平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例

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1、平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例 課時跟蹤檢測(二十七) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例 1．(2012豫東、豫北十校階段性測試)若向量a ＝(x ＋1,2)和向量b ＝(1，－1)平行，則|a ＋b |＝( ) A.10 B.10 2 C. 2 D.22 2．(2012廣東省考前適應性訓練)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，則a 在b 方向上的投影為( ) A.13 B.13 5 C.65 D.655 3.(2013汕頭質(zhì)檢)如圖，半圓的直徑AB ＝6，O 為圓心，C 為半圓上不同于A ，B 的任 意一點，若P 為半徑OC

2、 上的動點，則(PA u u u r ＋PB u u u r ) PC u u u r 的最小值是( ) A ．－9 2 B.92 C ．2 D ．－2 4．(2012湖南高考)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB u u u r BC u u u r ＝1，則BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.23 5．已知非零向量a ，b 滿足|a ＋b |＝|a －b |＝23 3 |a |，則a ＋b 與a －b 的夾角θ為( ) A ．30 B ．60 C ．120 D ．150 6．(2012廣州統(tǒng)考)如圖，在△ABC

3、 中，AD ⊥AB ，BC u u u r ＝3BD u u u r ， |AD u u u r |＝1，則AC u u u r AD u u u r ＝( ) A ．2 3 B ．3 3 C.3 2 D. 3 7．(2013“江南十?！甭?lián)考)若|a |＝2，|b |＝4，且(a ＋b )⊥a ，則a 與b 的夾角是________． 8．(2012新課標全國卷)已知向量a ，b 夾角為45，且|a |＝1，|2a －b |＝10，則|b |＝________. 9．(2012湛江模擬)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，

4、(a ＋b ) ⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，則向量MN u u u u r 的模為________． 10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n )，a 與b 的夾角是45. (1)求b ； (2)若c 與b 同向，且a 與c －a 垂直，求c . 11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 與b 的夾角是120. (1)計算：①|(zhì)a ＋b |，②|4a －2b |； (2)當k 為何值時，(a ＋2b )⊥(k a －b )? 12．設在平面上有兩個向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α(1)求證：向量a ＋b 與a －b 垂直； (2)當向量

5、3a ＋b 與a －3b 的模相等時，求α的大小． 1．已知兩個非零向量a ，b 滿足|a ＋b |＝|a －b |，則下面結(jié)論正確的是( ) A ．a(chǎn) ∥b B ．a(chǎn) ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a(chǎn) ＋b ＝a －b 2．(2012山東實驗中學四診)△ABC 的外接圓的圓心為O ，半徑為1，若AB u u u r ＋AC u u u r ＝2AO u u u r ，且|OA u u u r |＝|AC u u u r |，則向量BA u u u r 在向量BC u u u r 方向上的射影為( ) A.32 B.32 C ．3

6、 D ．－ 32 3．已知AB u u u r ＝(6,1)，BC u u u r ＝(x ，y )，CD u u u r ＝(－2，－3)． (1)若BC u u u r ∥DA u u u r ，求x 與y 之間的關(guān)系式； (2)在(1)條件下，若AC u u u r ⊥BD u u u r ，求x ，y 的值及四邊形ABCD 的面積． [答 題 欄] A 級 1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5.__________ 6._________ B 級 1.______ 2.______ 7.

7、__________ 8. __________ 9. __________ 答 案 課時跟蹤檢測(二十七) A 級 1．選C 依題意得，－(x ＋1)－21＝0，得x ＝－3，故a ＋b ＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a ＋b |＝(－1)2＋12＝ 2. 2．選D 依題意得，向量a 在b 方向上的投影為a b |b |＝2(－4)＋37(－4)2＋72 ＝65 5. 3．選A 設|PO u u u r |＝x ，則(PA u u u r ＋PB u u u r )PC u u u r ＝2PO u u u r PC u u u r ＝2|PO u

8、 u u r ||PC u u u r |cos π＝－2x (3 －x )＝2????x －322－92，所以x ＝32時，最小值為－9 2 . 4．選A ∵AB u u u r BC u u u r ＝1，且AB ＝2， ∴1＝|AB u u u r ||BC u u u r |cos(π－B )，∴|BC u u u r |cos B ＝－1 2 . 在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ， 即9＝4＋|BC |2－22????－12. ∴|BC |＝ 3. 5．選B 將|a ＋b |＝|a －b |兩邊同時平方得

9、ab ＝0； 將|a －b |＝23 3|a |兩邊同時平方得 b 2＝1 3 a 2， 所以cos θ＝(a ＋b )(a －b )|a ＋b ||a －b |＝a 2－b 243a 2＝1 2. 6.選D 建系如圖． 設B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )， BC u u u r ＝(x C －x B ，y C )， BD u u u r ＝(－x B,1)， ∵BC u u u r ＝3BD u u u r ，∴x C －x B ＝－3x B ?x C ＝(1－3)x B ，y C ＝3，AC u u u r ＝((1－3)x B ，3)，

10、 AD u u u r ＝(0,1)，AC u u u r AD u u u r ＝ 3. 7．解析：設向量a ，b 的夾角為θ.由(a ＋b )⊥a 得(a ＋b )a ＝0，即|a |2＋a b ＝0， ∵|a |＝2，∴a b ＝－4，∴|a ||b |cos θ＝－4，又|b |＝4，∴cos θ＝－12，即θ＝2π 3.∴向量a ，b 的夾角為2π 3 . 答案：2π3 8．解析：∵a ，b 的夾角為45，|a |＝1， ∴a b ＝|a ||b |cos 45＝2 2 |b |， ∴|2a －b |2＝4－42 2 |b |＋|b |2＝10.

11、∴|b |＝3 2. 答案：3 2 9．解析：∵a ∥b ，∴x ＝4.∴b ＝(4，－2)， ∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4. ∴向量MN u u u u r ＝(－8,8)，∴|MN u u u u r |＝8 2. 答案：8 2 10．解：(1)∵a b ＝2n －2，|a |＝5， |b |＝ n 2＋4， ∴cos 45＝ 2n －25n 2＋4 ＝2 2 ， ∴3n 2－16n －12＝0(n >1)． ∴n ＝6

12、或n ＝－2 3(舍)．∴b ＝(－2,6)． (2)由(1)知，a b ＝10，|a |2＝5. 又∵c 與b 同向，故可設c ＝λb (λ>0)． ∵(c －a )a ＝0， ∴λb a －|a |2＝0.∴λ＝ |a |2b a ＝510＝1 2 . ∴c ＝1 2 b ＝(－1,3)． 11．解：由已知得，a b ＝48????－1 2＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a b ＋b 2 ＝16＋2(－16)＋64＝48， ∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a b ＋4b 2 ＝1616－16(－16)＋464＝7

13、68， ∴|4a －2b |＝16 3. (2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )， ∴(a ＋2b )(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a b －2b 2＝0， 即16k －16(2k －1)－264＝0. ∴k ＝－7. 即k ＝－7時，a ＋2b 與k a －b 垂直． 12．解：(1)證明：因為(a ＋b )(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－14＋3 4＝0， 所以a ＋b 與a －b 垂直． (2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，兩邊平方得 3|a |2＋23ab ＋|b |2＝|a |2－23ab ＋3|

14、b |2， 所以2(|a |2－|b |2)＋43ab ＝0. 而|a |＝|b |，所以ab ＝0， 則????－12cos α＋3 2sin α＝0， 即cos(α＋60)＝0， 所以α＋60＝k 180＋90， 即α＝k 180＋30，k ∈Z . 又0≤α＜360，則α＝30或α＝210. B 級 1．選B 因為|a ＋b |＝|a －b |，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，即a b ＝0，故a ⊥b . 2．選A 由已知條件可以知道，△ABC 的外接圓的圓心在線段BC 的中點O 處，因此△ ABC 是直角三角形，且∠A ＝π2.又|OA u u u r |＝|CA

15、 u u u r |，所以∠C ＝π3，∠B ＝π 6，AB ＝3，AC ＝1，故 BA u u u r 在BC u u u r 上的射影|BA u u u r |cos π6＝3 2. 3．解：(1)∵AD u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋CD u u u r ＝(x ＋4，y －2)， ∴DA u u u r ＝－AD u u u r ＝(－x －4,2－y )． 又∵BC u u u r ∥DA u u u r 且BC u u u r ＝(x ，y )， ∴x (2－y )－y (－x －4)＝0， 即x ＋2y ＝0.① (2)由于

16、AC u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＝(x ＋6，y ＋1)， BD u u u r ＝BC u u u r ＋CD u u u r ＝(x －2，y －3)， 又AC u u u r ⊥BD u u u r ， 所以AC u u u r BD u u u r ＝0， 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.② 聯(lián)立①②化簡，得y 2－2y －3＝0. 解得y ＝3或y ＝－1. 故當y ＝3時，x ＝－6， 此時AC u u u r ＝(0,4)，BD u u u r ＝(－8,0)， 所以S ABCD ＝12 |AC u u u r ||BD u u u r |＝16； 當y ＝－1時，x ＝2， 此時AC u u u r ＝(8,0)，BD u u u r ＝(0，－4)， ∴S ABCD ＝12 |AC u u u r ||BD u u u r |＝16.