一;當(dāng)a=0且b≠0時(shí),λ不存在.故不正確.,2.如圖,已知D,E,F分別是△ABC的邊BC,AB,AC的 中點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是( ) 【解析】選C.由三角形的中位線定理知,,3.判斷下列四個(gè)命題: ①若a∥b,則a=b;②若|a|=|b|,則a=b; ③若|a|=|b|,則a∥b;④若a=b,則|a|=|b|.其中正確的個(gè)數(shù) 是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選A.①中兩向量共線,但這兩向量的方向、模均不一定相同,故不一定相等;②中兩向量的模相等,但方向不一定相同,故這兩向量不一定相等;③中兩向量的模相等,但兩向量不一定共線;④中兩向量相等,則模一定相等,故正確.,4.如圖,在正方形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O, =( ) 【解析】選C.,5.若O,E,F是不共線的任意三點(diǎn),則以下各式中成立的是( ) 【解析】選B.,考點(diǎn)1 平面向量的有關(guān)概念 【典例1】(1)已知下列命題: ①若a=b,b=c,則a=c; ②0與任何向量共線; ③所有的單位向量都是相等的向量; ④共線向量都在同一條直線上. 其中真命題的個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2014·青島模擬)給出下列命題: ①非零向量a與b同向是a=b的必要不充分條件; ②若 與 共線,則A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上; ③若a與b同向,則a與-b反向; ④λ,μ為實(shí)數(shù),若λa=μb,則a與b共線. 其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為 . 【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)向量相等及共線的條件逐一判斷即可. (2)由共線向量定理逐一判斷即可.,【規(guī)范解答】(1)選B.①②顯然正確;對(duì)于③,由向量相等的定義知,③錯(cuò)誤;對(duì)于④,表示共線向量的有向線段也可能平行,所以④錯(cuò)誤. (2)對(duì)于①,因?yàn)橄蛄縜與b都是非零向量,所以該命題是正確的;對(duì)于②,因?yàn)橄蛄? 與 共線,且有公共點(diǎn)B,所以該結(jié)論是正確的;對(duì)于③,因?yàn)閎與-b反向,所以該結(jié)論正確;對(duì)于④,當(dāng)λ=μ=0時(shí),a與b可為任意向量,不一定共線,所以④不正確. 答案:④,【互動(dòng)探究】若本例(2)④中的λ,μ都為非零實(shí)數(shù),該結(jié)論是否正確. 【解析】因?yàn)棣?μ都為非零實(shí)數(shù),則由λa=μb,得 由共線向量定理知該結(jié)論正確.,【規(guī)律方法】平面向量相關(guān)概念的含義 (1)向量定義的核心是方向和長(zhǎng)度. (2)非零共線向量的核心是方向相同或相反,長(zhǎng)度沒(méi)有限制. (3)相等向量的核心是方向相同且長(zhǎng)度相等. (4)單位向量的核心是方向沒(méi)有限制,但長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度. (5)零向量的核心是方向沒(méi)有限制,長(zhǎng)度是0,規(guī)定零向量與任何向量共線.,【規(guī)律方法】平面向量中常用的兩個(gè)結(jié)論 (1)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性. (2)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談.,【變式訓(xùn)練】下列關(guān)于向量的敘述不正確的是( ) A.向量 的相反向量是 B.模長(zhǎng)為1的向量是單位向量,其方向是任意的 C.若A,B,C,D四點(diǎn)在同一條直線上,且AB=CD,則 D.若向量a與b滿足關(guān)系a+b=0,則a與b共線 【解析】選C.A,B顯然正確;對(duì)于C,如圖, A,B,C,D四點(diǎn)滿足條件,但 所以C不正確; 對(duì)于D,由a+b=0,得b=-a,由共線向量定理知,a與b共線,所以D正確.,【加固訓(xùn)練】 (1)設(shè)a是任一向量,e是單位向量,且a∥e,則下列表示形式中正確的是( ) A. B.a=|a|e C.a=-|a|e D.a=±|a|e 【解析】選D.對(duì)于A,當(dāng)a=0時(shí), 沒(méi)有意義,錯(cuò)誤;對(duì)于B,C,D當(dāng)a=0時(shí),選項(xiàng)B,C,D都對(duì); 當(dāng)a≠0時(shí),由a∥e可知,a與e同向或反向,選D.,(2)給出下列命題: ①若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則 是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件; ②0a=0; ③a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b; ④若a與b均為非零向量,則|a+b|與|a|+|b|一定相等. 其中正確命題的序號(hào)是 .,【解析】①正確;②數(shù)乘向量的結(jié)果為向量,而不是實(shí)數(shù),故不正確;③當(dāng)a=b時(shí)|a|=|b|且a∥b,反之不成立,故錯(cuò)誤;④當(dāng)a,b不同向時(shí)不成立,故錯(cuò)誤. 答案:①,考點(diǎn)2 平面向量的線性運(yùn)算 【考情】平面向量的線性運(yùn)算包括向量的加、減及數(shù)乘運(yùn)算,是高考的熱點(diǎn).常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).考查向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,向量減法的三角形法則及向量的相等.,高頻考點(diǎn) 通 關(guān),【典例2】(1)(2013·四川高考)如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O, 則λ= . (2)(2013·江蘇高考)設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn), AD= AB,BE= BC,若 (λ1,λ2為實(shí)數(shù)),則λ1+λ2的值為 .,【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)向量加法的平行四邊形法則及向量的 相等求解. (2)利用向量加法的三角形法則求解. 【規(guī)范解答】(1)在平行四邊形ABCD中, 而 所以 故λ=2. 答案:2 (2)由 則λ1+λ2的值為 答案:,【通關(guān)錦囊】,【特別提醒】解答平面向量線性運(yùn)算有關(guān)問(wèn)題的總體原則是數(shù)形結(jié)合,即結(jié)合圖形利用向量加、減法的法則進(jìn)行向量運(yùn)算.,【通關(guān)題組】 1.(2014·溫州模擬)設(shè)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn), 則( ) 【解析】選B.因?yàn)? ,所以 即,2.(2014·大連模擬)在平行四邊形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F,若 等于( ),【解析】選B.如圖, 由題意知, DE∶BE=1∶3=DF∶AB, 所以 所以,3.(2014·寧波模擬)在△ABC中,已知D是AB邊上一點(diǎn),若 則λ=( ) 【解析】選A.如圖，因?yàn)?所以 又 所以,【加固訓(xùn)練】 1.(2011·山東高考)設(shè)A1,A2,A3,A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn),若 且 則稱(chēng)A3,A4調(diào)和分割A(yù)1,A2.已知點(diǎn)C(c,0),D(d,0)(c,d∈R)調(diào)和分割點(diǎn)A(0,0),B(1,0),則下面說(shuō)法正確的是( ) A.C可能是線段AB的中點(diǎn) B.D可能是線段AB的中點(diǎn) C.C,D可能同時(shí)在線段AB上 D.C,D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上,【解析】選D.由題意得 若C是AB的中點(diǎn),則λ= ,此時(shí) 即 =0,這樣的μ不 存在,故A錯(cuò)誤;同理B錯(cuò)誤;若C,D同時(shí)在線段AB上,則01,μ1, 這與 矛盾, 故選D.,2.(2011·四川高考)如圖,正六邊形ABCDEF中, ( ),【解析】選D.因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形, 所以 故選D.,3.(2014·西安模擬)任意四邊形ABCD中,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn),則 = (用向量 表示). 【解析】如圖所示,因?yàn)镋,F分別是AD與BC的中點(diǎn), 所以 又因?yàn)?所以 ① 同理 ②,由①+②得, 所以 答案:,考點(diǎn)3 共線向量定理及其應(yīng)用 【典例3】(1)a=λb(λ∈R)是a與b共線的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 (2)設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線. ①若 求證:A,B,D三點(diǎn)共線; ②試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.,【解題視點(diǎn)】(1)由共線向量定理及其成立的條件進(jìn)行判斷. (2)①利用共線向量定理證明 共線; ②由共線向量定理列方程組求解. 【規(guī)范解答】(1)選A.當(dāng)a=λb(λ∈R)時(shí),若b=0,則a=0,顯然a與b共線;若b≠0,則由共線向量定理知a與b共線. 反之,若a與b共線,當(dāng)b=0,而a≠0時(shí),a=λb(λ∈R)不成立.故選A.,(2)①因?yàn)?所以 所以 共線.又 與 有公共點(diǎn)B, 所以A,B,D三點(diǎn)共線. ②因?yàn)閗a+b與a+kb共線, 所以存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb), 所以 所以k=±1.,【互動(dòng)探究】本例(2)②條件不變,結(jié)論若改為“若向量ka+b和向量a+kb反向共線,求k的值”,則結(jié)果如何? 【解析】因?yàn)閗a+b與a+kb反向共線, 所以存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ0), 所以 所以k=±1. 又λ0,k=λ,所以k=-1.故當(dāng)k=-1時(shí)兩向量反向共線.,【易錯(cuò)警示】關(guān)注共線向量定理成立的條件 本例(1)易誤選C,出錯(cuò)的原因是忽視共線向量定理成立的條件.共線向量定理:向量a(a≠0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa.定理成立的條件是a≠0,若a=0,b≠0,a與b共線,此時(shí),不存在實(shí)數(shù)λ,使b=λa.,【規(guī)律方法】共線向量定理的應(yīng)用 (1)證明向量共線,對(duì)于向量a,b,若存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb,則a與b共線. (2)證明三點(diǎn)共線,若存在實(shí)數(shù)λ,使 則A,B,C三點(diǎn)共線. (3)求參數(shù)的值,利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值. 提醒:證明三點(diǎn)共線時(shí),要說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn).,【變式訓(xùn)練】(2014·金華模擬)已知點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),邊BC的中點(diǎn)為D,若 其中λ∈R,則P點(diǎn)一定在( ) A.AB邊所在的直線上 B.BC邊所在的直線上 C.AC邊所在的直線上 D.△ABC的內(nèi)部 【解析】選C.因?yàn)镈為邊BC的中點(diǎn),所以 故 可變?yōu)? 即 故三點(diǎn)P,A,C共線,即P點(diǎn)一定在AC邊所在的直線上.,【加固訓(xùn)練】 1.如圖,A,B,C是數(shù)軸上的三點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( ) A. =4 B. C. D. 【解析】選D.因?yàn)?所以,2.已知點(diǎn)G是△ABO的重心(三邊中線的交點(diǎn)),M是AB邊的中點(diǎn). (1)求 (2)若PQ過(guò)△ABO的重心G,且 求證: 【解析】(1)因?yàn)?所以,(2)顯然 因?yàn)镚是△ABO的重心,所以 由P,G,Q三點(diǎn)共線,得 所以,有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使 而 所以 又因?yàn)閍,b不共線, 所以 消去λ,整理得3mn=m+n,故,【易錯(cuò)誤區(qū)10】向量共線中參數(shù)求值問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn) 【典例】(2014·溫州模擬)已知向量a,b不共線,且c=λa+b, d=a+(2λ-1)b,若c與d共線反向,則實(shí)數(shù)λ的值為( ) A.1 B.- C.1或- D.-1或-,【解析】選B.由于c與d共線反向,則存在實(shí)數(shù)k使c=kd(k0),① 于是λa+b=k[a+(2λ-1)b], 整理得λa+b=ka+(2λk-k)b. 由于a,b不共線,所以有 整理得2λ2-λ-1=0, 解得λ=1或λ=- .② 又因?yàn)閗＜0①,所以λ0,故,【誤區(qū)警示】 1.①處忽視了c與d反向,從而漏掉k的范圍限制. 2.②處易忘記λ與k的關(guān)系及①處對(duì)k的取值范圍的限制.,【規(guī)避策略】 1.認(rèn)真審題,挖掘題目的隱含限制條件,避免產(chǎn)生增解. 2.做出答案后要注意檢驗(yàn),養(yǎng)成檢驗(yàn)反思的習(xí)慣.,【類(lèi)題試解】已知向量a,b不共線,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( ) A.k=1且c與d同向 B.k=1且c與d反向 C.k=-1且c與d同向 D.k=-1且c與d反向 【解析】選D.由c∥d得c=λd,即ka+b=λ(a-b), 所以 所以k=λ=-1,所以向量c與d共線反向.,