高三數學二輪復習 專題限時集訓5 專題2 突破點5 數列的通項與求和 理-人教高三數學試題

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1、專題限時集訓(五)　數列的通項與求和 建議A、B組各用時：45分鐘] A組　高考達標] 一、選擇題 1．(2016·石家莊二模)已知數列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，則an＝(　　) A．2n＋1　　　　 B．2n C．2n－1 D．2n－2 A　由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，兩式相減可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以數列{an}是以4為首項，2為公比的等比數列，則an＝4×2n－1＝2n＋1，故選A.] 2．數列{an}滿足a1＝1，且當n≥2時

2、，an＝an－1，則a5＝(　　) A. B． C．5 D．6 A　因為a1＝1，且當n≥2時，an＝an－1，則＝，所以a5＝····a1，即a5＝××××1＝.故選A.] 3.＋＋＋…＋的值為(　　) A.　　　　　　 B.－ C.－ D.－＋ C　∵＝＝ ＝， ∴＋＋＋…＋＝ ＝ ＝－.] 4．在等差數列{an}中，a1＝－2 012，其前n項和為Sn，若－＝2 002，則S2 014的值等于(　　) A．2 011 B．－2 012 C．2 014 D．－2 013 C　等差數列中，Sn＝na1＋d，＝a1＋(n－1)，即數列是首項為a1＝－2

3、012，公差為的等差數列．因為－＝2 002，所以(2 012－10)＝2 002，＝1，所以S2 014 ＝2 014(－2 012)＋(2 014－1)×1] ＝2 014，選C.] 5．數列{an}滿足a1＝1，且對任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，則＋＋＋…＋等于(　　) A. B． C. D. A　令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，上述n－1個式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n， 所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝， 因此＝＝2， 所以＋＋＋…＋ ＝2 ＝2

4、＝.故選A.] 二、填空題 6．(2016·西安模擬)設Sn是數列{an}的前n項和，an＝4Sn－3，則S4＝__________. 【導學號：85952025】 　∵an＝4Sn－3，∴當n＝1時，a1＝4a1－3，解得a1＝1，當n≥2時，∵4Sn＝an＋3，∴4Sn－1＝an－1＋3，∴4an＝an－an－1，∴＝－，∴{an}是以1為首項，－為公比的等比數列，∴S4＝＝×＝.] 7．(2016·廣州二模)設數列{an}的前n項和為Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，則數列的前n項和為__________． 　令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－

5、1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，則數列的前n項和為＋＋…＋＝＝.] 8．已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2an＋1(n∈N*)，且a1＝1，則通項公式an＝________. n∈N*　由Sn＝2an＋1(n∈N*)可得Sn－1＝2an(n≥2，n∈N*)兩式相減得： an＝2an＋1－2an，即＝(n≥2，n∈N*)． 又由a1＝1及Sn＝2an＋1(n∈N*)可得a2＝， 所以數列{an}從第二項開始成一個首項為a2＝，公比為的等比數列， 故當n>1，n∈N*時有an＝·n－2， 所以有an＝n∈N*.] 三、解答題 9．(

6、2016·鄭州模擬)已知等差數列{an}中a2＝5，前4項和S4＝28. (1)求數列{an}的通項公式； (2)若bn＝(－1)nan，求數列{bn}的前2n項和T2n. 解]　(1)設等差數列{an}的公差為d，則由已知條件得 2分 ∴4分 ∴an＝a1＋(n－1)×d＝4n－3(n∈N*).6分 (2)由(1)可得bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)，8分 T2n＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(8n－3)＝4×n＝4n(n∈N*).12分 10．設數列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*. (1)求數列{an}的通項公式； (2

7、)設bn＝，求數列{bn}的前n項和Sn. 解]　(1)因為a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① 所以當n≥2時，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②2分 ①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2).4分 在①中，令n＝1，得a1＝，滿足an＝，所以an＝(n∈N*).6分 (2)由(1)知an＝，故bn＝＝n×3n. 則Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，③ 3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，④8分 ③－④得－2Sn＝3＋32＋33＋34＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1，11分 所以Sn＝＋(n∈N*).

8、12分 B組　名校沖刺] 一、選擇題 1．已知函數y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)所過定點的橫、縱坐標分別是等差數列{an}的第二項與第三項，若bn＝，數列{bn}的前n項和為Tn，則T10等于(　　) A.　　　　　　 B. C. D. B　y＝loga(x－1)＋3恒過定點(2,3)， 即a2＝2，a3＝3，又{an}為等差數列， ∴an＝n，∴bn＝， ∴T10＝1－＝，故選B.] 2．已知數列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于(　　) A．445 B．765 C．1 080 D．3

9、105 B　∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－an＝3，∴{an}是以－60為首項，3為公差的等差數列， ∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63. 令an≤0，得n≤21，∴前20項都為負值． ∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋a21＋…＋a30＝－2S20＋S30. ∵Sn＝n＝×n，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765，故選B.] 3．設數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}為常數列，則an＝(　　) A. B． C. D. B　由題意知，Sn＋nan＝2，當n≥2時，(n＋1)an＝

10、(n－1)an－1， 從而···…·＝··…·，有an＝，當n＝1時上式成立，所以an＝.故選B.] 4．(2016·湖北七校2月聯考)中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了(　　) A．192里 B．96里 C．48里 D．24里 B　由題意，知每天所走路程形成以a1為首項，公比為的等比數列，則＝378，解得a1＝192，則a2＝96，即第二天走了

11、96里．故選B.] 二、填空題 5．(2016·山西四校聯考)已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，則S2 016＝__________. 【導學號：85952026】 3×21 008－3　∵數列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n①，∴n＝1時，a2＝2，n≥2時，an·an－1＝2n－1②，∵①÷②得＝2，∴數列{an}的奇數項、偶數項分別成等比數列，∴S2 016＝＋＝3×21 008－3.] 6．設數列{an}的前n項和為Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝__________，S5＝__________. 1　12

12、1　∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1， ∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3， ∴數列是公比為3的等比數列， ∴＝3. 又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1， ∴S5＋＝×34＝×34＝， ∴S5＝121.] 三、解答題 7．(2016·太原二模)已知數列{an}的前n項和為Sn，首項為a1，且，an，Sn成等差數列． (1)求數列{an}的通項公式； (2)數列{bn}滿足bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)，求數列的前n項和Tn. 解]　(1)∵，an，Sn成等差數列，∴2an＝Sn＋，1分 當n＝1時，2a1＝S1＋，∴a1＝

13、，2分 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴＝2，4分 ∴數列{an}是首項為，公比為2的等比數列，an＝2n－2(n∈N*).6分 (2)∵bn＝log2a2n＋1×log2a2n＋3＝log222n＋1－2×log222n＋3－2 ＝(2n－1)(2n＋1)，8分 ∴＝×＝，10分 ∴Tn＝1－＋－＋…＋－ ＝＝.12分 8．已知首項都是1的兩個數列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)滿足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0. (1)令cn＝，求數列{cn}的通項公式； (2)若bn＝3n－1，求數列{an}的前n項和Sn. 解]　(

14、1)因為anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0(bn≠0，n∈N*)， 所以－＝2，2分 即cn＋1－cn＝2.3分 又c1＝＝1， 所以數列{cn}是以首項c1＝1，公差d＝2的等差數列，故cn＝2n－1.5分 (2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，7分 于是數列{an}的前n項和 Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1，8分 3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，9分 相減得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，11分 所以Sn＝(n－1)3n＋1.12分