高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7.3空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系課件 .ppt

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第三節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系,,【知識梳理】 1.平面的基本性質(zhì),兩點,不在一條直線,這條直線外,的一點,相交,平行,有且只有,一條,2.空間直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系分類:,異面直線：不同在_____________內(nèi)，沒有公共點.,位置 關(guān)系,共面直線,_____直線：同一平面內(nèi),有且只有一個 公共點; _____直線：同一平面內(nèi),沒有公共點;,,,,相交,平行,任何一個平面,(2)平行公理和等角定理: 平行公理:平行于同一條直線的兩條直線_____. 等角定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個 角___________. (3)異面直線所成的角: ①定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a, b′∥b,把a(bǔ)′與b′所成的_____________叫做異面直線a與b所 成的角(或夾角). ②異面直線所成角的范圍:_____.,平行,相等或互補(bǔ),銳角(或直角),3.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,1,0,無數(shù),0,無數(shù),【考點自測】 1.(思考)給出下列命題: ①如果兩個不重合的平面α,β有一條公共直線a,就說平面α,β相交,并記作α∩β=a; ②兩個平面α,β有一個公共點A,就說α,β相交于過A點的任意一條直線; ③兩個平面α,β有一個公共點A,就說α,β相交于A點,并記作α∩β=A; ④兩個平面ABC與DBC相交于線段BC;,⑤兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面. 其中正確的是( ) A.①②⑤ B.③④⑤ C.①④ D.①⑤ 【解析】選D.根據(jù)平面的性質(zhì)公理3可知①對;對于②,其錯誤在于“任意”二字上;對于③,錯誤在于α∩β=A上;對于④,應(yīng)為平面ABC和平面DBC相交于直線BC;兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面,所以⑤正確.,2.(2013·安徽高考)在下列命題中,不是公理的是( ) A.平行于同一個平面的兩個平面相互平行 B.過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面 C.如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi) D.如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線,【解析】選A.因為B,C,D是經(jīng)過人類長期反復(fù)的實踐檢驗是真實的,不需要由其他判斷加以證明的命題和原理,是公理.而A平行于同一個平面的兩個平面平行是定理而不是公理.,3.(2014·臺州模擬)對于空間中的兩條直線,“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選A.若兩條直線異面,則一定無公共點,兩條直線無公共點時,這兩條直線可能平行,故選A.,4.直線a,b,c兩兩平行,但不共面,經(jīng)過其中兩條直線的平面的個數(shù)為( ) A.1 B.3 C.6 D.0 【解析】選B.如圖所示,可知有3個平面.,5.(2014·石家莊模擬)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AD的中點,則異面直線B1C與EF所成的角的大小為 .,【解析】連接BD,B1D1,如圖所示,易證 EF∥BD,BD∥B1D1,故∠CB1D1就是異面 直線B1C與EF所成的角或所成角的補(bǔ)角. 連接D1C知△CB1D1為正三角形,故B1C與EF 所成的角為60°. 答案:60°,考點1 平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用 【典例1】(1)給出以下命題: ①不共面的四點中,其中任意三點不共線; ②若點A,B,C,D共面,點A,B,C,E共面,則點A,B,C,D,E共面; ③若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面; ④依次首尾相接的四條線段必共面. 正確命題的個數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3,(2)(2014·寧波模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB和AA1的中點, 求證:E,C,D1,F四點共面.,【解題視點】(1)根據(jù)確定平面的公理及推論進(jìn)行判斷. (2)根據(jù)中位線定理可證明EF∥CD1,即可證得結(jié)論.,【規(guī)范解答】(1)選B.①假設(shè)其中有三點共線,則該直線和直線外的另一點確定一個平面.這與四點不共面矛盾,故其中任意三點不共線,所以①正確.②從條件看出兩平面有三個公共點A,B,C,但是若A,B,C共線,則結(jié)論不正確.對于③,b與c可能異面,③不正確.④不正確,因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上,如空間四邊形.,(2)如圖,連接CD1,EF,A1B, 因為E,F分別是AB和AA1的中點, 所以EF∥A1B且EF= A1B. 又因為A1D1∥BC,且A1D1=BC, 所以四邊形A1BCD1是平行四邊形. 所以A1B∥CD1,所以EF∥CD1, 即EF與CD1確定一個平面α. 且E,F,C,D1∈α,即E,C,D1,F四點共面.,【互動探究】本例第(2)題的條件不變,如何證明“CE,D1F,DA交于一點”? 【證明】由例題解析可知,EF∥CD1,且EF= CD1, 所以四邊形CD1FE是梯形. 所以CE與D1F必相交.設(shè)交點為P,如圖, 則P∈CE?平面ABCD, 且P∈D1F?平面A1ADD1. 又因為平面ABCD∩平面A1ADD1=AD, 所以P∈AD,所以CE,D1F,DA交于一點.,【規(guī)律方法】 1.證明空間點共線問題的方法 (1)公理法:一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點,再根據(jù)公理3證明這些點都在這兩個平面的交線上. (2)納入直線法:選擇其中兩點確定一條直線,然后證明其余點也在該直線上.,2.點、線共面的常用判定方法 (1)納入平面法:先確定一個平面,再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi). (2)輔助平面法:先證明有關(guān)的點、線確定平面α,再證明其余元素確定平面β,最后證明平面α,β重合. (3)反證法. 提醒:在選擇已知條件確定平面時,要看其余的點或線在確定的平面內(nèi)是否能證明.,【變式訓(xùn)練】如圖,空間四邊形ABCD中,E,F 分別是AB,AD的中點,G,H分別在BC,CD上,且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2. (1)求證:E,F,G,H四點共面. (2)設(shè)EG與FH交于點P.求證:P,A,C三點共線.,【證明】(1)因為E,F分別為AB,AD的中點, 所以EF∥BD. 在△BCD中, 則GH∥BD,所以EF∥GH. 所以E,F,G,H四點共面.,(2)因為EG∩FH=P,P∈EG,EG?平面ABC, 所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC. 則P為平面ABC與平面ADC的公共點. 又平面ABC∩平面ADC=AC, 則P∈AC, 所以P,A,C三點共線.,【加固訓(xùn)練】1.(2013·江西高考)如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方體的六個面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m,n,那么m+n=( ) A.8 B.9 C.10 D.11,【解析】選A.取CD中點G,連接EG,FG,可知CD⊥平面EFG,因為AB∥CD,所以AB⊥平面EFG,容易知道平面EFG與正方體的左右兩個側(cè)面平行,所以EF與正方體的兩個側(cè)面平行,觀察可知n=4;又正方體的底面與正四面體的底面共面,所以過點A可作AH∥CE,易知CE與正方體的上底面平行,在下底面內(nèi),與其他四個面相交,所以m=4,即得m+n=8.,2.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證: (1)D,B,F,E四點共面. (2)若A1C交平面DBFE于R點,則P,Q,R三點共線.,【證明】(1)連接B1D1, 因為E,F分別為D1C1,C1B1的中點, 所以EF∥D1B1,又D1B1∥DB,則EF∥DB, 所以D,B,F,E四點共面. (2)因為AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q, 所以P∈平面DBFE,P∈平面A1ACC1, Q∈平面DBFE,Q∈平面A1ACC1, 又A1C∩平面DBFE=R,,所以R∈平面DBFE,R∈平面A1ACC1, 所以P,Q,R在平面DBFE與平面A1ACC1的交線上, 因此P,Q,R三點共線.,考點2 空間直線的位置關(guān)系 【典例2】(1)(2014·新鄉(xiāng)模擬)已知m,n為異面直線,m?平面α,n?平面β,α∩β=l,則l( ) A.與m,n都相交 B.與m,n中至少一條相交 C.與m,n都不相交 D.與m,n中的一條直線相交,(2)如圖所示,正方體ABCD -A1B1C1D1中,M,N分別是A1B1,B1C1的中點.問: ①AM和CN是否是異面直線?說明理由. ②D1B和CC1是否是異面直線?說明理由.,【解題視點】(1)采用反證法進(jìn)行判斷. (2)①通過說明MN∥AC,說明AM,CN共面,從而判斷. ②由圖易判斷D1B和CC1是異面直線,可用反證法證明.,【規(guī)范解答】(1)選B.若m,n都不與l相交, 因為m?α,n?β,α∩β=l,所以m∥l,n∥l, 所以m∥n∥l,這與m,n為異面直線矛盾, 故l與m,n中至少一條相交. (2)①不是異面直線. 理由:連接MN,A1C1,AC. 因為M,N分別是A1B1,B1C1的中點,所以MN∥A1C1. 又因為A1A C1C,,,所以A1ACC1為平行四邊形, 所以A1C1∥AC,所以MN∥AC, 所以A,M,N,C在同一平面內(nèi), 故AM和CN不是異面直線.,②是異面直線. 理由: 因為ABCD-A1B1C1D1是正方體,所以B,C,C1,D1不共面. 假設(shè)D1B與CC1不是異面直線, 則存在平面α,使D1B?平面α,CC1?平面α, 所以D1,B,C,C1∈α, 這與B,C,C1,D1不共面矛盾. 所以假設(shè)不成立, 即D1B和CC1是異面直線.,【易錯警示】反證法證直線異面 如本例(2)中用反證法證明異面,不論是從共面的角度,還是從平行、相交的角度否定,都要說清楚,得出矛盾. 【規(guī)律方法】異面直線的判定方法 (1)判定定理:平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線. (2)反證法:先假設(shè)兩條直線不是異面直線,即兩條直線平行或相交,由假設(shè)出發(fā),經(jīng)過嚴(yán)格的推理,導(dǎo)出矛盾,從而否定假設(shè),肯定兩條直線異面.此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到.,【變式訓(xùn)練】(2014·麗水模擬)l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1⊥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共點?l1,l2,l3共面 【解析】選B.因為線線垂直不具有傳遞性,所以選項A錯誤;易知選項B正確;當(dāng)l1,l2,l3為三棱柱的三條側(cè)棱時,l1,l2,l3就不共面,所以選項C錯誤;當(dāng)l1,l2,l3為三棱錐的三條側(cè)棱時,l1,l2,l3就不共面,所以選項D錯誤.,【加固訓(xùn)練】1.用a,b,c表示三條不同的直線,γ表示平面,給出下列命題: ①若a∥b,b∥c,則a∥c; ②若a⊥b,b⊥c,則a⊥c; ③若a∥γ,b∥γ,則a∥b; ④若a⊥γ,b⊥γ,則a∥b. 其中真命題的序號是( ) A.①② B.②③ C.①④ D.③④,【解析】選C.①平行關(guān)系的傳遞性. ②舉反例: 在同一平面α內(nèi),a⊥b,b⊥c,有a∥c.,③舉反例:如圖的長方體中,a∥γ,b∥γ,但a與b相交. ④垂直于同一平面的兩直線互相平行. 故①④正確.,2.(2013·唐山模擬)如果兩條異面直線稱為“1對”,那么在正方體的十二條棱中共有異面直線( ) A.12對 B.24對 C.36對 D.48對 【解析】選B.如圖所示,與AB異面的直線有 B1C1,CC1,A1D1,DD1四條,因為各棱具有相同 的位置且正方體共有12條棱,排除兩棱的重 復(fù)計算, 共有異面直線 =24(對).,3.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點,有以下四個結(jié)論: ①直線AM與CC1是相交直線; ②直線AM與BN是平行直線; ③直線BN與MB1是異面直線; ④直線AM與DD1是異面直線. 其中正確的結(jié)論為 (注:把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上).,【解析】因為點A在平面CDD1C1外,點M在平面CDD1C1內(nèi),直線CC1在平面CDD1C1內(nèi),CC1不過點M,所以AM與CC1是異面直線,故①錯;取DD1中點E,連接AE,則BN∥AE,但AE與AM相交,故②錯;因為B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi),M在平面BCC1B1外,BN不過點B1,所以BN與MB1是異面直線,故③正確;同理④正確,故填③④. 答案:③④,考點3 異面直線所成的角 【考情】從近幾年的高考試題來看,異面直線所成的角是高考的熱點,題型既有選擇題又有填空題,也有解答題,難度為中低檔題;客觀題主要考查異面直線所成的角,主觀題較全面考查立體幾何的有關(guān)知識、異面直線所成的角的求法等.,高頻考點 通 關(guān),【典例3】(1)(2014·寧波模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為A1B1,BB1的中點,則異面直線AM與CN所成角的余弦值為 ( ) (2)(2014·廣州模擬)已知三棱錐A-BCD中,AB=CD,且直線AB與CD成60°角,點M,N分別是BC,AD的中點,求直線AB和MN所成的角.,【解題視點】(1)由M,N分別為A1B1,BB1的中點,可取AB的中點E,EB的中點F,利用直線平行的傳遞性,確定異面直線AM與CN所成的角. (2)取AC的中點P→連接PM→連接PN→得AB與CD所成的角→得AB與MN所成的角.,【規(guī)范解答】(1)選D.如圖,取AB的中點E, 連接B1E,則AM∥B1E. 取EB的中點F,連接FN,則B1E∥FN,因此 AM∥FN, 連接CF,則直線FN與CN所夾銳角或直角為異面直線AM與CN所成的角θ. 設(shè)AB=1,在△CFN中, 由余弦定理cosθ=|cos∠CNF|=,(2)如圖,取AC的中點P.連接PM,PN, 則PM∥AB,且PM= AB, PN∥CD, 且PN= CD, 所以∠MPN為AB與CD所成的角(或其補(bǔ)角). 則∠MPN=60°或∠MPN=120°,,①若∠MPN=60°, 因為PM∥AB,所以∠PMN是AB與MN所成的角(或其補(bǔ)角). 又因為AB=CD,所以PM=PN, 則△PMN是等邊三角形,所以∠PMN=60°, 即AB和MN所成的角為60°. ②若∠MPN=120°,則易知△PMN是等腰三角形. 所以∠PMN=30°, 即AB和MN所成的角為30°. 綜上,直線AB和MN所成的角為60°或30°.,【通關(guān)錦囊】,【特別提醒】求異面直線所成的角應(yīng)注意角的范圍是 其余弦值一定為非負(fù).,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組】 1.(2014·溫州模擬)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°, AB=AC=AA1,則異面直線BA1與AC1所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90°,【解析】選C.分別取AB,AA1,A1C1的中點D,E,F, 則BA1∥DE,AC1∥EF. 所以異面直線BA1與AC1所成的角為∠DEF(或其 補(bǔ)角), 設(shè)AB=AC=AA1=2,則DE=EF= ,DF= , 由余弦定理得, cos∠DEF= 則∠DEF=120°, 從而異面直線BA1與AC1所成的角為60°.,2.(2014·金華模擬)如圖所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中點,AA1∶AB= 則異面直線AB1與BD所成的角為 .,【解析】如圖所示,取A1C1的中點D1,連接B1D1, 由于D是AC的中點, 所以B1D1∥BD,所以∠AB1D1即為異面直線AB1與BD 所成的角或其補(bǔ)角.連接AD1,設(shè)AB=a,則AA1= a, 所以 在△AB1D1中,由余弦定理得 cos∠AB1D1= 所以∠AB1D1=60°. 所以異面直線AB1與BD所成的角為60°. 答案:60°,3.(2014·寧波模擬)一個正方體紙盒展開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:①AB⊥EF;②AB與CM所成的角為60°;③EF與MN是異面直線;④MN∥CD.以上四個命題中,正確命題的序號是 .,【解析】由展開后的圖形可還原成如圖 所示的紙盒,顯然AB⊥EF,所以①正確; AB∥CM,所以②錯誤;由異面直線的定義 可知,EF與MN是異面直線,所以③正確;同理MN與CD也是異面直線,且所成角為90°,所以④錯誤. 答案:①③,【加固訓(xùn)練】1.(2014·惠州模擬)如圖是三棱錐D-ABC的三視圖,點O在三個視圖中都是所在邊的中點,則異面直線DO和AB所成角的余弦值等于( ),【解析】選A.由題意得如圖的直觀圖,從A出發(fā) 的三條線段AB,AC,AD兩兩垂直且AB=AC=2,AD=1, O是BC中點,取AC中點E,連接DE,DO,OE,則OE=1, 又可知AE=1,由于OE∥AB,故∠DOE即為所求兩異面直線所成的角或其補(bǔ)角.在直角三角形DAE中,DE= ,由于O是中點,在直角三角形ABC中可以求得AO= , 在直角三角形DAO中可以求得DO= .在三角形DOE中,由余弦定理得cos∠DOE= 故所求余弦值為,2.(2014·成都模擬)若兩條異面直線所成的角為60°,則稱這對異面直線為“黃金異面直線對”,在連接正方體各頂點的所有直線中,“黃金異面直線對”共有 對.,【解析】正方體如圖,若要出現(xiàn)所成角為60° 的異面直線,則直線需為面對角線,以AC為例, 與之構(gòu)成黃金異面直線對的直線有4條,分別 是A′B,BC′,A′D,C′D,正方體的面對角線 有12條,所以所求的黃金異面直線對共有 =24對(每一對被計算兩次,所以記好要除以2). 答案:24,3.(2013·長沙模擬)如圖,在正三角形ABC中,D,E,F分別為各邊的中點,G,H分別為DE,AF的中點,將△ABC沿DE,EF,DF折成正四面體P-DEF,則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為 .,【解析】如圖,連接HE,取HE的中點K,連接GK,PK, 則GK∥DH,故∠PGK即為所求的異面直線所成的角 或者其補(bǔ)角. 設(shè)這個正四面體的棱長為2,在△PGK中, 故cos∠PGK= 即異面直線PG與DH所成的角的余弦值是 答案:,【巧思妙解8】巧用補(bǔ)形法求異面直線所成的角 【典例】(2014·銀川模擬)如圖長方體AC1中, AB=12,BC=3,AA1=4,N在A1B1上,且B1N=4,則異 面直線BD1與C1N所成角的余弦值為( ),【解析】常規(guī)解法:選B.如圖所示, 在AB上取點N1使得BN1= AB,連接AD1,在AD1上取點E使得ED1= AD1,連接EN1,CN1,CE, 則EN1∥BD1,CN1∥C1N,所以∠EN1C為異面直線BD1與C1N所成角(或其補(bǔ)角). 因為,連接BC1,在BC1上取點F,使得FC1= BC1,連接EF,CF,可知EF⊥FC,CF= 所以EC= 在△EN1C中,由余弦定理得 cos∠EN1C = 所以BD1與C1N所成角的余弦值為,巧妙解法:選B. 補(bǔ)一個與原長方體相同的,并與原長方體有公共面BC1的長方體B1F,① 如圖所示，連接C1E,NE, 則C1E∥BD1，于是∠NC1E即為異面直線BD1與C1N所成角(或其補(bǔ)角).②,在△NC1E中，根據(jù)已知條件可求 C1N＝5， C1E＝13，EN＝ 由余弦定理，得cos∠NC1E＝ 所以BD1與C1N所成角的余弦值為,【解法分析】,【小試牛刀】在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,則異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值為 .,【解析】常規(guī)解法: 如圖,連接B1D1與A1C1,交于點O1,取BB1的中點M,連 接O1M,則O1M∥D1B,于是∠A1O1M即為異面直線A1C1 與BD1所成的角(或其補(bǔ)角),連接A1M, 在△A1O1M中, A1O1= 由余弦定理得cos∠A1O1M = 所以異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值為 答案:,巧妙解法:補(bǔ)一個與原長方體相同的 并與原長方體有公共面BC1的長方體 B1F,位置如圖所示.連接A1E,C1E,則 ∠A1C1E即為異面直線A1C1與BD1所成的角(或其補(bǔ)角). 在△A1C1E中, 由余弦定理得cos∠A1C1E= 所以異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值為 答案:,