2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時(shí)分層作業(yè)十三 2.10 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 理.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時(shí)分層作業(yè)十三 2.10 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 理 一、選擇題(每小題5分,共35分) 1.f′(x)是函數(shù)f(x)=x3+2x+1的導(dǎo)函數(shù),則f′(-1)的值為 (　　) A.0　 B.3 C.4 D.- 【解析】選B.因?yàn)閒(x)=x3+2x+1, 所以f′(x)=x2+2. 所以f′(-1)=3. 2.已知函數(shù)f(x)=cos x,則f(π)+f′= (　　) A.-　 B.- C.- D.- 【解析】選C.因?yàn)閒′(x)=-cos x+(-sin x), 所以f(π)+f′=-+(-1)=-. 3.(xx吉林模擬)已知曲線y=ln x的切線過原點(diǎn),則此切線的斜率 為 (　　) A.e B.-e C.　 D.- 【解析】選C.y=ln x的定義域?yàn)?0,+∞),且y′=,設(shè)切點(diǎn)為(x0,ln x0),則y′=,切線方程為y-ln x0=(x-x0),因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切線的斜率為. 【變式備選】曲線y=ex在點(diǎn)A(0,1)處的切線斜率為 (　　) A.1 B.2 C.e D. 【解析】選A.由題意知y′=ex,故所求切線斜率k=ex=e0=1. 4.(xx沈陽模擬)若曲線y=x3+ax在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線方程是2x-y=0,則實(shí)數(shù)a= (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-1 【解析】選C.導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為切線的斜率,由y′=3x2+a得在x=0處的切線斜率為a,所以a=2. 【變式備選】直線y=x+b是曲線y=ln x(x>0)的一條切線,則實(shí)數(shù)b的值 為 (　　) A.2 B.ln 2+1 C.ln 2-1 D.ln 2 【解析】選C.y=ln x的導(dǎo)數(shù)為y′=,由=,解得x=2,所以切點(diǎn)為(2,ln 2).將其代入直線方程y=x+b,可得b=ln 2-1. 5.已知f(x)=2exsin x,則曲線f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為 (　　) A.y=0 B.y=2x C.y=x D.y=-2x 【解析】選B.因?yàn)閒(x)=2exsin x,所以f(0)=0,f′(x)=2ex(sin x+cos x),所以f′(0)=2,所以曲線f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x. 6.設(shè)曲線y=在點(diǎn)處的切線與直線x-ay+1=0平行,則實(shí)數(shù)a等 于 (　　) A.-1 B.　 C.-2 D.2 【解析】選A.因?yàn)閥′=,所以y′=-1, 由條件知=-1,所以a=-1. 7.直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點(diǎn)A(1,3),則2a+b的值等于 (　　) A.2 B.-1 C.1 D.-2 【解析】選C.依題意知,y′=3x2+a, 則由此解得 所以2a+b=1. 二、填空題(每小題5分,共15分) 8.若曲線y=2x2的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直,則切線l的方程為________________. 【解析】設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),y′=4x,則4x0=4?x0=1,所以y0=2,所以切線方程為:y-2=4(x-1)?4x-y-2=0. 答案:4x-y-2=0 9.(xx長沙模擬)若函數(shù)f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,則f′(1)=________. 【解析】因?yàn)閒′(x)=-2f′(-1)x+3, 所以f′(-1)=-1+2f′(-1)+3, 解得f′(-1)=-2,所以f′(1)=1+4+3=8. 答案:8 10.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1-x)+f(1+x)=2,且當(dāng)x>1時(shí),f(x)=xe2-x,則曲線y=f(x)在x=0處的切線方程是________. 【解析】因?yàn)閒(x)滿足f(1-x)+f(1+x)=2, 所以y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱. 當(dāng)x<1時(shí),取點(diǎn)(x,y),該點(diǎn)關(guān)于(1,1)的對稱點(diǎn)是(2-x,2-y), 代入f(x)=xe2-x可得: 2-y=(2-x)e2-(2-x), 所以y=2-(2-x)ex=xex, y′=(x+1)ex,y′|x=0=1, 所以切線方程為y=x,即x-y=0. 答案:x-y=0 1.(5分)已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(2-x)=2x2-7x+6,則曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程是 (　　) A.y=2x-1　 B.y=x C.y=3x-2　 D.y=-2x+3 【解析】選C.令x=1得f(1)=1,令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化簡整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,所以f′(x)=4x-1,所以f′(1)=3. 所以所求切線方程為y-1=3(x-1),即y=3x-2. 【巧思妙解】選C.令x=1得f(1)=1,由f(2-x)=2x2-7x+6,兩邊求導(dǎo)可得f′(2-x)(2-x)′=4x-7,令x=1可得-f′(1)=-3,即f′(1)=3. 所以所求切線方程為y-1=3(x-1),即y=3x-2. 2.(5分)(xx上饒模擬)若點(diǎn)P是曲線y=x2-ln x上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x-2距離的最小值為 (　　) A.1 B.　 C.　 D. 【解析】選B.對于曲線y=x2-ln x上任意一點(diǎn)P,當(dāng)過該點(diǎn)的切線斜率與直線y=x-2的斜率相同時(shí),點(diǎn)P到直線的距離最小. 因?yàn)槎x域?yàn)?0,+∞),所以y′=2x-=1,解得x=1,則在P(1,1)處的切線方程為x-y=0,所以兩平行線間的距離為d==. 【變式備選】曲線y=ln(2x)上任意一點(diǎn)P到直線y=2x的距離的最小值是________. 【解析】如圖,所求最小值即曲線上斜率為2的切線與y=2x兩平行線間的距離, 也即切點(diǎn)到直線y=2x的距離.由y=ln(2x), 則y′==2,得x=,y=ln =0, 即與直線y=2x平行的曲線y=ln(2x)的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)是,y=ln(2x)上任意一點(diǎn)P到直線y=2x的距離的最小值,即=. 答案: 3.(5分)(xx滄州模擬)若存在過點(diǎn)O(0,0)的直線l與曲線f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,則a的值為________. 【解析】易知點(diǎn)O(0,0)在曲線f(x)=x3-3x2+2x上, (1)當(dāng)O(0,0)是切點(diǎn)時(shí),切線方程為y=2x,則聯(lián)立y=2x和y=x2+a得x2-2x+a=0, 由Δ=4-4a=0,解得a=1. (2)當(dāng)O(0,0)不是切點(diǎn)時(shí),設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0),則y0=-3+2x0,且k=f′(x0)=3-6x0+2.① 又k==-3x0+2,② 由①,②聯(lián)立,得x0=(x0=0舍), 所以k=-, 所以所求切線l的方程為y=-x. 由得x2+x+a=0. 依題意,Δ′=-4a=0,所以a=. 綜上,a=1或a=. 答案: 1或 【易錯(cuò)警示】(1)片面理解“過點(diǎn)O(0,0)的直線與曲線f(x)=x3-3x2+2x相切”.這里有兩種可能:一是點(diǎn)O是切點(diǎn);二是點(diǎn)O不是切點(diǎn),但曲線經(jīng)過點(diǎn)O,解析中易忽視后面情況. (2)本題還易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤:一是當(dāng)點(diǎn)O(0,0)不是切點(diǎn),無法與導(dǎo)數(shù)的幾何意義溝通起來;二是盲目設(shè)直線l的方程,導(dǎo)致解題復(fù)雜化,求解受阻. 4.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3+x-16. (1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線的方程. (2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo). 【解析】(1)可判定點(diǎn)(2,-6)在曲線y=f(x)上. 因?yàn)閒′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, 所以f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線的斜率為k=f′(2)=13. 所以切線的方程為y+6=13(x-2),即y=13x-32. (2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0), 則直線l的斜率k為f′(x0)=3+1, y0=+x0-16, 所以直線l的方程為y=(3+1)(x-x0)++x0-16. 又因?yàn)橹本€l過原點(diǎn)(0,0), 所以0=(3+1)(-x0)++x0-16,整理得, =-8,所以x0=-2, 所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,得切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26),k=3(-2)2+1=13. 所以直線l的方程為y=13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26). 5.(13分)已知函數(shù)f(x)=x-1+(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)). (1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值. (2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx-1與曲線y=f(x)相切,求l的直線方程. 【解析】(1)f′(x)=1-,因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸, 所以f′(1)=1-=0,解得a=e. (2)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x-1+,f′(x)=1-. 設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0), 因?yàn)閒(x0)=x0-1+=kx0-1,① f′(x0)=1-=k,② ①+②得x0=kx0-1+k,即(k-1)(x0+1)=0. 若k=1,則②式無解,所以x0=-1,k=1-e. 所以l的直線方程為y=(1-e)x-1.