高中數學 第二章 推理與證明 2.2.2 反證法課件 新人教版選修2-2.ppt

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2.2.2 反證法,第二章 2.2 直接證明與間接證明,1.了解反證法是間接證明的一種方法. 2.理解反證法的思考過程，會用反證法證明數學問題.,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 間接證明,,答案,間接,不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立，像這種不是直接證明的方法通常稱為 證明. 常見的間接證明的方法是 .,反證法,知識點二 反證法,,答案,不成立,1.反證法定義 假設原命題 ，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明 ，從而證明了 ，這種證明方法叫做反證法. 2.反證法常見的矛盾類型 反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾. 這個矛盾可以是與 矛盾,或與 矛盾,或與__________ 矛盾等.,假設錯誤,原命題成立,已知條件,假設,定義、公理、,定理、事實,,答案,3.反證法中常用的“結論詞”與“反設詞”如下：,至多有一個,n,一個也沒有,(n－1),任意,某個,一定是,且,不都是,且,,思考 (1)有人說反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題，這種說法對嗎？為什么？,答案 這種說法是錯誤的，反證法是先否定命題，然后再證明命題的否定是錯誤的，從而肯定原命題正確，不是通過逆否命題證題. 命題的否定與原命題是對立的，原命題正確，其命題的否定一定不對.,(2)反證法主要適用于什么情形？,答案 要證的結論與條件之間的聯系不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰；如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形.,返回,答案,題型探究 重點突破,題型一 用反證法證明結論否定的問題,,解析答案,反思與感悟,例1 如圖所示，AB，CD為圓的兩條相交弦，且不全為直徑，求證：AB，CD不能互相平分.,,反思與感悟,證明 連接AC，CB，BD，DA，假設AB，CD互相平分， 則四邊形ACBD為平行四邊形， ∴∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD. ∵四邊形ACBD為圓的內接四邊形， ∴∠ACB＋∠ADB＝180，∠CAD＋∠CBD＝180， ∴∠ACB＝90，∠CAD＝90， ∴對角線AB，CD均為圓的直徑，與已知條件矛盾， ∴AB，CD不能互相平分.,,反思與感悟,對于結論否定型命題，正面證明需要考慮的情況很多，過程煩瑣且容易遺漏，故可以考慮采用反證法.一般當題目中含有“不可能”“都不”“沒有”等否定性詞語時，宜采用反證法證明.,跟蹤訓練1 已知正整數a，b，c滿足a2＋b2＝c2.求證a，b，c不可能都是奇數.,,解析答案,證明 假設a，b，c都是奇數， 則a2，b2，c2都是奇數. 左邊＝奇數＋奇數＝偶數， 右邊＝奇數，得偶數＝奇數，矛盾. ∴假設不成立，∴a，b，c不可能都是奇數.,題型二 用反證法證明唯一性問題,,解析答案,例2 用反證法證明：過已知直線a外一點A只有一條直線b與已知直線a平行.,證明 假設過點A還有一條直線b′與已知直線a平行， 即b∩b′＝A，b′∥a，又b∥a， 由平行公理知b′∥b. 這與b∩b′＝A矛盾，故假設錯誤， 所以過已知直線a外一點A只有一條直線b與已知直線a平行.,反思與感悟,,證明“唯一性”問題的方法：“唯一性”包含“有一個”和“除了這個沒有另外一個”兩層意思.證明后一層意思時，采用直接證法往往會相當困難，因此一般情況下都采用間接證法，即用反證法(假設“有另外一個”，推出矛盾)或同一法(假設“有另外一個”，推出它就是“已知那一個”)證明，而用反證法比用同一法更方便.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練2 求證：過一點只有一條直線與已知平面垂直. 已知：平面α和一點P. 求證：過點P與α垂直的直線只有一條.,證明 如圖所示，不論點P在α內還是在α外， 設PA⊥α，垂足為A(或P). 假設過點P不止有一條直線與α垂直， 如還有另一條直線PB⊥α，設PA，PB確定的平面為β，且α∩β＝a， 于是在平面β內過點P有兩條直線PA，PB垂直于a，這與過一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾， ∴假設不成立，原命題成立.,題型三 用反證法證明結論中含有“至多”“至少”“都”等詞語的問題,,解析答案,反思與感悟,例3 用反證法證明：如果函數f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數，那么方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個實數根.(不考慮重根),證明 假設方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個實數根， 設α，β為它的兩個實數根， 則f(α)＝f(β)＝0. 因為α≠β，不妨設α＜β，又因為函數f(x)在[a，b]上是增函數， 所以f(α)＜f(β)，這與f(α)＝f(β)＝0矛盾， 所以方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個實數根.,,用反證法證明“至少”“至多”型命題，否定結論時，需弄清楚結論的否定是什么，以免出現錯誤.還應仔細體會“至少有一個”“至多有一個”等表達的意義.,反思與感悟,,解析答案,∵x＞0且y＞0，∴1＋x≥2y，且1＋y≥2x， 兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y， ∴x＋y≤2，這與已知條件x＋y＞2相矛盾，,,解析答案,因反證法中的反設不當致誤,防范措施,返回,,易錯易混,,解析答案,防范措施,,防范措施,故假設不成立.,,防范措施,,在利用反證法證明問題時，往往要假設命題結論的反面成立，而問題結論的反面一定要全面，漏掉任何一種情況，證明都是不正確的.,返回,,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.證明“在△ABC中至多有一個直角或鈍角”，第一步應假設( ) A.三角形中至少有一個直角或鈍角 B.三角形中至少有兩個直角或鈍角 C.三角形中沒有直角或鈍角 D.三角形中三個角都是直角或鈍角,B,答案,1,2,3,4,5,,2.用反證法證明“三角形中至少有一個內角不小于60”，應先假設這個三角形中( ) A.有一個內角小于60 B.每一個內角都小于60 C.有一個內角大于60 D.每一個內角都大于60,B,答案,1,2,3,4,5,,3.“ab C.a＝b D.a＝b或ab,D,答案,1,2,3,4,5,,4.用反證法證明“在同一平面內,若a⊥c,b⊥c,則a∥b”時,應假設( ) A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c C.a⊥b D.a與b相交,D,答案,1,2,3,4,5,,解析答案,5.已知a是整數，a2是偶數，求證a也是偶數.,證明 (反證法)假設a不是偶數， 即a是奇數. 設a＝2n＋1(n∈Z)， 則a2＝4n2＋4n＋1. ∵4(n2＋n)是偶數， ∴4n2＋4n＋1是奇數，這與已知a2是偶數矛盾. 由上述矛盾可知，a一定是偶數.,,課堂小結,,返回,1.反證法的證題步驟： ①反設；②推理歸謬；③存真，即假設不成立，原命題成立. 2.用反證法證明問題時要注意以下三點： (1)必須先否定結論，即肯定結論的反面，當結論的反面呈現多樣性時，必須羅列出各種可能性結論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的. (2)反證法必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須根據這一條件進行推證，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法. (3) 推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與事實矛盾等，推導出的矛盾必須是明顯的.,