《高三數(shù)學二輪復習 第一篇 專題通關(guān)攻略 專題四 數(shù)列 14_1 等差數(shù)列、等比數(shù)列課件 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學二輪復習 第一篇 專題通關(guān)攻略 專題四 數(shù)列 14_1 等差數(shù)列、等比數(shù)列課件 理 新人教版（94頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第 一 講等 差 數(shù) 列 、 等 比 數(shù) 列 【 知 識 回 顧 】1.等 差 數(shù) 列(1)通 項 公 式 :an=_=am+_.(2)等 差 中 項 公 式 :2an=_(n N*,n 2).(3)前 n項 和 公 式 :Sn=_=_.a1+(n-1)d (n-m)dan-1+an+11 nn(a a )2 1 n n 1na d2 (4)性 質(zhì) (n,m,l,k,p均 為 正 整 數(shù) ): 若 m+n=l+k,則 am+an=_(反 之 不 一 定 成 立 );特 別地 ,當 m+n=2p時 ,有 am+an=_; 若 an、 bn是 等 差 數(shù) 列 ,則 kan+tbn(k、 t是 非
2、零常 數(shù) )是 等 差 數(shù) 列 ; al+ak2ap 等 差 數(shù) 列 的 “ 依 次 每 m項 的 和 ” 即 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m, 仍 是 等 差 數(shù) 列 . 2.等 比 數(shù) 列(1)等 比 數(shù) 列 的 通 項 公 式 :an=_=_.(2)等 比 中 項 公 式 :an2 =_(n N*,n 2).(3)等 比 數(shù) 列 的 前 n項 和 公 式 :Sn= _(q=1)，_=_,(q 1). a1qn-1 amqn-man-1 an+1na11 na a q1 q n1a (1 q )1 q (4)性 質(zhì) (n,m,l,k,p均 為 正 整 數(shù) ): 若 m+n=l+k,則
3、am an=_(反 之 不 一 定 成 立 );特 別 地 ,當 m+n=2p時 ,有 am an=_; 當 n為 偶 數(shù) 時 , =q(公 比 ); Sm,S2m-Sm,S3m-S2m, (Sm 0)成 等 比 數(shù) 列 .al akSS偶奇ap2 【 易 錯 提 醒 】1.忽 略 條 件 致 誤 :應 用 公 式 an=Sn-Sn-1時 忽 略 其 成 立 的條 件 n 2,n N*.2.不 能 準 確 掌 握 數(shù) 列 的 單 調(diào) 性 致 誤 :等 差 數(shù) 列 的 單 調(diào) 性只 取 決 于 公 差 d的 正 負 ,等 比 數(shù) 列 的 單 調(diào) 性 既 要 考 慮 公比 q,又 要 考 慮 首
4、項 . 3.忽 略 對 公 比 的 討 論 致 誤 :求 等 比 數(shù) 列 的 前 n項 和 時 ,一定 要 先 討 論 公 比 q是 否 為 1,然 后 選 用 相 應 的 公 式 求 解 .4.注 意 隱 含 條 件 :利 用 二 次 函 數(shù) 求 an或 Sn的 最 值 時 ,易忽 略 條 件 n N*. 【 考 題 回 訪 】1.(2016 全 國 卷 )已 知 等 差 數(shù) 列 an前 9項 的 和 為27,a10=8,則 a100= ( )A.100 B.99 C.98 D.97 【 解 析 】 選 C.方 法 一 :由 題 意 可 知 , 解 得 a1=-1,d=1,所 以 a100=
5、-1+99 1=98.方 法 二 :由 等 差 數(shù) 列 性 質(zhì) 可 知 :S9= =9a5=27,故 a5=3,而 a10=8,因 此 公 差 d= =1,所 以 a100=a10+90d=98. 11a 4d 3,a 9d 8, 1 9 59 a a 9 2a2 2 10 5a a10 5 2.(2015 全 國 卷 )設(shè) Sn是 等 差 數(shù) 列 an的 前 n項 和 ,若 a1+a3+a5=3,則 S5= ( )A.5 B.7 C.9 D.11 【 解 析 】 選 A.a1+a3+a5=3a3=3 a3=1,S5= =5a3=5. 1 55 a a2 3.(2014 全 國 卷 )等 差
6、數(shù) 列 an的 公 差 為 2,若 a2,a4,a8成 等 比 數(shù) 列 ,則 an的 前 n項 和 Sn= ( )A.n(n+1) B.n(n-1)C. D. n n 12 n n 12 【 解 析 】 選 A.因 為 d=2,a2,a4,a8成 等 比 ,所 以 a42=a2a8,即 (a2+2d)2=a2(a2+6d),解 得 a2=4,a1=2.所 以 利 用 等 差 數(shù)列 的 求 和 公 式 可 求 得 Sn=n(n+1). 4.(2016 江 蘇 高 考 )已 知 an是 等 差 數(shù) 列 ,Sn是 其 前 n項 和 .若 a1+a22=-3,S5=10,則 a9的 值 是 _. 【
7、解 析 】 設(shè) 等 差 數(shù) 列 的 公 差 為 d,則 由 S5=10得 a3=2,因為 a1+a22=-3,所 以 (2-2d)+(2-d)2=-3,整 理 解 得 d=3,所以 a9=a3+6d=2+18=20.答 案 :20 5.(2015 全 國 卷 )數(shù) 列 an中 ,a1=2,an+1=2an,Sn為an的 前 n項 和 ,若 Sn=126,則 n=_. 【 解 析 】 因 為 an+1=2an,所 以 數(shù) 列 an是 首 項 a1=2,公 比q=2的 等 比 數(shù) 列 ,由 Sn=126,可 得 n=6.答 案 :6 熱 點 考 向 一 等 差 (比 )數(shù) 列 的 基 本 運 算命
8、 題 解 讀 :主 要 考 查 利 用 等 差 、 等 比 數(shù) 列 的 通 項 公 式 、前 n項 和 公 式 ,在 這 兩 種 數(shù) 列 中 的 五 個 基 本 量 的 “ 知 三求 二 ” 運 算 以 及 求 最 值 ,以 選 擇 題 、 填 空 題 為 主 . 【 典 例 1】 (1)(2015 全 國 卷 )已 知 an是 公 差 為 1的等 差 數(shù) 列 ,Sn為 an的 前 n項 和 ,若 S8=4S4,則 a10=( )A. B. C.10 D.12172 192 (2)(2016 全 國 卷 )設(shè) 等 比 數(shù) 列 an滿 足 a1+a3=10, a2+a4=5,則 a1a2 an的
9、 最 大 值 為 _. 【 解 題 導 引 】 (1)依 據(jù) 等 差 數(shù) 列 的 通 項 公 式 及 前 n項 和公 式 求 解 .(2)先 利 用 等 比 數(shù) 列 的 通 項 公 式 構(gòu) 建 首 項 a1與 公 式 q的方 程 組 ,求 出 a1,q,得 到 an的 通 項 公 式 ,再 將 a1a2 an表 示 為 n的 函 數(shù) ,進 而 求 最 大 值 . 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)選 B.設(shè) 等 差 數(shù) 列 的 首 項 為 a1,則S8=8a1+ =8a1+28,S4=4a1+ =4a1+6,因 為 S8=4S4,即 8a1+28=16a1+24,所 以 a1= ,則 a10=a1
10、+(10-1)d= 8 8 1 12 4 4 1 12 12 1 199 .2 2 (2)由 于 an是 等 比 數(shù) 列 ,設(shè) an=a1qn-1,其 中 a1是 首 項 ,q是 公 比 . 所 以 a1 a2 an= 2 11 3 1 1 32 4 1 1n 4n a 8,a a 10, a a q 10, 1a a 5, q .a q a q 5, 21a ( ) ,2 所以即解得：故 21 1 7 49n n 7 (n ) 3 2 n 4 2 2 2 41 1 1( ) ( ) ( ) .2 2 2 當 n=3或 4時 , 取 到 最 小 值 -6,此 時 取 到 最 大 值 26.所
11、以 a1 a2 an的 最 大 值 為 64.答 案 :64 21 7 49(n ) 2 2 4 21 7 49(n ) 2 2 41( )2 【 規(guī) 律 方 法 】 等 差 (比 )數(shù) 列 基 本 運 算 的 解 題 思 路(1)設(shè) 基 本 量 a1和 公 差 d(公 比 q).(2)列 、 解 方 程 組 :把 條 件 轉(zhuǎn) 化 為 關(guān) 于 a1和 d(q)的 方 程(組 ),然 后 求 解 ,注 意 整 體 計 算 ,以 減 少 運 算 量 . 【 題 組 過 關(guān) 】1.(2016 呂 梁 一 模 )已 知 Sn是 公 差 不 為 0的 等 差 數(shù) 列an的 前 n項 和 ,且 S1,S2
12、,S4成 等 比 數(shù) 列 ,則 等 于 ( )A.4 B.6 C.8 D.10 2 31a aa 【 解 析 】 選 C.設(shè) 公 差 為 d,則 S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,因 為 S1,S2,S4成 等 比 數(shù) 列 ,所 以 S22=S1S4,即 (2a1+d)2= a1(4a1+6d),解 得 d=0(舍 去 )或 d=2a1,所 以 1 1 11 1a d a 2d 8a 8.a a 2 31a aa 2.(2016 邯 鄲 一 模 )設(shè) an是 首 項 為 a1,公 差 為 -1的 等差 數(shù) 列 ,Sn為 其 前 n項 和 ,若 S1,S2,S4成 等 比 數(shù) 列
13、 ,則 a1= ( )A.2 B.-2 C. D.-12 12 【 解 析 】 選 D.因 為 S1,S2,S4成 等 比 數(shù) 列 ,所 以 S22=S1S4,即 (a1+a1-1)2=a1 ,解 得 a1=- .1 1(4a 4 3)2 12 3.已 知 數(shù) 列 an中 ,a1=1,an=an-1+ (n 2),則 數(shù) 列 an的 前 9項 和 等 于 _. 12 【 解 析 】 當 n 2時 ,an=an-1+ 且 a2=a1+ ,所 以 an是首 項 為 1,公 差 是 的 等 差 數(shù) 列 ,所 以 S9=9 1+ =9+18=27.答 案 :27 12 1212 9 82 12 【 加
14、 固 訓 練 】1.等 差 數(shù) 列 an的 前 n項 和 Sn,若 a1=2,S3=12,則 a6=( )A.8 B.10 C.12 D.14【 解 析 】 選 C.由 題 意 得 , 解 得 所 以 a6=a1+5d=12.1 1a 23a 3d 12 ，1a 2d 2， 2.(2016 重 慶 一 模 )在 等 差 數(shù) 列 an中 ,a1=2,a3+a5=10,則 a7= ( )A.5 B.8 C.10 D.14【 解 析 】 選 B.設(shè) 公 差 為 d,因 為 a1=2,所 以a3+a5=2+2d+2+4d=4+6d=10,解 得 d=1,所 以 a7=a1+6d=2+6=8. 3.(2
15、016 唐 山 二 模 )設(shè) x,y,z是 實 數(shù) ,若 9x,12y,15z成等 比 數(shù) 列 ,且 成 等 差 數(shù) 列 ,則 =_.1 1 1x y z，x zz x 【 解 析 】 由 題 意 知 解 得 從 而答 案 : 212y 9x 15z2 1 1y x z ，2 2 212 16 32xz y y x z y9 15 15 15， 2 22 2 x z 2xz x zx z x z 2z x xz xz xz 2 2232( ) y15 216 y15 341534.15 熱 點 考 向 二 等 差 (比 )數(shù) 列 的 性 質(zhì)命 題 解 讀 :主 要 考 查 利 用 性 質(zhì) 求
16、解 基 本 量 及 前 n項 和 的最 值 問 題 ,以 選 擇 題 、 填 空 題 為 主 . 【 典 例 2】 (1)(2016 長 沙 一 模 )等 差 數(shù) 列 an中 ,若a4+a6+a8+a10+a12=120,則 S15的 值 為 ( )A.180 B.240 C.360 D.720 (2)(2016 開 封 一 模 )設(shè) 等 比 數(shù) 列 an的 前 n項 和 為 Sn,若 Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,則 m= ( )A.3 B.4 C.5 D.6 【 解 題 導 引 】 (1)利 用 等 差 數(shù) 列 的 性 質(zhì) 及 前 n項 和 公 式求 解 .(2)根 據(jù) 等
17、比 數(shù) 列 的 通 項 公 式 和 前 n項 和 公 式 ,建 立 方 程組 即 可 解 得 m的 值 . 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)選 C.因 為 數(shù) 列 an是 等 差 數(shù) 列 ,所 以a4+a6+a8+a10+a12=5a8,又 因 為 a4+a6+a8+a10+a12=120,所以 5a8=120,S15= =15a8=3 120=360. 1 1515 a a2 (2)選 C.在 等 比 數(shù) 列 中 ,因 為 Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,所 以 am=Sm-Sm-1=-11-5=-16,am+1=Sm+1-Sm=21-(-11)=32,則 公 比 q= =-2,因
18、 為 Sm=-11,所 以 =-11, 又 am+1=a1(-2)m=32, 兩 式 聯(lián) 立 解 得 m=5,a 1=-1.m 1ma 32a 16 m1a 1 21 2 【 規(guī) 律 方 法 】 等 差 、 等 比 數(shù) 列 性 質(zhì) 問 題 的 求 解 策 略(1)解 題 關(guān) 鍵 :抓 住 項 與 項 之 間 的 關(guān) 系 及 項 的 序 號 之 間的 關(guān) 系 ,從 這 些 特 點 入 手 選 擇 恰 當 的 性 質(zhì) 進 行 求 解 .(2)運 用 函 數(shù) 性 質(zhì) :數(shù) 列 是 一 種 特 殊 的 函 數(shù) ,具 有 函 數(shù) 的一 些 性 質(zhì) ,如 單 調(diào) 性 、 周 期 性 等 ,可 利 用 函
19、數(shù) 的 性 質(zhì) 解題 . 【 題 組 過 關(guān) 】1.(2016 太 原 一 模 )在 等 差 數(shù) 列 an中 ,有 3(a3+a5)+ 2(a7+a10+a13)=48,則 此 數(shù) 列 的 前 13項 和 為 ( )A.24 B.39 C.52 D.104 【 解 析 】 選 C.因 為 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,利 用 等 差 數(shù) 列 的 性 質(zhì) 可 得 6a4+6a10=48,所 以 a1+a13=a4+a10=8,所 以 S13= =52. 1 1313 a a 13 82 2 2.設(shè) 等 差 數(shù) 列 的 公 差 為 d,若 數(shù) 列 為 遞 減 數(shù) 列 ,則 (
20、 )A.d0 B.d0 D.a1d0 1 na a2 【 解 析 】 選 D.由 于 數(shù) 列 為 遞 減 數(shù) 列 ,得 再 由 指 數(shù) 函 數(shù) 性 質(zhì) 得 a1ana1an-1,由 等 差 數(shù) 列 的 公 差 為 d知 ,an-an-1=d,所 以 a1ana1an-1,a1an-a1an-10,所 以a1(an-an-1)0,即 a1d0,所 以 a25= .所 以 a1 a2 a25 a48 a49=(a25)5=9 .3 3 4.(2016 衡 陽 二 模 )設(shè) 等 差 數(shù) 列 an的 前 n項 和 為 Sn,若 -a2 015a10,且 S2 0170 B.S2 0150C.a2 01
21、50,且 a2 0170 D.a2 0150 【 解 析 】 選 A.因 為 -a2 015a10,a1+a2 0170,S2 017= 0,且 第 2項 、 第5項 、 第 14項 分 別 是 等 比 數(shù) 列 bn的 第 2項 、 第 3項 、 第4項 .(1)求 數(shù) 列 an,bn的 通 項 公 式 . (2)若 數(shù) 列 cn對 任 意 n N*,均 有 =an+1成 立 . 求 證 : =2(n 2); 求 c1+c2+ +c2 015. 1 2 n1 2 nc c cb b b nncb 【 解 析 】 (1)因 為 a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,所 以 (1+4d
22、)2=(1+d)(1+13d),解 得 d=2(因 為 d0),所 以 an=1+(n-1) 2=2n-1,又 因 為 b2=a2=3,a5=b3=9,所 以 等 比 數(shù) 列 bn的 公 比q= =3,所 以 bn=b2qn-2=3n-1.32bb (2) 因 為 =an+1,所 以 當 n 2時 , =an,兩 式 相 減 ,得 =an+1-an=2(n 2).1 2 n1 2 nc c cb b b 1 2 n 11 2 n 1c c cb b b nncb 由 得 cn=2bn=2 3n-1(n 2).當 n=1時 , =a2,所 以 c1=3不 滿 足 上 式 ,所 以 c1+c2+ +c2 015=3+2 31+2 32+ +2 32 014=3+ =3-3(1-32014)=32015.11cb2 0146(1 3 )1 3
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