高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.1.3 導數(shù)的幾何意義課件 新人教版選修2-2.ppt

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1.1.3 導數(shù)的幾何意義,第一章 1.1 變化率與導數(shù),1.理解曲線的切線的含義. 2.理解導數(shù)的幾何意義. 3.會求曲線在某點處的切線方程. 4.理解導函數(shù)的定義，會用定義法求簡單函數(shù)的導函數(shù).,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 曲線的切線,,答案,切線,如圖所示，當點Pn沿著曲線y＝f(x)無限趨近于點P時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為點P處的 .,(1)曲線y＝f(x)在某點處的切線與該點的位置有關； (2)曲線的切線，并不一定與曲線只有一個交點，可以有多個，甚至可以有無窮多個.,,答案,思考 有同學認為曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線l與曲線y＝f(x)只有一個交點，你認為正確嗎？,答案 不正確.曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線l與曲線y＝f(x)的交點個數(shù)不一定只有一個，如圖所示.,函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導數(shù)f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處切線的 .,知識點二 導數(shù)的幾何意義,,答案,斜率,答案 函數(shù) f(x)在x0處有導數(shù)，則在該點處函數(shù) f(x)表示的曲線必有切線，且在該點處的導數(shù)就是該切線的斜率.函數(shù) f(x)表示的曲線在點(x0，f(x0))處有切線，但函數(shù) f(x)在該點處不一定可導，如 f(x)＝ 在x＝0處有切線，但不可導.,,答案,思考 (1)曲線的割線與切線有什么關系？,答案 曲線的切線是由割線繞一點轉(zhuǎn)動，當割線與曲線的另一交點無限接近這一點時趨于的直線.曲線的切線并不一定與曲線有一個交點.,(2)曲線在某點處的切線與在該點處的導數(shù)有何關系？,知識點三 導函數(shù)的概念,,答案,對于函數(shù)y＝f(x)，當x＝x0時，f′(x0)是一個確定的數(shù)，這樣，當x變化時，f′(x)便是關于x的一個函數(shù)，稱它為函數(shù) y＝f(x)的 ，簡稱導數(shù)，也可記作y′， 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù) 就是函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)(x∈(a，b))上的導數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，即 ＝f′(x0)，所以函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)也記作f′(x0).,導函數(shù),,思考 如何正確理解“函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)”“導函數(shù)”“導數(shù)”三者之間的區(qū)別與聯(lián)系？,,返回,答案,答案 “函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)”是一個數(shù)值，是針對x0而言的，與給定的函數(shù)及x0的位置有關，而與Δx無關； “導函數(shù)”簡稱為“導數(shù)”，是一個函數(shù)，導函數(shù)是對一個區(qū)間而言的，它是一個確定的函數(shù)，依賴于函數(shù)本身，而與x，Δx無關.,題型探究 重點突破,題型一 求曲線的切線方程,,解析答案,反思與感悟,1.求曲線在某點處的切線方程 例1 求曲線y＝f(x)＝x3－x＋3在點(1,3)處的切線方程.,解 因為點(1,3)在曲線上，過點(1,3)的切線的斜率為,故所求切線方程為y－3＝2(x－1)， 即2x－y＋1＝0.,,反思與感悟,若求曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線方程，其切線只有一條，點P(x0，y0)在曲線y＝f(x)上，且是切點，其切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).,,,解析答案,,解析答案,(2)曲線y＝f(x)＝x3在點P處切線斜率為3，則點P的坐標為 .,解析 設點P的坐標為 ，則有,∴點P的坐標是(1,1)或(－1，－1).,(－1，－1)或(1,1),,解析答案,2.求曲線過某點的切線方程 例2 求過點(－1，－2)且與曲線y＝2x－x3相切的直線方程.,反思與感悟,,解析答案,又∵切線過點(－1，－2)，,反思與感悟,,即19x＋4y＋27＝0. 綜上可知，過點(－1，－2)且與曲線相切的直線方程為 y＝2x或19x＋4y＋27＝0.,反思與感悟,,反思與感悟,若題中所給點(x0，y0)不在曲線上，首先應設出切點坐標，然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點坐標，進而求出切線方程.,,解析答案,跟蹤訓練2 求過點P(3,5)且與曲線y＝x2相切的直線方程.,,解析答案,設所求切線的切點為A(x0，y0). ∵點A在曲線y＝x2上， ∴y0＝ . 又∵A是切點， ∴過點A的切線的斜率y′| ＝2x0. ∵所求切線過P(3,5)和A(x0，y0)兩點，,,解得x0＝1或x0＝5. 從而切點A的坐標為(1,1)或(5,25). 當切點為(1,1)時，切線的斜率為k1＝2x0＝2； 當切點為(5,25)時，切線的斜率為k2＝2x0＝10. ∴所求的切線有兩條，方程分別為y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)， 即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.,題型二 求導函數(shù),,解析答案,解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x),反思與感悟,,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練3 已知函數(shù)f(x)＝x2－1，求f′(x)及f′(－1).,解 因Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝(x＋Δx)2－1－(x2－1) ＝2Δxx＋(Δx)2，,得f′(x)＝2x，f′(－1)＝－2.,題型三 導數(shù)幾何意義的綜合應用,,反思與感悟,例4 設函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲線y＝f(x)的斜率最小的切線與直線12x＋y＝6平行，求a的值.,解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1) ＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，,由題意知f′(x)最小值是－12，∴－9－ ＝－12，a2＝9， ∵a＜0，∴a＝－3.,解析答案,,與導數(shù)的幾何意義相關的題目往往涉及解析幾何的相關知識，如直線的方程、直線間的位置關系等，因此要綜合應用所學知識解題.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練4 (1)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的圖象如圖所示，記k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，則k1，k2，k3之間的大小關系為 .(請用“＞”連接),k1＞k3＞k2,解析 結合導數(shù)的幾何意義知，k1就是曲線在點A處切線的斜率， k2則為在點B處切線的斜率， 而k3則為割線AB的斜率，由圖易知它們的大小關系.,,解析答案,,,,解析答案,因?qū)Α霸谀滁c處”“過某點”分不清致誤,例5 已知曲線y＝f(x)＝x3上一點Q(1,1)，求過點Q的切線方程.,返回,防范措施,,易錯易混,,錯解 因y′＝3x2，f′(1)＝3. 故切線方程為3x－y－2＝0. 錯因分析 上述求解過程中，忽略了當點Q不是切點這一情形，導致漏解. 正解 當Q(1,1)為切點時， 可求得切線方程為y＝3x－2. 當Q(1,1)不是切點時，設切點為P(x0， )，,解析答案,防范措施,,所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，,綜上，所求切線的方程為3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.,防范措施,,,解題前，養(yǎng)成認真審題的習慣，其次，弄清“在某點處的切線”與“過某點的切線”，點Q(1,1)盡管在所給曲線上，但它可能是切點，也可能不是切點.,返回,防范措施,,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.下列說法中正確的是( ) A.和曲線只有一個公共點的直線是曲線的切線 B.和曲線有兩個公共點的直線一定不是曲線的切線 C.曲線的切線與曲線不可能有無數(shù)個公共點 D.曲線的切線與曲線有可能有無數(shù)個公共點,,D,解析答案,1,2,3,4,5,,2.已知曲線y＝f(x)＝2x2上一點A(2,8)，則點A處的切線斜率為( ) A.4 B.16 C.8 D.2,C,解析答案,即k＝8.,1,2,3,4,5,,3.若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則( ) A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1 C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1,解析答案,A,∴a＝1. 又(0，b)在切線上， ∴b＝1，故選A.,1,2,3,4,5,,解析答案,A.30 B.45 C.135 D.165,B,∴y′|x＝1＝1.∴點P處切線的斜率為1，則切線的傾斜角為45.,1,2,3,4,5,,解析答案,5.已知曲線y＝f(x)＝2x2＋4x在點P處的切線斜率為16，則P點坐標為 .,(3,30),令4x0＋4＝16得x0＝3， ∴P(3,30).,,課堂小結,,返回,2.“函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)”是一個數(shù)值，不是變數(shù)，“導函數(shù)”是一個函數(shù)，二者有本質(zhì)的區(qū)別，但又有密切關系，f′(x0)是其導函數(shù)y＝f′(x)在x＝x0處的一個函數(shù)值. 3.利用導數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點是否在曲線上.如果已知點在曲線上，則以該點為切點的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知點不在切線上，則設出切點(x0，f(x0))，表示出切線方程，然后求出切點.,