第五章--不定積分--(《微積分》課件)

單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,,,一、原函數與不定積分的概念,四、不定積分的性質,三、基本積分表,五、小結 思考題,第一節(jié) 不定積分的概念與性質,二、不定積分的幾何意義,例,定義：,一、原函數與不定積分的概念,,( primitive function ),定義,原函數存在定理：,簡言之：,連續(xù)函數一定有原函數,.,問題：,(1),原函數是否唯一？,例,（ 為任意常數）,(2),若不唯一它們之間有什么聯系？,定理,關于原函數的說明：,（,1,）若 ，則對于任意常數 ，,（,2,）若 和 都是 的原函數，,則,（ 為任意常數）,證,（ 為任意常數）,,,任意常數,,積分號,,被積函數,不定積分,(,indefinite integral),的定義：,,被積表達式,積分變量,定義,原函數,例,1,,求,解,解,例,2,,求,例,3,某商品的邊際成本為,,,求總成,解,其中,,為任意常數,本函數,.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、不定積分的幾何意義,顯然，求不定積分得到一,積分曲線族,,,橫坐標 處,,,任一曲線的切線有,相同的斜率,.,0,x,y,,,,,在同一,實例,啟示,能否根據求導公式得出積分公式？,結論,既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據求導公式得出積分公式,.,三、 基本積分表,基本積分表,,?,是常數,);,說明：,例,4,,求積分,解,證,等式成立,.,（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）,四、 不定積分的性質,例,5,,求積分,解,例,6,,求積分,解,,例,7,,求積分,解,例,8,,求積分,解,說明：,以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表,.,化積分為代數和的積分,解,所求曲線方程為,基本積分表（,1,）～（,13,）,不定積分的性質,,原函數的概念：,不定積分的概念：,求微分與求積分的互逆關系,五、 小結,思考題,符號函數,在 內是否存在原函數？為什么？,思考題解答,不存在,.,假設有原函數,故假設錯誤,所以 在 內不存在原函數,.,結論,每一個含有,第一類間斷點,的函數都沒有原函數,.,練習題,練習題答案,,,一、第一類換元法,二、第二類換元法,三、小結 思考題,第二節(jié) 換元積分法,問題,？,解決方法,利用復合函數，設置中間變量,.,過程,令,一、第一類換元法,在一般情況下：,設,則,如果,（可微）,由此可得換元法定理,第一類換元公式,（,湊微分法,）,說明,使用此公式的關鍵在于將,化為,注意：觀察點不同，所得結論不同,.,定理,1,定理,解,法,1,解,法,2,解,法,3,例,1,,求,解,一般地,,,例,1,,求,又解,湊 微 分,例,2,,求,解,例,3,,求,解,例,4,,求,利用基本積分表的公式把被積函數中的一部分湊成,,中間變量的微分，常見的有：,例,5,,求,解,例,6,,求,解,例,7,,求,解,例,8,,求,解,例,9,,求,解,（一）,解,（二）,類似地可推出,例,10,,求,解,例,11,,求,解,例,12,,求,原式,例,13,,求,解,降冪,拆項,例,14,,求,解,例,15,,求,解,例,16,求,解,例,17,,求,解,例,18,,求,解,問題,解決方法,改變中間變量的設置方法,.,過程,令,（應用“湊微分”即可求出結果）,二、第二類換元法,?,證,設 為 的原函數,,,令,則,則有換元公式,定理,2,第二類積分換元公式,例,19,,求,解法一,第一類換元法,解法二,第二類換元法,,,例,20,,求,解,令,,,例,21,,求,解,令,解,令,例,21,,求,說明,(1),以上幾例所使用的均為,三角代換,.,三角代換的,目的,是化掉根式,.,一般規(guī)律如下：當被積函數中含有,可令,可令,可令,,積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據被積函數的情況來定,.,說明,(2),例,22,,求,,（三角代換很繁瑣）,令,解,說明,(3),當分母的階較高時,,,可采用,倒代換,例,23,,求,,令,解,例,24,,求,解,令,（分母的階較高）,說明,(4),當被積函數含有兩種或兩種以上的根式 時，可采用令 （其中 為各根指數的,最小公倍數,）,例,25,,求,解,令,例,26,,求積分,解,令,注意,無理函數去根號時,,,取根指數的,最小公倍數,.,例,27,,求積分,解,令,說明,(5),當被積函數含有,例,28,,求,解,令,說明,(6),當被積函數含有,例,29,,求,解,說明,(7),無理函數的積分方法要會用會選,例,基本積分表,,?,三、小結,兩類積分換元法：,（一）,湊微分,（二）,三角代換、倒代換、根式代換,基本積分表,(14),～（,22,）,思考題,求積分,思考題解答,練 習 題,練習題答案,,,一、基本內容,二、小結,三、思考題,第三節(jié) 分部積分法,問題,解決思路,利用兩個函數乘積的求導法則,.,分部積分,(integration by parts),公式,一、基本內容,例,1,,求積分,解（一）,令,顯然，,選擇不當,，積分更難進行,.,解（二）,令,例,2,,求積分,解,（再次使用分部積分法）,總結,,若被積函數是冪函數和正,(,余,),弦函數或冪函數和指數函數的乘積,,,就考慮設冪函數為,,,使其降冪一次,(,假定冪指數是正整數,),?,例,3,,求積分,解,令,例,4,,求積分,解,總結,,若被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，就考慮設對數函數或反三角函數為,.,?,例,5,,求積分,解,,,例,6,,求積分,解,,,注意循環(huán)形式,例,7,,求積分,解,,令,解,兩邊同時對 求導,,,得,合理選擇 ，正確使用分部積分公式,二、小結,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,思考題,,在接連幾次應用分部積分公式時， 應注意什么？,思考題解答,注意前后幾次所選的 應為同類型函數,.,例,第一次時若選,第二次時仍應選,練 習 題,練習題答案,,,一、六個基本積分,二、待定系數法舉例,三、小結,,第四節(jié) 有理函數的積分,有理函數的定義：,兩個多項式的商表示的函數稱之為,有理函數,.,,,,一、六個基本積分,定義,假定分子與分母之間沒有公因式,這有理函數是,真分式,；,這有理函數是,假分式,；,,利用多項式除法,,,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和,.,例,難點,將有理函數化為部分分式之和,.,,理論上，,任何一個有理函數,(,真分式,),都可分為以下六個類型的基本積分的代數和,:,1,.,2.,3.,4,.,5,.,6,.,可用遞推法求出,（,1,）分母中若有因式 ，則分解后為,有理函數化為部分分式之和的一般規(guī)律：,特殊地：,分解后為,※,二、待定系數法舉例,（,2,）分母中若有因式 ，其中,則分解后為,特殊地：,分解后為,真分式化為部分分式之和的,待定系數法,例,1,代入特殊值來確定系數,取,取,取,并將 值代入,例,2,例,3,整理得,例,4,,求積分,解,例,5,,求積分,解,例,6,,求積分,解,令,說明,將有理函數化為部分分式之和后，只出現三類情況：,多項式；,討論積分,令,則,記,這三類積分均可積出,,,且原函數都是初等函數,.,結論：,,有理函數都可積，且積分結果可能的形式為有理函數、反正切函數、對數函數及它們之間的組合。,有理式分解成部分分式之和的積分,.,（注意：必須化成真分式）,三、小結,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,思考題,任何有理函數都有原函數嗎？,,任何初等函數都有原函數嗎？,,都能求出其原函數嗎？,思考題解答,任何有理函數都有初等原函數，任何初等函數在其連續(xù)區(qū)間內也有原函數，但并不是所有連續(xù)的初等函數都有初等原函數，如：,即有些初等函數是不可積的。,練習題,4.,有理函數的原函數都是,_________ .,,練習題答案,