《第五章--不定積分--(《微積分》課件)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第五章--不定積分--(《微積分》課件)（133頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,,,*,,,一、原函數(shù)與不定積分的概念,四、不定積分的性質(zhì),三、基本積分表,五、小結(jié) 思考題,第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì),二、不定積分的幾何意義,例,定義：,一、原函數(shù)與不定積分的概念,,( primitive function ),定義,原函數(shù)存在定理：,簡(jiǎn)言之：,連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù),.,問(wèn)題：,(1),原函數(shù)是否唯一？,例,（ 為任意常數(shù)）,(2),若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？,定理,關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：,（,1,）若 ，則對(duì)于任意常數(shù)
2、 ，,（,2,）若 和 都是 的原函數(shù)，,則,（ 為任意常數(shù)）,證,（ 為任意常數(shù)）,,,任意常數(shù),,積分號(hào),,被積函數(shù),不定積分,(,indefinite integral),的定義：,,被積表達(dá)式,積分變量,定義,原函數(shù),例,1,,求,解,解,例,2,,求,例,3,某商品的邊際成本為,,,求總成,解,其中,,為任意常數(shù),本函數(shù),.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、不定積分的幾何意義,顯然，求不定積分得到一,積分曲線族,,,橫坐標(biāo) 處,,,任一曲線的切
3、線有,相同的斜率,.,0,x,y,,,,,在同一,實(shí)例,啟示,能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？,結(jié)論,既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式,.,三、 基本積分表,基本積分表,,?,是常數(shù),);,說(shuō)明：,例,4,,求積分,解,證,等式成立,.,（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）,四、 不定積分的性質(zhì),例,5,,求積分,解,例,6,,求積分,解,,例,7,,求積分,解,例,8,,求積分,解,說(shuō)明：,以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表,.,化積分為代數(shù)和的積分,解,所求曲線方程為,基本積分表（,1,）～（,13,）,不定積分的性質(zhì),,原函數(shù)的概
4、念：,不定積分的概念：,求微分與求積分的互逆關(guān)系,五、 小結(jié),思考題,符號(hào)函數(shù),在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？,思考題解答,不存在,.,假設(shè)有原函數(shù),故假設(shè)錯(cuò)誤,所以 在 內(nèi)不存在原函數(shù),.,結(jié)論,每一個(gè)含有,第一類(lèi)間斷點(diǎn),的函數(shù)都沒(méi)有原函數(shù),.,練習(xí)題,練習(xí)題答案,,,一、第一類(lèi)換元法,二、第二類(lèi)換元法,三、小結(jié) 思考題,第二節(jié) 換元積分法,問(wèn)題,？,解決方法,利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量,.,過(guò)程,令,一、第一類(lèi)換元法,在一般情況下：,設(shè),則,如果,（可微）,由此可得換元法定理,第一類(lèi)換元公式,（,
5、湊微分法,）,說(shuō)明,使用此公式的關(guān)鍵在于將,化為,注意：觀察點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同,.,定理,1,定理,解,法,1,解,法,2,解,法,3,例,1,,求,解,一般地,,,例,1,,求,又解,湊 微 分,例,2,,求,解,例,3,,求,解,例,4,,求,利用基本積分表的公式把被積函數(shù)中的一部分湊成,,中間變量的微分，常見(jiàn)的有：,例,5,,求,解,例,6,,求,解,例,7,,求,解,例,8,,求,解,例,9,,求,解,（一）,解,（二）,類(lèi)似地可推出,例,10,,求,解,例,11,,求,解,例,12,,求,原式,例,13,,求,解,降冪,拆項(xiàng),例,14,,求,解,例,15,,求,解,例,16,求
6、,解,例,17,,求,解,例,18,,求,解,問(wèn)題,解決方法,改變中間變量的設(shè)置方法,.,過(guò)程,令,（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）,二、第二類(lèi)換元法,?,證,設(shè) 為 的原函數(shù),,,令,則,則有換元公式,定理,2,第二類(lèi)積分換元公式,例,19,,求,解法一,第一類(lèi)換元法,解法二,第二類(lèi)換元法,,,例,20,,求,解,令,,,例,21,,求,解,令,解,令,例,21,,求,說(shuō)明,(1),以上幾例所使用的均為,三角代換,.,三角代換的,目的,是化掉根式,.,一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有,可令,可令,可令,,積分中為了化掉根式是否一定采用三角
7、代換并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來(lái)定,.,說(shuō)明,(2),例,22,,求,,（三角代換很繁瑣）,令,解,說(shuō)明,(3),當(dāng)分母的階較高時(shí),,,可采用,倒代換,例,23,,求,,令,解,例,24,,求,解,令,（分母的階較高）,說(shuō)明,(4),當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時(shí)，可采用令 （其中 為各根指數(shù)的,最小公倍數(shù),）,例,25,,求,解,令,例,26,,求積分,解,令,注意,無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí),,,取根指數(shù)的,最小公倍數(shù),.,例,27,,求積分,解,令,說(shuō)明,(5),當(dāng)被積函數(shù)含有,例,28,,求,解,令,說(shuō)明,(6),當(dāng)被積函數(shù)含有
8、,例,29,,求,解,說(shuō)明,(7),無(wú)理函數(shù)的積分方法要會(huì)用會(huì)選,例,基本積分表,,?,三、小結(jié),兩類(lèi)積分換元法：,（一）,湊微分,（二）,三角代換、倒代換、根式代換,基本積分表,(14),～（,22,）,思考題,求積分,思考題解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,,,一、基本內(nèi)容,二、小結(jié),三、思考題,第三節(jié) 分部積分法,問(wèn)題,解決思路,利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則,.,分部積分,(integration by parts),公式,一、基本內(nèi)容,例,1,,求積分,解（一）,令,顯然，,選擇不當(dāng),，積分更難進(jìn)行,.,解（二）,令,例,2,,求積分,解,（再次使用分部積分法）,總結(jié),,若被積函數(shù)是冪
9、函數(shù)和正,(,余,),弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,,,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,,,使其降冪一次,(,假定冪指數(shù)是正整數(shù),),?,例,3,,求積分,解,令,例,4,,求積分,解,總結(jié),,若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為,.,?,例,5,,求積分,解,,,例,6,,求積分,解,,,注意循環(huán)形式,例,7,,求積分,解,,令,解,兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo),,,得,合理選擇 ，正確使用分部積分公式,二、小結(jié),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,思考題,,在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí)， 應(yīng)注意什么
10、？,思考題解答,注意前后幾次所選的 應(yīng)為同類(lèi)型函數(shù),.,例,第一次時(shí)若選,第二次時(shí)仍應(yīng)選,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,,,一、六個(gè)基本積分,二、待定系數(shù)法舉例,三、小結(jié),,第四節(jié) 有理函數(shù)的積分,有理函數(shù)的定義：,兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之為,有理函數(shù),.,,,,一、六個(gè)基本積分,定義,假定分子與分母之間沒(méi)有公因式,這有理函數(shù)是,真分式,；,這有理函數(shù)是,假分式,；,,利用多項(xiàng)式除法,,,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和,.,例,難點(diǎn),將有理函數(shù)化為部分分式之和,.,,理論上，,任何一個(gè)有理函數(shù),(,真分式,),都可分為以下六個(gè)類(lèi)型的基本積分的代數(shù)和,:,1,.,2.,3.,4
11、,.,5,.,6,.,可用遞推法求出,（,1,）分母中若有因式 ，則分解后為,有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：,特殊地：,分解后為,※,二、待定系數(shù)法舉例,（,2,）分母中若有因式 ，其中,則分解后為,特殊地：,分解后為,真分式化為部分分式之和的,待定系數(shù)法,例,1,代入特殊值來(lái)確定系數(shù),取,取,取,并將 值代入,例,2,例,3,整理得,例,4,,求積分,解,例,5,,求積分,解,例,6,,求積分,解,令,說(shuō)明,將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類(lèi)情況：,多項(xiàng)式；,討論積分,令,則,記,這三類(lèi)
12、積分均可積出,,,且原函數(shù)都是初等函數(shù),.,結(jié)論：,,有理函數(shù)都可積，且積分結(jié)果可能的形式為有理函數(shù)、反正切函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及它們之間的組合。,有理式分解成部分分式之和的積分,.,（注意：必須化成真分式）,三、小結(jié),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,思考題,任何有理函數(shù)都有原函數(shù)嗎？,,任何初等函數(shù)都有原函數(shù)嗎？,,都能求出其原函數(shù)嗎？,思考題解答,任何有理函數(shù)都有初等原函數(shù)，任何初等函數(shù)在其連續(xù)區(qū)間內(nèi)也有原函數(shù)，但并不是所有連續(xù)的初等函數(shù)都有初等原函數(shù)，如：,即有些初等函數(shù)是不可積的。,練習(xí)題,4.,有理函數(shù)的原函數(shù)都是,_________ .,,練習(xí)題答案,
第五章--不定積分--(《微積分》課件)
