高考數(shù)學一輪復習 第一章 集合與常用邏輯用語 1.1 集合的概念與運算課件 文.ppt

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第一章 集合與常用邏輯用語,§1.1 集合的概念與運算,,,內(nèi)容索引,,,,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,易錯警示系列,思想方法 感悟提高,練出高分,,,基礎知識 自主學習,1.集合與元素 (1)集合中元素的三個特征： 、 、 . (2)元素與集合的關系是 或 兩種，用符號 或 表示. (3)集合的表示法： 、 、 . (4)常見數(shù)集的記法,確定性,互異性,無序性,屬于,不屬于,∈,?,列舉法,描述法,圖示法,N,N*(或N＋),Z,Q,R,,知識梳理,1,,答案,2.集合間的基本關系,A?B (或B?A),A B (或BA),A＝B,,答案,3.集合的運算,{x|x∈A,或x∈B},{x|x∈A,且x∈B},{x|x∈U，,且x?A},,答案,4.集合關系與運算的常用結(jié)論 (1)若有限集A中有n個元素，則A的子集個數(shù)為 個，非空子集個數(shù)為 個，真子集有 個. (2)A?B?A∩B＝ ?A∪B＝ .,2n,2n－1,2n－1,A,B,,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( ) (2)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.( ) (3){x|x≤1}＝{t|t≤1}.( ) (4)對于任意兩個集合A，B，關系(A∩B)?(A∪B)恒成立.( ) (5)若A∩B＝A∩C，則B＝C.( ) (6)含有n個元素的集合有2n個真子集.( ),×,×,√,√,×,×,,答案,思考辨析,1.(2015·四川)設集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，則A∪B＝_______. 解析 借助數(shù)軸知A∪B＝{x|－1＜x＜3}.,(－1,3),,,考點自測,2,解析答案,2.已知A＝{x|x2－3x＋20}，B＝{x|1xa}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是_____. 解析 因為A＝{x|x2－3x＋20}＝{x|1x2}?B， 所以a≥2.,a≥2,,解析答案,3.(2015·陜西改編)設集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，則M∪N＝_____. 解析 由題意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1].,[0,1],,解析答案,4.(教材改編)已知集合A＝{x|3≤x7}，B＝{x|2x10}，則?R(A∪B)＝______________. 解析 ∵A∪B＝{x|2x10}， ∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}.,{x|x≤2或x≥10},,解析答案,5.已知集合A＝{(x，y)| x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，則A∩B的元素的個數(shù)為__. 解析 集合A表示圓心在原點的單位圓， 集合B表示直線y＝x， 易知直線y＝x和圓x2＋y2＝1相交，且有2個交點， 故A∩B中有2個元素.,2,,解析答案,返回,,題型分類 深度剖析,,,例1 (1)已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是___.,題型一 集合的含義,,解析答案,解析 當x＝0，y＝0時，x－y＝0； 當x＝0，y＝1時，x－y＝－1； 當x＝0，y＝2時，x－y＝－2； 當x＝1，y＝0時，x－y＝1； 當x＝1，y＝1時，x－y＝0； 當x＝1，y＝2時，x－y＝－1； 當x＝2，y＝0時，x－y＝2； 當x＝2，y＝1時， x－y＝1； 當x＝2，y＝2時，x－y＝0. 根據(jù)集合中元素的互異性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5個. 答案 5,(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為____. 解析 由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，,當m＝1時， m＋2＝3且2m2＋m＝3， 根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；,,解析答案,思維升華,,思維升華,(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他類型集合；(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意.分類討論的思想方法常用于解決集合問題.,(1)設集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，則M中的元素個數(shù)為___. 解析 因為集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B， 所以當b＝4時，a＝1,2,3，此時x＝5,6,7. 當b＝5時，a＝1,2,3，此時x＝6,7,8. 所以根據(jù)集合元素的互異性可知，x＝5,6,7,8. 即M＝{5,6,7,8}，共有4個元素.,4,跟蹤訓練1,,解析答案,所以a＝－1，b＝1， 所以b－a＝2.,2,,解析答案,,,題型二 集合間的基本關系,例2 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0x5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為___. 解析 由x2－3x＋2＝0 得x＝1或x＝2， ∴A＝{1,2}. 由題意知B＝{1,2,3,4}. ∴滿足A?C?B的集合C可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4個.,4,,解析答案,(2)已知集合A＝{x|x2－2 017x＋2 0160}，B＝{x|xa}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是______________. 解析 由x2－2 017x＋2 0160， 解得1x2 016， 故A＝{x|1x2 016}，又B＝{x|xa}，A?B如圖所示，,得a≥2 016.,[2 016，＋∞),,解析答案,思維升華,,(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解；(2)已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關系.常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.,思維升華,(1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，則集合A，B之間的關系是_____.,跟蹤訓練2,,解析答案,解得x＝2.由A?B，得x∈B，所以m＝2.,2,,解析答案,,,題型三 集合的基本運算,{2,4},命題點1 集合的運算,例3 (1)設全集U＝{x∈N*|x6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，則?U(A∪B)＝_____. 解析 由題意可知U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}， 所以?U(A∪B)＝{2,4}.,,解析答案,(2)已知集合A＝{x|x－2≥0}，B＝{x|0log2x2}，則?R(A∩B)＝____________. 解析 ∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|1x4}， ∴A∩B＝{x|x≥2}∩{x|1x4}＝{x|2≤x4}，?R(A∩B)＝{x|x2或x≥4}.,{x|x2或x≥4},,解析答案,命題點2 利用集合運算求參數(shù),解析 由A∪B＝A得B?A，有m∈A，,即m＝3或m＝1或m＝0， 又由集合中元素的互異性知m≠1.,0或3,,解析答案,(2)設集合A＝{0,1}，集合B＝{x|xa}，若A∩B＝?，則實數(shù)a的取值范圍是_____. 解析 由A∩B＝?可得，0?B,1?B， 則a≥1.,a≥1,,解析答案,思維升華,,思維升華,(1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況.(2)運算過程中要注意集合間的特殊關系的使用，靈活使用這些關系，會使運算簡化.,(1)(2015·天津)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，則集合A∩(?UB)＝_____. 解析 由題意知，?UB＝{2,5,8}， 則A∩(?UB)＝{2,5}.,{2,5},跟蹤訓練3,,解析答案,(2)已知集合A＝{x|x2或x2或x－1}，A∪B＝R，A∩B＝{x|2x≤4}， 可得B＝{x|－1≤x≤4}， 則a＝－1，b＝4，故 ＝－4.,－4,,解析答案,,,題型四 集合的新定義問題,,解析答案,思維升華,解析 (1)集合B不是“好集”，假設集合B是“好集”， 因為－1∈B,1∈B， 所以－1－1＝－2∈B，這與－2?B矛盾. (2)有理數(shù)集Q是“好集”， 因為0∈Q,1∈Q，對任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0時， ∈Q， 所以有理數(shù)集Q是“好集”. (3)因為集合A是“好集”，所以0∈A， 若x∈A，y∈A， 則0－y∈A，即－y∈A， 所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A. 答案 2,,思維升華,,思維升華,解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點：(1)緊扣新定義.首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點的關鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì).解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關鍵之處用好集合的運算與性質(zhì).,已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有兩個元素的子集，且滿足下列三個條件：①若a1∈A，則a2∈A；②若a3?A，則a2?A；③若a3∈A，則a4?A.則集合A＝________.(用列舉法表示) 解析 假設a1∈A，則a2∈A，則由若a3?A， 則a2?A可知，a3∈A，與題意不符， ∴假設不成立；假設a4∈A，則a3?A，則a2?A，且a1?A，與題意不符， ∴假設不成立，故集合A＝{a2，a3}(經(jīng)檢驗知符合題意).,{a2，a3},跟蹤訓練4,,解析答案,返回,,易錯警示系列,,典例 設集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}.若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是________.,,易錯警示系列,1.遺忘空集致誤,易錯分析 集合B為方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的實數(shù)根所構(gòu)成的集合，由B?A，可知集合B中的元素都在集合A中，在解題中容易忽視方程無解，即B＝?的情況，導致漏解.,,易錯分析,解析答案,返回,溫馨提醒,解析 因為A＝{0，－4}， 所以B?A分以下三種情況：,①當B＝A時，B＝{0，－4}， 由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩個根，,,解析答案,溫馨提醒,解得a＝1；,②當B≠?且BA時，B＝{0}或B＝{－4}， 并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0， 解得a＝－1，此時B＝{0}滿足題意；,③當B＝?時，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)0， 解得a－1. 綜上所述，所求實數(shù)a的取值范圍是a≤－1或a＝1. 答案 (－∞，－1]∪{1},,溫馨提醒,,溫馨提醒,,返回,(1)根據(jù)集合間的關系求參數(shù)是高考的一個重點內(nèi)容.解答此類問題的關鍵是抓住集合間的關系以及集合元素的特征.(2)已知集合B，若已知A?B或A∩B＝?，則考生很容易忽視A＝?而造成漏解.在解題過程中應根據(jù)集合A分三種情況進行討論.,,思想方法 感悟提高,1.集合中的元素的三個特征，特別是無序性和互異性在解題時經(jīng)常用到.解題后要進行檢驗，要重視符號語言與文字語言之間的相互轉(zhuǎn)化. 2.對連續(xù)數(shù)集間的運算，借助數(shù)軸的直觀性，進行合理轉(zhuǎn)化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關系，求其中參數(shù)的取值范圍時，要注意單獨考察等號能否取到. 3.對離散的數(shù)集間的運算，或抽象集合間的運算，可借助Venn圖.這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn).,方法與技巧,1.解題中要明確集合中元素的特征，關注集合的代表元素(集合是點集、數(shù)集還是圖形集).對可以化簡的集合要先化簡再研究其關系運算. 2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時刻關注對空集的討論，防止漏解. 3.解題時注意區(qū)分兩大關系：一是元素與集合的從屬關系；二是集合與集合的包含關系. 4.Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法時要特別注意端點是實心還是空心.,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，則實數(shù)a＝________.,15,16,17,18,,解析答案,解析 若a＋2＝1，則a＝－1， 此時(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1，與集合元素的互異性矛盾； 若(a＋1)2＝1，則a＝0或－2. 當a＝0時，a＋2＝2，a2＋3a＋3＝3，A＝{1,2,3}； 當a＝－2時，a＋2＝0，a2＋3a＋3＝1，與集合元素的互異性矛盾； 若a2＋3a＋3＝1，則a＝－1或a＝－2. 當a＝－1時，a＋2＝1，與集合元素的互異性矛盾， 當a＝－2時，a＋2＝0，(a＋1)2＝1，與集合元素的互異性矛盾. 綜上可知，只有a＝0符合要求. 答案 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,2.設集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，則集合B中的元素個數(shù)為___. 解析 ∵a∈A，b∈A，x＝a＋b， ∴x＝2,3,4,5,6,8. ∴B中共有6個元素.,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,3.(2015·課標全國Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為___. 解析 A＝{…，5,8,11,14,17，…}，B＝{6,8,10,12,14}， 故集合A∩B中有兩個元素.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,所以A＝{3，－1，－2}，B＝{－2，－1,3}，符合條件. 故x2＋y2＝12＋22＝5.,5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,5.已知集合A，B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩(?UB)＝____. 解析 ∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}， ∴A∪B＝{1,2,3}. 又∵B＝{1,2}， ∴{3}?A?{1,2,3}， 又?UB＝{3,4}， ∴A∩(?UB)＝{3}.,{3},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,6.設集合A＝{3，x2}，B＝{x，y}，若A∩B＝{2}，則y的值為____個. 解析 由A∩B＝{2}得x2＝2，,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,7.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，則P的子集共有___個. 解析 ∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}， ∴M∩N＝{1,3}. ∴M∩N的子集共有22＝4個.,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,8.已知集合A＝{x|－1x0}，B＝{x|x≤a}，若A?B，則a的取值范圍為__________. 解析 用數(shù)軸表示集合A，B(如圖)，,[0，＋∞),由A?B得a≥0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,9.已知集合A＝{x|x2－2x＋a0}，且1?A，則實數(shù)a的取值范圍是__________. 解析 ∵1?{x|x2－2x＋a0}， ∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}， 即1－2＋a≤0， ∴a≤1.,(－∞，1],1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,10.已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(?UA)＝?，則m的可能取值組成的集合為___________.,解析 A＝{－1,2}，B＝?時，m＝0； B＝{－1}時，m＝1；B＝{2}時，m＝－ .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,11.已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，則A∩B＝______________. 解析 A、B都表示點集， A∩B即是由A中在直線x＋y－1＝0上的所有點組成的集合， 代入驗證即可.,{(0,1)，(－1,2)},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,12.已知集合A＝{x∈R||x＋2|3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝___，n＝__. 解析 A＝{x∈R||x＋2|3}＝{x∈R|－5x1}， 由A∩B＝(－1，n)可知m1， 則B＝{x|mx2}， 畫出數(shù)軸，可得m＝－1，n＝1.,－1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,13.已知集合A＝{(x，y)|y＝log2x}，B＝{(x，y)|y＝x2－2x}，則A∩B的元素有___個. 解析 在同一直角坐標系下畫出函數(shù)y＝log2x與y＝x2－2x的圖象，如圖所示： 由圖可知y＝log2x與y＝x2－2x圖象有兩個交點， 則A∩B的元素有2個.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,14.全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋20}，B＝{x|x－a≤0}，若?UB?A，則實數(shù)a的取值范圍是__________. 解析 A＝{x|x2－3x＋20}＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，B＝{x|x≤a}， 則?UB＝(a，＋∞). ∵(a，＋∞)?(－∞，1)∪(2，＋∞)， ∴a≥2.,[2，＋∞),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,由于在[－3,3]上，x－50， 所以x＋1－a≤0，即a≥x＋1在[－3，3]上恒成立， 所以a≥4.,[4，＋∞),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,當n＝0時，x＝－2；n＝1時不合題意； n＝2時，x＝2；n＝3時，x＝1；n≥4時，x?Z；n＝－1時，x＝－1； n≤－2時，x?Z. 故A＝{－2,2,1，－1}， 又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以?UA＝{0}.,{0},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,17.已知集合A＝{x|1≤x5}，C＝{x|－ax≤a＋3}.若C∩A＝C，則a的取值范圍是________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,解析 因為C∩A＝C，所以C?A. ①當C＝?時，滿足C?A，,②當C≠?時，要使C?A，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,答案 (－∞，－1],綜上，a的取值范圍是(－∞，－1].,18.已知集合A＝{(x，y)|y＝a}，B＝{(x，y)|y＝bx＋1，b0，b≠1}，若集合A∩B只有一個真子集，則實數(shù)a的取值范圍是_________. 解析 由于集合B中的元素是指數(shù)函數(shù)y＝bx的圖象向上平移一個單位長度后得到的函數(shù)圖象上的所有點， 要使集合A∩B只有一個真子集， 那么y＝bx＋1(b0，b≠1)與y＝a的圖象只能有一個交點， 所以實數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞).,(1，＋∞),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,返回,