弦振動(dòng)共振波形及波的傳播速度測(cè)量

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1、弦振動(dòng)共振波形及波的傳播速度測(cè)量 本實(shí)驗(yàn)研究波在弦上的傳播，駐波形成的條件，及改變弦長(zhǎng)、張力、線密度、驅(qū)動(dòng)信 號(hào)頻率等狀況下 對(duì)波形的影響，并可觀察共振波形和波速的測(cè)量。 FB301型弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)儀是在傳統(tǒng)的弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)儀、弦音計(jì)的基礎(chǔ)上改進(jìn)而成的，能做 標(biāo)準(zhǔn)的定性弦 振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，即通過(guò)改變弦線的松緊、長(zhǎng)短、粗細(xì)去觀察相應(yīng)的弦振動(dòng)的改變及 音調(diào)的改變。還能配合示波器 進(jìn)行定量的實(shí)驗(yàn)， 測(cè)量弦線上橫波的傳播速度和弦線的線密度 等。 【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹? 1 ?了解波在弦上的傳播及駐波形成的條件。 2 .測(cè)量不同弦長(zhǎng)和不同張力時(shí)的共振頻率。 3 ?測(cè)量弦線的線密度。 4 .測(cè)量弦振動(dòng)時(shí)波的傳

2、播速度。 【實(shí)驗(yàn)原理】 正弦波沿著拉緊的弦傳播，可用等式 (1)來(lái)描述。如果弦的一端被固定，那么當(dāng)波到達(dá) yi ymSin2 (x ft) 端點(diǎn)時(shí)會(huì)反射回來(lái)，這反射波可表示為: y2 ymsin2 (x. f t) 在保證這些波的振幅不超過(guò)弦所能承受的最大振幅時(shí)，兩束波疊加后的波方程為 y yi y2 ym Sin2 (x ft) ym sin 2 (x ft) 利用三角公式可求得: y 2ymS in(2 x/)cos(2 ft) (4) 等式的特點(diǎn)：當(dāng)時(shí)間固定為 to時(shí)，弦的形狀是振幅為 2ym cos(2fto)的正弦波形。在

3、 位置固定為X。時(shí)，弦作簡(jiǎn)諧振動(dòng) f人1 振幅達(dá)到最大，當(dāng)冷 Xo 振幅為2ym sin(2 x / )。因此，當(dāng) 3 …，振幅為零。這種波形叫駐波。 2 , , 2 實(shí)際上弦的兩端都是被固定的， 在 以上分析是假定駐波是由原波和反射波疊加而成的, 驅(qū)動(dòng)線圈的激勵(lì)下， 弦線受到一個(gè)交變磁場(chǎng)力的作用，會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，形成橫波。當(dāng)波傳到一 端時(shí)都會(huì)發(fā)生 反射，一般來(lái)說(shuō)，不是所有增加的反射都是同相的， 而且振幅都很小。當(dāng)均勻 弦線的兩個(gè)固定端之間的距離等于弦線中橫波的半波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)， 反射波就會(huì)同相，產(chǎn)生 振幅很大的駐波，弦線會(huì)形成穩(wěn)定的振動(dòng)。當(dāng)弦線的振動(dòng)為一個(gè)波腹

4、時(shí)，該駐波為基波，基 波對(duì)應(yīng)的的駐波 頻率為基頻，也稱共振頻率。當(dāng)弦線的振動(dòng)為兩個(gè)波腹時(shí)，該駐波為二次諧 波，對(duì)應(yīng)的的駐波頻率為基頻的 兩倍。一般情況下，基波的振動(dòng)幅度比諧波的振動(dòng)幅度大。 另外，從弦線上觀察到的頻率(即從示波器上觀察到的波形)一般是驅(qū)動(dòng)頻率的兩倍， 這是因?yàn)轵?qū)動(dòng)的 磁場(chǎng)力在一個(gè)周期內(nèi)兩次作用于弦線的緣故。 當(dāng)然，通過(guò)仔細(xì)的調(diào)節(jié)，弦線 的駐波頻率等于驅(qū)動(dòng)頻率或者其他倍數(shù)也是可能的，這時(shí)的振幅會(huì)小些。 F面就共振頻率與弦長(zhǎng)、張力、弦的線密度之間的關(guān)系進(jìn)行分析。 只有當(dāng)弦線 的兩個(gè)固定端的距離等于弦線中橫波對(duì)應(yīng)的半波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí) 才能形成駐 波，即有： Ln或 一 2

5、 n 其中L為弦長(zhǎng)， 為駐波波長(zhǎng)，n為波腹數(shù) 另外，根據(jù)波動(dòng)理論，假設(shè)弦柔性很好，波在弦上傳播速度（ 線密度（ ）和弦的拉緊度（T ）,其關(guān)系式為： V ）取決于兩個(gè)變量 其中 為弦線的線密度，即單位長(zhǎng)度的弦線的質(zhì)量（單位 kg/m）, T為弦線的張 力，單位： N,或kg m/s2 再根據(jù)V 這個(gè)普遍公式可得 如果已知 直時(shí)，即可求得頻率 如果已知 f,則可求得線密度： (8 ) n2T 4L2

6、f 2 【實(shí)驗(yàn)儀器】 FB301型弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)信號(hào)源各一臺(tái)，雙蹤示波器一臺(tái) FB301型弦振動(dòng)研究實(shí)驗(yàn)儀、 實(shí)驗(yàn)儀器結(jié)構(gòu)描述見(jiàn)圖1。 號(hào)發(fā)*禺 小帔君 1 ?調(diào)節(jié)螺 桿 7 ?拉力桿 2.圓柱螺母 8.懸掛祛碼 3?驅(qū)動(dòng)傳感器 9.信號(hào)源 4 ?鋼絲弦線 5 ?接收傳感器 10.示波器 6 ?支撐板 【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】 一.實(shí)驗(yàn)前準(zhǔn)備: U型梢中，把另一端固定到調(diào)整螺 1?選擇一條弦，將弦的帶有銅圈的一端固定在拉力桿的 上圓柱形螺母上端

7、的小螺釘上。 2 ?把兩塊支撐板放在弦下相距為 L的兩點(diǎn)上（它們決定振動(dòng)弦的長(zhǎng)度） 3?掛上祛碼（0.50kg或1.00kg可選）到實(shí)驗(yàn)所需的拉緊度的拉力桿上，然后旋動(dòng)調(diào)節(jié)螺 桿，使拉力桿水平（這樣才能從掛的物塊質(zhì)量精確地確定弦的拉緊度） ，見(jiàn)圖2。如果懸掛 祛碼"M ”在拉力桿的掛鉤梢1處，弦的拉緊度（張力）等于1Mg, g為重力加速度 （g 9.80 ms 2 ）,如果掛在如圖2掛鉤梢2處，弦張力為2Mg 注意：由于祛碼的位置不同，弦線的伸長(zhǎng)量也有變化，故需重新微調(diào)拉力桿的水平 4?按圖 二?實(shí)驗(yàn)內(nèi)容： 提示：為了避免接收傳感器和驅(qū)動(dòng)換能器之間的電磁

8、干擾 ，間的距離 在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中要保證兩者之 1.00kg的銅祛碼, 不小于10cm。 1 .放置兩個(gè)支承板相距60cm ,裝上一條弦。在拉力杠桿上掛上質(zhì)量為 （儀器隨帶祛碼：500g 一個(gè)，200g 一個(gè)，100g二個(gè)，50g 一個(gè)，鉤碼50g 一個(gè)，總 T和線密度記錄下來(lái)。 質(zhì)量共計(jì)1.00kg ）,旋動(dòng)調(diào)節(jié)螺桿，使拉力杠桿處于水平狀態(tài)，把驅(qū)動(dòng)線圈放在離支承板大 約5 ~ 10cm處，把接收線圈放在弦的中心位置。把弦的張力 2?調(diào)節(jié)信號(hào)發(fā)生器，產(chǎn)生正弦波，同時(shí)把示波器靈敏度調(diào)節(jié)到： ky 5mV/格。 3?慢慢提高信號(hào)發(fā)生器頻率，觀察示波器接收到的波形振幅的改變。注意：頻率調(diào)

9、節(jié)過(guò)程 不能太快，因?yàn)橄揖€形成駐波過(guò)程需要一定的能量積累時(shí)間， 太快則來(lái)不及形成駐波。如果 不能觀察到波形，則可以適當(dāng)增大信號(hào)源的輸出幅度； 如果弦線的振幅太大， 造成弦線敲擊 傳感器，則應(yīng)適當(dāng)減小信號(hào)源輸出幅度。一般信號(hào)源輸出為 2?3Vp p （峰-峰值）時(shí)，即可 觀察到明顯的駐波波形， 同時(shí)觀察弦線，可看到有明顯的振幅。當(dāng)弦振動(dòng)最大時(shí)， 示波器接 收到的波形振幅最大，弦線達(dá)到了共振，這時(shí)的駐波頻率就是共振頻率。 記下示波器上波形 的周期，即可得到共振頻率 f。 注意：一般弦的振動(dòng)頻率不等于信號(hào)源的驅(qū)動(dòng)頻率，而是 2倍或整數(shù)倍的關(guān)系。 4?記錄下弦線的波腹波節(jié)的位置，如果弦

10、線只有一個(gè)波腹，這時(shí)的共振頻率為基頻。且波 節(jié)就是弦線的兩個(gè)固定端（兩個(gè)支承板處） 。 5?再增加輸出頻率，連續(xù)找出幾個(gè)共振頻率（ 3~5個(gè)），當(dāng)駐波的頻率較高，弦線上形成幾 個(gè)波腹、波節(jié)時(shí)，弦線的振幅會(huì)較小，肉眼可能不易觀察到。 這時(shí)先把接收線圈移向右邊支 承板，再逐步向左移動(dòng)，同時(shí)觀察示波器，找出并記下波腹和波節(jié)的個(gè)數(shù)及每個(gè)波腹和波節(jié) 的位置。一般這 些波節(jié)應(yīng)該是均勻分布的。 6?根據(jù)所得數(shù)據(jù)，算出共振波的波長(zhǎng)（兩個(gè)相鄰波節(jié)的距離等于半波長(zhǎng)） 。 7 ?移動(dòng)支承板，改變弦的長(zhǎng)度。根據(jù)以上步驟重復(fù)做五次。記錄下不同的弦長(zhǎng)和共振頻率。 注意，兩個(gè)支 承板的距離不要太小， 如果弦

11、長(zhǎng)較小、張力較大時(shí)，需要較大的驅(qū)動(dòng)信號(hào)幅度。 &放置兩個(gè)支承板相距 60cm （或自定），并保持不變。通過(guò)改變弦的張力（也稱拉緊度） ，弦的張力由 祛碼所掛的位置決定（如圖 2所示，這些位置的張力成 1、2、3、4、5的整倍數(shù) 關(guān)系）。測(cè)量并記錄下不 同拉緊度下的駐波的共振頻率 （基頻）和張力。觀察共振波的波形（幅 度和頻率）是否與弦的張力有關(guān)？ 9?使弦處于第三檔拉緊度，即物塊掛于 3Mg處，放置兩個(gè)支承板相距 60cm （上述條件也 可自選一合 適的范圍）。保持上述條件不變，換不同的弦，改變弦的線密度（共有 3根線密 度不同的弦線），根據(jù)步驟⑶、⑷測(cè)量一組數(shù)據(jù)。觀察共振頻率是否與

12、弦的線密度有關(guān)；共 振波的波形是否與弦的線密度有關(guān)？ 【數(shù)據(jù)處理】 1.不同弦長(zhǎng)時(shí)的共振頻率： 弦的線密度 0 張力(kg ?m/s2) 弦長(zhǎng)（cm） 共振頻率（Hz ） 波長(zhǎng)（cm） 作弦長(zhǎng)與共振頻率的關(guān)系圖 2?不同張力時(shí)的共振頻率： 這里的共振頻率應(yīng)為基頻，如果誤記為倍頻的數(shù)值，則將得出錯(cuò)誤的結(jié)論。 弦長(zhǎng)（cm） 懸掛位置（Mg） 2 張力kgm/s） 共振基頻（Hz） 作張力與共振頻率的關(guān)系圖 3 .求弦線的線密度：

13、式中L為弦長(zhǎng)，f為駐波共振頻率，n為波腹數(shù)，T為張力 n2T 求得f后，則可求得線密度： 4L2f 4 . 求波的傳播速度： 根據(jù)VT算出波速，這一波速與 V f ( f是共振頻率， 是波長(zhǎng))作比較。 作張力與波速的關(guān)系圖。 【注意事項(xiàng)】 1.弦上觀察到的頻率可能不等于驅(qū)動(dòng)頻率，一般是驅(qū)動(dòng)頻率的 2倍，因?yàn)轵?qū)動(dòng)器的電磁鐵 在一周內(nèi)兩次作用于弦。在理論上，使弦的靜止波等于或是驅(qū)動(dòng)頻率的整數(shù)倍都是可能的。 2?如果驅(qū)動(dòng)與接收傳感器靠得太近，將會(huì)產(chǎn)生干擾，通過(guò)觀察示波器中的接收波形可以檢 驗(yàn)干擾的存 在。當(dāng)他們靠得太近時(shí)， 波形會(huì)改變。為了得到較好的測(cè)量結(jié)果，至少兩傳感器 的距離應(yīng)大于 10cm 3. 在最初的波形中，偶然會(huì)看到高低頻率的波形疊置在一起，這種復(fù)合靜止波的形成是可 能的。例如， 弦振動(dòng)可以是驅(qū)動(dòng)頻率，也可以是它的兩倍，因而形成復(fù)合波。 4?懸掛和更換砝碼時(shí)動(dòng)作應(yīng)輕巧，以免使弦線崩斷，造成砝碼墜落而發(fā)生事故。 【思考題】 1 ) 通過(guò)實(shí)驗(yàn)，說(shuō)明弦線的共振頻率和波速與哪些條件有關(guān)？ 2 ) 試 將按公式求得 值與靜態(tài)線密度 值比較，分析其差異及形成原因。 3 ) 如 果弦線有彎曲或者粗細(xì)不均勻 ，對(duì)共振頻率和形成駐波有何影響？